浙江宁波镇海蛟川书院2025年中考数学一模试卷（含答案）

第第页浙江宁波镇海蛟川书院2025年中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（）A．1 B．3 C．5 D．3 第1题图 第2题图 第5题图2．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（）A．55 B．255 C．23．有4根细木棒，它们的长度分别是3cm,A．14 B．12 C．34．已知关于x的分式方程2xx−1=mA．-3 B．-2 C．0 D．25．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知(x−2021)2A．13 B．11 C．9 D．87．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图像上，延长AB交x轴于点C，且AB=BCA．8 B．10 C．11.5 D．13 第7题图 第8题图8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1，点N是BC边上的一点，且BNCN=21，点M是AC边上一个动点，连接A．33 B．66 C．2 9．在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，连接CE，CF.若sin∠ECF=35，CE=10A．45 B．43 C．3 第9题图 第10题图10．如图，已知△ABC内接于⊙O，点M为BC的中点，连结AM交⊙O于点E，且C为AE的中点，连结CE，在BC上存在点H，使得∠HEM=12∠BCA，若BH=2A．4 B．42 C．2+22 二、填空题（每小题5分，共40分）11．在矩形ABCD中，AB=5,BC=10，点F在线段AD上，且AF=3，则点F到矩形对角线所在直线的距离是12．若方程组a1x+b1y=c113．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；苦改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的43倍，则规定时间为14．小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点P(x,y)，若|x|≤1且|y|≤115．如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是BC中点，点F在BD上且满足AF⊥PF，延长AF分别交CD于点M，交BC的延长线于点E，则EM的长为.16．如图，△OAB为直角三角形，且OA⊥AB，以O为圆心，OA为半径作圆与OB交于点E，过点A作AF⊥OE于点F交圆O于点C，延长AO交圆O于点D，连结DE交AC于点M，若圆O的半径为5,tan∠D=34，则 第16题图 第17题图17．已知二次函数y=ax2+ax−4，其顶点纵坐标为−92，点Q(k,ℎ)在该函数图象上，若在点18．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC上一点，满足CDBC=34，且ADCD=n，过点C作CP⊥BD于P点，连接AP交CB三、解答题（本大题有6小题，共70分）19．在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字−2、−1、3.从袋中任意摸出一个小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球.（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果.（2）将第一次摸出的数字作为点的横坐标x，第二次摸出的数字作为点的纵坐标y，求点落在双曲线上y=220．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上.（1）在△ABC的边AB上找到一点D，连结CD，使得△ACD的面积与△BCD的面积之比为3：2，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹.（2）在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C），连结AE、BE，使得∠AEB=2∠ACB，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹.21．已知点M(x1,y1（1）如图，若二次函数的图象经过点(1,0)，若y1（2）当x1⩽x⩽x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，22．在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4文x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为(1（1）求直线BC的函数表达式.（2）点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的32时，求点D（3）点E坐标为(0,−2)，连接CE，点P为直线AB上一点，若23．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，且AD⊥CD于点D，延长DA交⊙O于点M，连结CM交AB于点F，（1）如图1，作CE⊥AB于点E，①求证△CDA≅△CEA②若AE=EF,CF=3，则（2）若CFFM=1324．（1）如图1，在△ABC中，D是BC上一点，EF//BC交AD于点G，则EG（2）如图2，在△ABC中，M、N是AB上的两点，且满足BN=NM=MA，在BC上取一点D，过点D作DP//AC分别交CM的延长线、CN于点P、Q，求（3）如图3，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE交BD于点F，在AF上取一点P，使得∠BPD=135°，若PDPB

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为S，则其范围为1＜S＜5，

那么其边长范围为1＜a＜5，

所以其边长为3，

故答案为：B．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案。2．【答案】D【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：则BC⊥AC，设小正方形网格的边长为a，则由勾股定理得：BC=a2+在Rt△ABC中，tan∠BAC=故答案为：D．【分析】根据所给网格，连接BC得出BC与AC垂直，再结合正切的定义即可求出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果，分别为3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9，其中能够组成三角形的结果有3种，∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是3故答案为：C.【分析】利用列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程2xx−1∴x−1=0,,解得：x=1,∴方程的两边同乘(x−1得：2x=m+5解得：m=−3x+5,∴m=−3×1+5=2,故答案为：D.【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：2025−2026÷4=506⋯2,所以数轴上表示2025的点与圆周上的数字2重合，故答案为：C.【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合.6．【答案】A【解析】【解答】解：令t=x−2023,则原式可化简为t−22+t+2解得：t2=13,故答案为：C.【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解.7．【答案】B【解析】【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⟂x轴于H，过B作BG⟂x轴于G，∴AH∥BG，∵AB=BC,∴CG=HG,∴AH=2BG,∵A、B两点在反比例函数y=k∴设B∴A∵OD∥AB,∴∴∵∴12AH+BG∴k=10，故答案为：B.【分析】连接OA，OB，过A作AH⟂x轴于H，过B作BG⟂x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG=HG,求得AH=2BG,设Baka,得到Aa8．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=2，cos∠ABC=BCAB

∴BC=ABcos30°=2×32=3，

∵∴△CEN和△MNQ是等腰直角三角形，

∴CNEN=22，MNNQ=22，∠MNQ=∠CNE=45°，

∴CNEN=MNNQ，∠MNC=∠QEN，

∴△MNC∽△QNE，

∴∠QEN=∠MCN=90°，

∴∠QEC=45°，

【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AB、BC的长；结合已知条件可求出CN的长；延长AC使CE=CN，连接EN，连接EQ、BC交于点F，利用等腰直角三角形的性质，易证∠MNC=∠QEN，同时可证得CNEN9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，∵ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，∠EAC=∠FAC，AC⊥BD，

又∵E、F是AB、AD的中点，

∴AE=AF，

∴△AEC≌△AFC，

∴CF=CE=10，

又∵sin∠ECF=35，

∴EN=CE×sin∠ECF=6，

∴NC=CE2−EN2=102−62=8，

∴FN=CF-CN=10-8=2，

∴EF=FN2+EN2=22+62=210，

又∵AE=AF，∠EAC=∠FAC，

∴EM=1【分析】连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，根据菱形的性质得到△AEC≌△AFC，即可得到CF=CE=10，然后根据正弦的定义和勾股定理求出CN、EF和CM长，再根据三角形的中位线得到EF∥BD，求出AM长，然后利用勾股定理求出AE长解题即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：连接BE，过点H作FH∥AE，交BE于点F，∴∠EHF=∠AEH，BHHM=BFEF，

∵AB⏜=AB⏜，

∴∠AEB=∠ACB，

∵∠HEM=12∠BCA，

∴∠HEM=12∠AEB，

∴HE平分∠AEB，

∴∠EHF=∠AEH=∠HEF

∴HF=EF，∠HFB=2∠HEF=∠BCA，

∴BHHM=BFHF，

∵点C为弧AE的中点，

∴AC⏜=BC⏜，

∴∠CAM=∠AEC=∠CBA=∠CBE，

∵∠ACM=∠ACB，

∴△ACB∽△MAC，

∴ACBC=MCAC，

∵点M为BC的中点，

∴BC=2MC，

∴AC2MC=MCAC

∴AC=【分析】连接BE，过点H作FH∥AE，交BE于点F，利用平行线分线段成比例定理可证得∠EHF=∠AEH，BHHM=BFEF，再利用同弧所对的圆周角相等及已知条件可推出∠EHF=∠AEH=∠HEF，即可得到HF=EF，∠HFB=2∠HEF=∠BCA，由此可证得11．【答案】355【解析】【解答】解：作FH⊥AC于点H，FE⊥BD于点E，则∠AHF=∠DEF=90°，∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=10，∴CD=AB=5，AD=BC=10，∠ADC=∠DAB=90°∴BD=AC=AD∵点F在线段AD上，且AF=3，∴DF=AD﹣AF=10﹣3=7，∵sin∴FH=FE=∴点F到矩形对角线所在直线的距离是355故答案为：355【分析】作FH⊥AC于点H，FE⊥BD于点E，由矩形的性质，利用勾股定理求出BD=AC=55,由AF=3，得DF=7，由sin∠DAC=12．【答案】x=4【解析】【解答】解：解：方程组5a1∵a1x+b1y=c1a2x+【分析】把原方程组变形后得到54x=5，13．【答案】11【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为x−2天，慢马所需的时间为x+1天，由题意得：800解得：x=11,经检验，x=11是原方程的解，且符合题意.故答案为：11.【分析】设规定时间为x天，则快马所需的时间为x−2天，慢马所需的时间为x+1天，由快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.14．【答案】−12【解析】【解答】解：∵y=kx−3k=k∴函数恒过点(3，0)，∵一次函数y=kx−3k(k为常数)的图象上存在“轴近点”，∴当x=1时，−1⩽y⩽1,即−1⩽k−3k⩽1,解得−当x=−1时，−1⩽y⩽1,即−1⩽−k−3k⩽1,解得−∴−故答案为：−12≤k≤【分析】先得到直线过点(3，0)，图象上存在“轴近点”，然后根据x取最大和最小值时得到k的取值范围即可.15．【答案】2【解析】【解答】解：连接FC，过点F作FK⊥AB于点K，FN⊥BC于点N，如图所示：∴∠FKB=∠FKA=∠FNB=90°，∵四边形ABCD是正方形，且边长为3，∴AB=CB=CD=AD=3，AD∥BC，AB∥CD，BD平分ABC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠FKB=∠FNB=∠ABC=90°，∴四边形FKBN是矩形，∵BD平分ABC，FK⊥AB，FN⊥BC，∴FK=FN，∴矩形FKBN是正方形，∴∠KFN=90°，FN=BN=BK=FK，∴∠KFP+∠PFN=90°，∵AF⊥PF，∴∠AFK+∠KFP=90°，∴∠AFK=∠PFN，在△AFK和△PFN中，

∠∴△AFK≌△PFN(AAS)，∴FA=FP，∵BD平分ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB=CB∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴FA=FC，∴FP=FC，∵FN⊥BC，∴PN=CN=∵点P是BC的中点，∴BP=CP=∴PN=CN=∴FN=BN=BP+PN=在Rt△BNF中，由勾股定理得：FB=在Rt△BCD中，CB=CD=3,由勾股定理得：BD=CB∵AB∥CD，∴△FDM∽△FBA,∴DMAB=FD∴DM=1,∴CM=CD−DM=3−1=2,在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=∵AB∥CD，∴△ADM∽△ECM,∴∴EM=∴EM的长为2故答案为：2【分析】连接FC，过点F作FK⊥AB于K，FN⊥BC于点N，先证明四边形FKBN是正方形，进而可证明△AFK和△PFN全等得FA=FP，再证明△ABF和△CBF全等得FA=FC=FP，则PN=CN=12CP,根据点P是BC的中点得BP=CP=12BC=32,则PN=CN=16．【答案】7.5【解析】【解答】解：连接AE，如图所示：∵点O是⊙O的圆心，⊙O的半径为5，AO的延长线交⊙O于点D，∴AB是⊙O直径，(OA=OD=OE=5,AD=10,∴∠AED=9在Rt△ADE中，tan设AE=3k,DE=4k,

由勾股定理得：AD=AE解得：k=2,∴AE=3k=6,DE=4k=8,∵AF⊥OE,∠AED=9∴∠MAE+∠AEO=9∠AEO+∠OED=9∴∠MAE=∠OED,∵∠D=∠OED,∴∠MAE=∠D,在Rt△MAE中，cos在Rt△ADE中，cos∴∴AM=∴AM的长为7.5.故答案为：7.5.【分析】连接AE，依题意得OA=OD=OE=5，AD=10，进而得∠AED=90°，∠D=∠OED，在Rt△ADE中，根据tan∠D=AEDE=34,17．【答案】−【解析】【解答】解：如图：∵y=a∴抛物线的顶点为1∵顶点纵坐标为−∴−∴a=2,∴y=2令y=72,则72∴K令y=−72,x=−1+2∴R−1−22−∴Q在点K和R之间的抛物线上(包含K，不包含R)∴−故答案为：−【分析】根据顶点纵坐标为−92求得a=2,，即可求得抛物线为y=2x2+2x−4,然后令y=72,解方程求得x=32或x=−18．【答案】3+3n【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CP交CP的延长线于点E，∵CP⊥BD，

∴∠E=∠BCD=∠BPC=90°，

∴∠BCP+∠ACP=∠CBD+∠BCP=90°，

∴∠ACP=∠BCP，

∴△CEA∽△BCD，

∴CEBC=ACBD=AECD，

∵CDBC=34，

设CD=3x，BC=4x，则BD=BC2+CD2=5x，

∵ADCD=n，

∴AD=nCD=3nx，

∴AC=AD+CD=3nx+3x=3(n+1)x，

∴CE4x=3(n+1)x5x=AE3x，

解得：CE=125(n+1)x，AE=95(n+1)x，

又【分析】过点A作AE⊥CP交CP的延长线于点E，则可得到△CEA∽△BCD，即可得到CEBC=AC19．【答案】（1）解：摸出小球上的数字可能出现9种结果，（2）解：点落在双曲线上y=2x共有2种结果，则点落在双曲线上y=【解析】【分析】(1)根据已知条件画出树状图即可；(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出点落在双曲线上的种类，进而得出答案.20．【答案】（1）解：如图，点D即为所求；（2）解：如图，点E即为所求.【解析】【分析】(1)取格点E，F，连接EF交AB于点D，连接CD，点D即为所求；(2)作出△ABC的外心E，连接AE，BE即可.21．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax−3∴0=4a+2,∴a=−∴二次函数的表达式为：y=−如图，∵∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x=3,，顶点为(3，2)，且x∴∴x1+∴M∴PQ=2−−9∴S△PMN=12（2）解：二次函数y=ax−32+2∵最大值与最小值的差为1，∴设Mx1∵二次函数y=ax−32∴∴∴K根据题意得x1解得−2<∴−5<∴∵∴解得x∴254当y2∵最大值与最小值的差为1∴设Nx2∵二次函数y=ax−32∴∴∴Q根据题意得x2>3∴∴∵∴解得x∴解得−综上，a的取值范围为−【解析】【分析】(1)把点(1，0)代入解析式y=ax−32+2a≠0中，计算a值即可，根据y1=y2,得到点Mx1y122．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，

∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

则b=4k+b=0，解得k=−4b=4，

∴（2）解：∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，

∴OA=2，OB=4，

∴S△OAB=12OA×OB=12×2×4=4，

∴S△BCD（3）解：过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，

则∠EOC=∠ECF=∠CGF=90°，

∴∠CEO+∠OCE=∠GCF+∠OCE=90°，

∴∠CEO=∠GCF，

又∵∠CEP=45°，

∴CE=CF，

∴△COE≌△FGC，∴FG=OC=1，CG=OE=2，

∴OG=OC+CG=3，

∴点F的坐标为(3，-1)，

根据（1）得到直线EF的解析式为y=13x−2，

解方程组y=13x−2y=−2x+4得

如图，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，同理可得点F的坐标为(-1，1)，

根据（1）得到直线EF的解析式为y=−3x−2，

解方程组y=−3x−2y=−2x+4得x=187y=−87

∴点P的坐标为：(−6,16)【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）先求出△OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；

（3）分为两种情况，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，证明△COE≌△FGC，求出点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.23．【答案】（1）①证明：∵CD是切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠DCA+∠ACO=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵CE⊥AB，CD⊥DM，∴∠D=∠AEC=90°，∴∠ACE+∠OAC=90°，∴∠ACD=∠ACE，∵AC=AC，∴△CDA≌△CEA(AAS)；②如图1中，连接OM.∵∠D+∠DCO=180°，∴OC∥DM，∴∠OCM=∠DMC，∵AE=EF，CE⊥AF，∴CA=CF，∴∠ACE=∠FCE，∵DC是切线，∴∠DCA=∠DMC.∵∠ACD=∠ACE，∴∠ACD=∠ACE=∠ECF=∠OCM=22.5°，∵OC=OM，∴∠OCM=∠OMC