高等数学的总结

函数与极限第1页

性质（闭区间上连续函数）

函数

极限（数列极限、函数极限）

连续（或间断）内容第2页一、函数：:函数分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有没有穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)第3页邻域:第4页绝对值:运算性质:绝对值不等式:第5页函数特征：M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数有界性:第6页数列有界性：补充内容：1.单调递增且有上界数列必有极限。2.单调递减且有下界数列必有极限。第7页2．函数单调性:xyo第8页xyo第9页3．函数奇偶性:偶函数yxox-x第10页奇函数yxox-x第11页函数周期性:（通常说周期函数周期是指其最小正周期）.．第12页

经典例题例解第13页例解故第14页思索题第15页思索题解答设则故第16页二、极限函数极限统一定义(见下表)第17页过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后第18页思索题第19页思索题解答左极限存在,右极限存在,不存在.补充结论：第20页小结:第21页解商法则不能用由无穷小与无穷大关系,得例第22页解例(消去零因子法)第23页例解(无穷小因子分出法)第24页结论:无穷小分出法:以分母中自变量最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.第25页例解先变形再求极限.第26页例.证实证:利用夹逼准则.且由第27页例：第28页1.求极限解：原式2.

求极限提醒：原式左边=右边第29页故极限存在，例：

设

,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则第30页思索与练习1.怎样判断极限不存在?方法1.

找一个趋于∞子数列;方法2.

找两个收敛于不一样极限子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处第31页例解第32页意义：第33页定理:意义1.极限符号能够与函数符号交换;第34页定理:注意:该定理是上个定理特殊情况.第35页无穷小（量）：无穷小性质;无穷小比较;惯用等价无穷小:

两个主要极限：

～～～～～～～～～2.1.第36页两个主要极限或注:

代表相同表示式第37页思索与练习填空题

(1～4)第38页例.求以下极限：提醒:无穷小有界第39页令第40页～则有复习:

若第41页则-2填空题：1.2.0第42页极限计算方法：

1、极限四则运算法则及其推论；

2、多项式与分式函数代入法求极限;3、消去零因子法求极限;4、无穷小因子分出法(等价无穷小代换)求极限;5、利用无穷小运算性质求极限;6、利用左右极限求分段函数极限;7、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性)8、利用两边夹逼准则求极限;9、利用罗比达法则求极限;10、利用泰勒公式求极限;11、利用定积分求极限;12、利用无穷级数性质求极限;…………第43页思索题:在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为何？与是否有极限？

第44页思索题解答:没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．第45页思索题:任何两个无穷小都能够比较吗？第46页思索题解答:不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时第47页例解第48页例：第49页例：第50页思索题：（怎样做……？？）第51页说明:

对于形如:函数，通常称为幂指函数．假如那么有第52页思索题:第53页例.解:原式例.求第54页例解解法讨论经典例题第55页第56页例：第57页例：第58页三、连续与间断1.函数连续等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点第59页小结：1.函数在一点连续必须满足三个条件;3.间断点分类与判别;2.区间上连续函数;第一类间断点:（左右极限都存在间断点）.第二类间断点:（左右极限最少有一个不存在间断点）.间断点(见下列图)第60页可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第61页闭区间连续函数性质小结：在上有最大值与最小值;上可取最大值与最小值之间任何值;3.若使最少存在一个上有界;在在第62页思索题第63页思索题解答且第64页但反之不成立.例但第65页例解第66页第67页例证实讨论:第68页由零点定理知,综上,第69页