高三数学复习第二篇数学思想一函数与方程思想理

一、函数与方程思想1/26思想解读思想解读应用类型函数思想,就是用运动和改变观点,分析和研究数学中数量关系,建立函数关系或结构函数,利用函数图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题取得处理数学思想.方程思想,就是分析数学问题中变量间等量关系,建立方程或方程组,或者结构方程,经过解方程或方程组,或者利用方程性质去分析、转化问题,使问题取得处理数学思想.处理图象交点或方程根问题;处理最值或范围问题;处理与不等式相关问题;处理与数列相关问题;处理与解析几何、立体几何相关问题.2/26总纲目录应用一

处理图象交点或方程根问题应用二处理最值或范围问题应用三处理与不等式相关问题应用四处理与数列相关问题应用五处理与解析几何、立体几何相关问题3/26应用一

处理图象交点或方程根问题例1设f(x)是定义在R上偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),且当x

∈[-2,0]时,f(x)=

-6.若在区间(-2,6]内关于x方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不一样实数根,则实数a取值范围是

.答案(

,2)解析由f(x+4)=f(x)得函数f(x)周期为4,若x∈[0,2],则-x∈[-2,0],则f(-x)=

-6=3x-6,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=3x-6=f(x),即f(x)=3x-6,x∈[0,2],设g(x)=loga(x+2),作出函数f(x)、g(x)图象如图.4/26当a>1时,方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不一样实数根,等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不一样交点,则满足

即解得

<a<2,故a取值范围是(

,2).【技法点评】

利用函数与方程思想处理交点或方程根问题思绪(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根问题,应用函数

思想把方程根问题转化为函数零点问题.(2)含参数方程问题普通经过直接结构函数或分离参数化为函数问题处理.5/26函数f(x)=

零点个数为

()A.2

B.3

C.4

D.5答案

D当x≤0时,令ex+x2-1=0,则ex=1-x2,令g(x)=ex,h(x)=1-x2,作出两函数图象(如图1),图象有两个交点,即ex+x2-1=

0有两个解.

跟踪集训图16/26当x>0时,f(x)=

x3-2x2+3x-1,则f'(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),∴x=3,x=1是函数f(x)极值点,又f(1)=

,f(3)=-1,在(0,+∞)上f(x)大致图象如图2所表示.

图2∴f(x)图象与x轴在x∈(0,+∞)上有3个交点.综上,函数f(x)零点个数为5.故选D.7/26应用二

处理最值或范围问题例2已知a,b,c为平面上三个向量,又a,b是两个相互垂直单位向量,向

量c满足|c|=3,c·a=2,c·b=1,则对于任意实数x,y,|c-xa-yb|最小值为

.答案2解析由题意可知|a|=|b|=1,a·b=0,又|c|=3,c·a=2,c·b=1,所以|c-xa-yb|2=|c|2+x2|a|2+y2|b|2-2xc·a-2yc·b+2xya·b=9+x2+y2-4x-2y=(x-2)2+(y-1)2+4,当且仅当x=2,y=1时,(|c-xa-yb|2)min=4,所以|c-xa-yb|最小值为2.8/26【技法点评】

求最值或参数范围技巧(1)充分挖掘题设条件中不等关系,构建以待求字母为元不等式(组)

求解.(2)充分应用题设中等量关系,将待求参数表示成其它变量函数,然后应用函数知识求解.(3)当问题中出现两数积与这两数和时,应构建一元二次方程,再利用方

程知识使问题巧妙处理.(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去降低变量个数.9/26跟踪集训(湖南五市十校联考)圆锥母线长为L,过顶点最大截面面积

为

L2,则圆锥底面半径与母线长比

取值范围是

()A.0<

<

B.

≤

<1C.0<

<

D.

≤

<1答案

D设过顶点截面顶角为θ,则过顶点截面面积S=

L2sin

θ≤

L2,sinθ≤1,当截面为等腰直角三角形时取最大值,故圆锥过顶点截面顶角必须大于或等于90°,得L>r≥Lcos45°=

L,所以

≤

<1.10/26应用三

处理与不等式相关问题例3关于x不等式ex-

-1-

x≥0在x∈

上恰成立,则a取值集合为

.答案{2

}解析关于x不等式ex-

-1-

x≥0在x∈

上恰成立⇔函数g(x)=

在

上值域为

.因为g'(x)=

.11/26令φ(x)=ex(x-1)-

x2+1,x∈

,则φ'(x)=x(ex-1).因为x≥

,所以φ'(x)≥0,故φ(x)在

上单调递增,所以φ(x)≥φ

=

-

>0.所以g'(x)>0,故g(x)在

上单调递增,则g(x)≥g

=

=2

-

,所以a-

=2

-

,解得a=2

.所以a取值集合为{2

}.12/26【技法点评】

处理不等式问题方法及注意点(1)在处理不等式恒成立问题时,一个最主要思想方法就是结构适当

函数,利用函数图象和性质处理问题.(2)要注意在一个含多个变量数学问题中,需要确定适当变量和参

数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化,普通地,已知存在范围量为变量,而待求范围量为参数.13/26跟踪集训1.函数f(x)定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4解集

为

()A.(-1,1)

B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)

D.(-∞,+∞)答案

B设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,g'(x)=f'(x)-2>0,则g

(x)为增函数.解g(x)>0,即g(x)>g(-1),得x>-1,选B.14/262.若0<x1<x2<1,则

()A.

-

>lnx2-lnx1

B.

-

<lnx2-lnx1C.x2

>x1

D.x2

<x1

答案

C设f(x)=ex-lnx(0<x<1),则f‘(x)=ex-

=

,令f'(x)=0,得xex-1=0.依据函数y=ex与y=

图象可知两函数图象交点x0∈(0,1),所以函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确.设g(x)=

(0<x<1),则g‘(x)=

.又0<x<1,∴g'(x)<0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2),∴x2

>x1

.故选C.15/26应用四

处理与数列相关问题例4已知数列{an}是各项均为正数等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列{an}通项公式an;(2)在(1)条件下,数列{an}前n项和为Sn,设bn=

+

+…+

,若对任意n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k最小值.16/26解析(1)因为{an}是正项等差数列,所以d≥0,由题意知

=a2·(a4+1),又a1=2,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),解得d=2或d=-1(舍去),所以数列{an}通项公式an=2n.(2)易知Sn=n(n+1),则bn=

+

+…+

=

+

+…+

=

-

+

-

+…+

-

=

-

17/26=

=

,令f(x)=2x+

(x≥1),则f'(x)=2-

,当x≥1时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=

,要使对任意正整数n,不等式bn≤k恒成立,则须使k≥(bn)max=

,所以实数k最小值为

.18/26【技法点评】数列最值问题中应用函数与方程思想常见类型:(1)数列中恒成立问题,转化为最值问题,利用函数单调性或不等式

求解.(2)数列中最大项与最小项问题,利用函数相关性质或不等式组

(n≥2,n∈N*)求解.(3)数列中前n项和最值:转化为二次函数,借助二次函数单调性或求

使an≥0(an≤0)成立时最大n值即可求解.19/26跟踪集训(长沙统一模拟考试)已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.(1)求数列{an}通项公式;(2)记bn=

,设{bn}前n项和为Sn.求最小正整数n,使得Sn>

.解析(1)设等差数列{an}公差为d,依题意有

解得a1=1,d=2,从而{an}通项公式为an=2n-1.(2)因为bn=

=

-

,所以Sn=

+

+…+

=1-

,令1-

>

,解得n>1008,故n=1009.20/26应用五

处理与解析几何、立体几何相关问题例5设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它两个顶点,直线y=kx

(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(1)若

=6

,求k值;(2)求四边形AEBF面积最大值.解析(1)由题设条件可得,椭圆方程为

+y2=1,直线AB方程为x+2y-2=0.设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,由

得(1+4k2)x2=4,解得x2=-x1=

.①由

=6

得x0-x1=6(x2-x0),21/26∴x0=

(6x2+x1)=

x2=

.由D在AB上,得x0+2kx0-2=0,∴x0=

.∴

=

,化简,得24k2-25k+6=0,解得k=

或k=

.(2)依据点到直线距离公式和①式可知,点E,F到AB距离分别为d1=

=

,d2=

=

,又|AB|=

=

,22/26∴四边形AEBF面积为S=

|AB|(d1+d2)=

·

·

=

=2

=2

=2

≤2

=2

,当且仅当4k=

(k>0),即k=

时,等号成立.故四边形AEBF面积最大值为2

.【技法点评】解析几何中最值是高考热点,在圆锥曲线综合问

题中经常出现,求解这类问题普通思绪为在深刻认识运动改变过程

之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量函数,然后

借助于函数最值探求来使问题得以处理.23/26跟踪集训1.(湖南,10,5分)某工件三视图如图所表示,现将该工件