第01讲 认识分式（知识解读+达标检测）（解析版）

第01讲认识分式【题型1分式的定义】【题型2分式的有无意义的满足条件】【题型3分式值为零的满足条件】【题型4分式的性质】【题型5分式的约分】

【题型6最简分式】

【题型7最简公分母】

【题型8分式的通分】

【题型9列代数式（分式）】【题型10分式的值】知识点1：分式相关概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；分式有意义的条件：B≠0；分式值为0的条件：分子=0且分母≠0【题型1分式的定义】【典例1】（2023秋•祁阳县期中）代数式2x，，a+，，中分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：2x，，a+，中分母中都不含字母，都是整式，不是分式，分母中含有字母，是分式，所以分式的个数是1．故选：A．【变式1-1】（2023秋•兴宾区期中）下列代数式中，是分式的是（）A． B． C． D．x﹣1【答案】C【解答】解：A、是单项式，属于整式，故选项不符合题意；B、是多项式，属于整式，故选项不符合题意；C、是分式，故选项符合题意；D、x﹣1是多项式，属于整式，故选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（2023秋•覃塘区期中）下列各式，，，，，中，分式的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：分式的有：，，共3个．故选：A．【题型2分式的有无意义的满足条件】【典例2】（2023秋•晋州市期中）要使分式有意义，则x应满足（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x＝1【答案】C【解答】解：∵分式有意义，∴1﹣x≠0，解得x≠1．故选：C．【变式2-1】（2022秋•海丰县期末）要使分式有意义，x应满足的条件是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3【答案】C【解答】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故选：C．【变式2-2】（2022秋•九龙坡区校级月考）若代数式无意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝3 B．x≠3 C．x≠0 D．x＝0【答案】A【解答】解：∵代数式在实数范围内无意义，∴3﹣x＝0，解得x＝3．故选：A．【变式2-3】（2022秋•闵行区校级期末）分式中x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C． D．【答案】D【解答】解：∵分式有意义，∴2x﹣1≠0，∴x≠．故选：D．【题型3分式值为零的满足条件】【典例3】（2022秋•上海期末）如果分式的值为零，那么x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【答案】B【解答】解：∵的值为零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故选：B．【变式3-1】（2023春•河源期末）分式的值是零，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0【答案】B【解答】解：∵分式的值是零，∴，解得x＝﹣3．故选：B．【变式3-2】（2022秋•廉江市期末）如果分式的值等于0，那么（）A．x＝±2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x≠2【答案】C【解答】解：根据题意得：，解得：x＝﹣2．故选：C知识点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.知识点3：分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.【题型4分式的性质】【典例4-1】（2023秋•长安区期中）下列等式从左到右变形正确的是（）A．＝x B．＝1 C．＝﹣1 D．＝【答案】C【解答】解：A．＝，故本选项不符合题意；B．＝1+，故本选项不符合题意；C．＝＝﹣1，故本选项符合题意；D．≠，故本选项不符合题意．故选：C．【典例4-2】（2023秋•祁阳县期中）分式中的x、y的值都扩大到原来的10倍，则分式的值为（）A．扩大为原来10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的【答案】C【解答】解：分式中的x、y都扩大到原来的10倍后为：＝，÷＝，即缩小为原来的．故选：C．【变式4-1】（2023秋•西城区校级期中）下列式子从左到右变形正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、≠，故A不符合题意；B、＝1，故B不符合题意；C、≠，故C不符合题意；D、＝＝，故D符合题意；故选：D．【变式4-2】（2023秋•石家庄期中）下列各式正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．＝＝，故该项符合题意；B．不一定等于，故该项不符合题意；C．当a≠0时，＝，故该项不符合题意；D.＝﹣，故该项不符合题意；故选：A．【变式4-3】（2022秋•青浦区校级期末）如果分式中的x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．扩大到原来的6倍【答案】B【解答】解：．∴x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大到原来的2倍．故选：B．知识点4：分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.【题型5分式的约分】【典例5】（2023春•通川区期末）化简分式的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝＝．故选：C．【变式5-1】（2023春•中宁县期末）分式的化简结果是（）A． B． C．x D．【答案】B【解答】解：原式＝＝．故选：B．【变式5-2】（2022秋•沙河市期末）若＝，则☐表示（）A．b+a B．ab+1 C．b+1 D．b【答案】C【解答】解：，∴☐表示b+1．故选：C．【变式5-3】（2023春•锡山区期中）约分：（1）；（2）．【答案】（1）6b；（2）．【解答】解：（1）＝＝6b；（2）＝＝．

【题型6最简分式】

【典例6】（2023春•晋中期末）下列分式是最简分式的为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A.＝，故A不合题意；B.＝m﹣n．故B不合题意；C.不能化简，故C符合题意；D.＝，故D不合题意；故选：C．【变式6-1】（2022秋•藁城区期末）下列各式是最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．＝，此选项不符合题意；B．＝＝，此选项不符合题意；C．是最简分式，符合题意；D．＝，此选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•平谷区期末）下列分式中是最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．＝，故此选项不合题意；B．是最简分式，故此选项符合题意；C．＝x+1，故此选项不合题意；D．＝x﹣2，故此选项不合题意．故选：B．知识点5：分式通分（找最简公分母）与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次幂的积【题型7最简公分母】【典例7】（2023秋•新田县期中）分式与的最简公分母是（）A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5） C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）【答案】D【解答】解：分式与的最简公分母是x（x+5）（x﹣5）．故选：D．【变式7-1】（2023秋•兴宾区期中）分式与的最简公分母是（）A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3【答案】C【解答】解：分式与的最简公分母是6x2．故选：C．【变式7-2】（2022秋•灵宝市期末）分式与的最简公分母是（）A．x﹣1 B．x2﹣1 C．2（x﹣1） D．2（x﹣1）2【答案】C【解答】解：∵2x﹣2＝2（x﹣1），∴与的最简公分母是2（x﹣1），故选：C．【变式7-3】（2023秋•印江县校级月考）分式，，﹣的最简公分母是（）A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2【答案】C【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，∴分式，，﹣的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2．故选：C．【题型8分式的通分】【典例8】（2023春•洪泽区校级期中）通分：（1）与；（2）与．【答案】（1），；（2），．【解答】解：（1）∵与的最简公分母是6y2，∴＝，＝；（2）∵与的最简公分母是3a2b2，∴＝，＝．【变式8-1】（2022春•通江县校级月考）通分：，．【答案】见试题解答内容【解答】解：最简公分母是x（x﹣1）2，＝，＝．【变式8-2】（2022•丰顺县校级开学）通分：（1），，；（2），，．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1），，；，，．知识点6：代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.

【题型9列代数式（分式）】【典例9】（2023秋•南充期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：设A地到B地路程为“1”，∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，∴平均速度为：＝＝．故选：B．【变式9-1】（2023秋•淮滨县期末）中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从A地到B地节约的时间为（）A．h B．h C．h D．h【答案】C【解答】解：由题意可得：﹣＝．故选：C．【变式9-2】（2023秋•庄浪县期末）一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（）A．x+y B． C． D．【答案】C【解答】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是，工作总量是1．∴两人合做完成这项工程所需的天数是1÷（+）＝＝．故选：C．【变式9-3】（2023春•岳麓区校级月考）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（）分钟．A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）；故选：B．【题型10分式的值】【典例10】（2024春•兴化市月考）若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为．【答案】．【解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴＝＝＝，故答案为：．【变式10-1】（2023秋•惠州期末）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵，∴设a＝2k，b＝5k，∴＝＝＝＝．故选：A．【变式10-2】（2024•泉州模拟）若实数x满足x2﹣4x+1＝0，则的值为．【答案】．【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，∴x2+1＝4x，∴，故答案为：．【变式10-3】（2023秋•东城区期末）已知，则的值为12．【答案】12．【解答】解：由得x＝3y，∴＝＝＝＝12．故答案为：12．一．选择题（共7小题）1．（2024春•邗江区期中）下列代数式中，属于分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：，，的分母中没有字母，不是分式；的分母中含有字母，属于分式．故选：C．2．（2024春•宝安区期中）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣5 B．x＝5 C．x≠2 D．x＝2【答案】A【解答】解：由题可知，x+5≠0，解得x≠﹣5．故选：A．3．（2024•广平县模拟）若，则A可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、≠，故A不符合题意；B、≠，故B不符合题意；C、＝，故C符合题意；D、≠，故D不符合题意；故选：C．4．（2024春•雁塔区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）A．不变 B．缩小为原来的3倍 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍【答案】C【解答】解：根据题意得：＝＝，即分式的值扩大为原来的3倍，故选：C．5．（2024春•宿豫区期中）下列各式中是最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．式子是整式，不是最简分式，故本选项不符合题意；B．＝，即分式不是最简分式，故本选项不符合题意；C．＝＝x+1，即分式不是最简分式，故本选项不符合题意；D．分式是最简分式，故本选项符合题意．故选：D．6．（2024春•江都区期中）下列代数式变形正确的是（）A． B．＝ C． D．【答案】B【解答】解：A项计算法则没有，选项不合题意；，成立，B选项符合题意；，C选项不符合题意；，D选项不合题意；故选：B．7．（2023秋•越城区校级期末）已知x2﹣x﹣1＝0，则代数式的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x4＝x3+x2＝x3+x+1，∴．故选：B．二．填空题（共6小题）8．（2024•贵州模拟）化简分式的结果是．【答案】．【解答】解：＝，故答案为：．9．（2023秋•高邮市期末）当分式的值为0时，a的值为3．【答案】3．【解答】解：，∴3﹣a＝0且a+3≠0，∴a＝3且a≠﹣3，将a＝3代入原分式方程，有意义，∴a的值为3，故答案为：3．10．（2024•安徽二模）化简＝m﹣1．【答案】m﹣1．【解答】解：，故答案为：m﹣1．11．（2024春•东台市期中）分式和的最简公分母是2（m+1）（m﹣1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m2﹣1＝（m+1）（m﹣1），2m+2＝