第十二模块 数学思考【十一大考点】-2024年小升初数学典型例题系列（解析版）

休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。—北宋·苏轼《望江南·超然台作》2024年小升初数学典型例题系列第十二模块数学思考【十一大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是第十二模块数学思考。本部分内容是对“数学思考”模块的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，按到划分区间，内容覆盖广泛，又具有极强的针对性，建议作为小升初复习基础内容进行讲解与训练，一共划分为十一个考点，欢迎使用。【第二篇】目录导航篇TOC\o"1-1"\h\u【考点一】周期问题。 3【考点二】图形规律。 5【考点三】数列规律。 7【考点四】算式规律。 7【考点五】数表规律。 9【考点六】实验与操作规律探索。 10【考点七】观察与探究。 11【考点八】材料与定义。 16【考点九】搭配问题。 18【考点十】打电话。 20【考点十一】找次品。 24【第三篇】典型例题篇【考点一】周期问题。1．六（1）班同学毕业联欢，按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，第128个气球是()色的。【答案】黄【分析】按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，可以把这六个气球看作一组，用除法计算128里包含几个这样的组，余数是几，就在气球组里数几个，就能确定第128个是什么颜色。【详解】＝21（组）……2（个）剩下的2个依次是红色、黄色。故第128个气球是黄色。2．△△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30个是()；△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是()个。【答案】★15（答案不唯一）【分析】把△△□☆★看作一个周期，每个周期中有5个图形，前30个图形刚好是6个周期，所以第30个图形就是周期中的最后一个图形；△为12个时，可以是5个周期多2个△，每个周期中□☆★有3个图形，最后乘5求出图形的总个数，据此解答。【详解】分析可知，△△□☆★一共有5个图形。30÷5＝6所以，30个图形是6个周期，左起第30个是★。每个周期中有2个△。2×5＋2＝10＋2＝12（个）每个周期中□☆★一共有3个图形。3×5＝15（个）所以，△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是15个。（答案不唯一）【点睛】本题主要考查周期问题，找出这组图形排列的周期是解答题目的关键。3．把化成小数后，小数点后面第2024位上的数字是()。【答案】8【分析】分数化小数，直接用分子÷分母，结果用循环小数表示，循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“·”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。循环节即周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。【详解】＝2÷7＝2024÷6＝337（组）……2（个）把化成小数后，小数点后面第2024位上的数字是8。4．我国成功申办了2008年的第29届奥运会，按每四年举行一次，则2200年是第()届奥运会。【答案】77【分析】根据题意，先用2200减去2008，求出第29届奥运会之后经过的时间。每四年举行一次，用经过的时间除以4，即可求出到2200年又举行了多少届奥运会。最后用29加上又举办奥运会的届数，即可求出2200年是第几届奥运会。【详解】（2200－2008）÷4＋29＝192÷4＋29＝48＋29＝77（届）则2200年是第77届奥运会。5．夏至是一年中白昼最长，黑夜最短的一天，这天某城市白昼与黑夜的时间比大约是7∶5，那么夏至这天这个城市的白昼大约有()小时。今年夏至时间是6月21日星期二，由此推算今年教师节是星期()。【答案】14六【分析】一天有24个小时，白昼占一天时间的，用分数乘法求出白昼的时长；教师节为9月10日，先求出6月21日至9月10日一共有多少天，1星期有7天，把7天看作一个周期，用总天数除以7，如果可以整除，那么今年的教师节也是星期二；如果不可以整除，余数是几，就从星期二往后数几天，据此解答。【详解】一天＝24小时24×＝24×＝14（小时）6月21日到9月10日的总天数为：30－21＋31＋31＋10＝9＋31＋31＋10＝31＋（9＋31＋10）＝31＋50＝81（天）一周＝7天81÷7＝11（周）……4（天）星期二往后数4天是星期六。所以，今年教师节是星期六。【点睛】本题主要考查比的应用以及经过时间的计算，准确求出经过天数里面有几周余几天是解答题目的关键。【考点二】图形规律。1．如图：一张正方形桌子能围坐8人，两张正方形桌子拼在一起能围坐12人，三张正方形桌子拼在一起能围坐()人，张正方形桌子拼在一起能围坐()人。【答案】16【分析】根据题意，1张桌子可以坐8人可以写成（人），2张桌子可以坐12人可以写成（人），张桌子就可以坐人，由此即可解决问题。【详解】1张桌子可以坐8人可以写成（人），2张桌子可以坐12人可以写成（人），3张桌子可以坐16人可以写成（人），则张桌子就可以坐人，三张桌子拼在一起，能围坐（16）人，如果张桌子拼在一起，能围坐人。【点睛】此类规律题一定要注意结合图形进行分析，发现规律：每多一张桌子，多坐4人，从而得出n张桌子可以坐（4n＋4）人。2．找规律填空：(1)如图摆2个六边形需要()根小棒，摆3个六边形需要()根小棒。(2)照这样，摆n个六边形需要()根小棒（用含有字母n的式子表示）。【答案】(1)1116(2)5n＋1/1＋5n【分析】看图，摆1个六边形需要（1＋5）根小棒，摆2个六边形需要（1＋5×2）根小棒，摆3个六边形需要（1＋5×3）根小棒。每多摆1个六边形就多需要5根小棒。那么，摆n个六边形需要（1＋5×n）根小棒。【详解】（1）1＋5×2＝1＋10＝11（根）1＋5×3＝1＋15＝16（根）所以，如图摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒。（2）照这样，摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒。【考点三】数列规律。1．找规律填空。，，，，()，()。【答案】【分析】×＝，×＝，据此可得：前两个数相乘的积等于第三个数。据此解答。【详解】×＝×＝则第一空是，第二空是。2．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是()。【答案】【分析】根据、、可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为和的分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是，＝1。所以这串数中第7个数应该是的分子加上3，分母加上4之后所得的数。【详解】16＋3＝1919＋4＝23所以这串数中第7个数是。【考点四】算式规律。1．22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，则102－92＝()＋()。【答案】109【分析】根据题意可知，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，即n2－（n－1）2＝n＋（n－1），据此解答。【详解】根据分析可知，22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，则102－92＝10＋9。2．数的计算中有一些有趣的对称形式，如：；。现在有两个与此规律相同的等式，请完成填空。(1)()()。(2)□〇，〇()。【答案】(1)49554(2)693【分析】观察可得规律是，两位数乘三位数，两位数的十位数字和三位数的个位数字相同，两位数的个位数字和三位数的百位数字相同，三位数的十位数字是它的个位数字与百位数字的和。这样的两个数相乘等于把三位数的十位数字加进两位数的中间使两位数成为三位数，而三位数变成两位数的两个数相乘。【详解】根据；，可得，（1）（2），〇。3．观察下面的等式：第1个等式：（120×120）－（119×121）＝1，第2个等式：（120×120）－（118×122）＝4，第3个等式：（120×120）－（117×123）＝9，第4个等式：（120×120）－（116×124）＝16，按照以上规律，写出第5个等式是()。【答案】（120×120）－（115×125）＝25【分析】每一个算式中的第一个积都是120×120，第二个积中的第一个因数依次减1，第二个因数依次加1；每一个算式的结果都等于第二个算式中比120增加或减少的数的平方，据此解答。【详解】根据分析可知，第5个等式是：（120×120）－[（120－5）×（120＋5）]＝52，即（120×120）－（115×125）＝25。【考点五】数表规律。1．观察表一，寻找规律。表二、表三分别是从表一中截取的一部分，其中a＝()，b＝()。表一

表二

表三【答案】1830【分析】表二反映到表一中为：3，6，9，12，15，a，所以可知下面的数比上面的数大3，所以a为15＋3＝18；表三反映到表一中得5，10，15，20，25，所以可知下面的数比上面的数大5，这一列右面的一列规律是下面的数比上面的大6，所以b为24＋6＝30；据此求解即可。【详解】根据分析可知：a为15＋3＝18；b为24＋6＝30。【点睛】本题考查数表中的找规律问题，关键是仔细观察，找出表中每行每列数字的变化规律。2．将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第()行第()列。【答案】1545【分析】观察不难发现，奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2011最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。【详解】观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452＝2025，2025－2011＋1＝15所以自然数2011在左起第45列，上起第15行。【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键。【考点六】实验与操作规律探索。1．如图，某种细胞在培养过程中，每20分钟分裂一次（由1个变成2个），那么这种细胞由1个分裂到16个一共需要()分钟。

【答案】80【分析】分裂一次：1×2＝2（个），分裂2次：2×2＝4（个），分裂3次：4×2＝8（个），分裂4次：8×2＝16（个），所以这种细胞由1个分裂到16个一共需要4次，每次20分钟，用“20×4”即可求解。【详解】由分析可知：1×2＝2（个）2×2＝4（个）4×2＝8（个）8×2＝16（个）一共分裂4次，需要时间：4×20＝80（分）所以这种细胞由1个分裂到16个一共需要80分钟。【点睛】本题考查通过规律求需要多长时间分裂，先算出分裂的次数是此题的解题关键。2．现有若干个圆环，它们的外直径都是5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后测量总长度。圆环个数1234…总长度（cm）591317…像这样，10个圆环拉紧后的长度是()厘米。如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是()厘米。【答案】41（4n＋1）【分析】根据图示可知：1个圆环的长度是5厘米；2个圆环的总长度是5＋4＝9（厘米）；3个圆环的总长度是：5＋4＋4＝13（厘米）；……n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米。据此解答即可。【详解】10个圆环的总长度是：4×10＋1＝40＋1＝41（厘米）n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米【点睛】此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问题。【考点七】观察与探究。1．数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？（1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。（2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是()。（3）应用：①下面四个选项中，只有选项()是两个相邻自然数的乘积。A．62

B．123

C．756

D．1416②它是两个相邻自然数()和()的乘积。问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？（4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。相邻自然数1与22与33与4…9与10n与和357119积2612190①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与的“和”、“积”吗？（在图上标出来）②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：()。（可用含有字母的式子表示出来）【反思】当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。【答案】（1）见详解；（2）积的末位的数字是0或2或6；（3）①C；②27；28；（4）①见详解；②【分析】（1）找一些相邻的两个自然数，然后相乘，计算出乘法算式的结果即可；（2）根据（1）里面计算出的结果，观察积的末位数字，即可发现，相邻的两个自然数相乘的结果，积的末位的数字是0或2或6。（3）①根据积的末位数字是0、2、6的特征，分别检验4个选项里的数字，找出符合要求的答案即可。②通过计算，把这个数拆解成相邻两个自然数的乘积，即可写出这两个相邻的自然数是多少。（4）①大正方形的边长＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n与n＋1的和是大正方形的边长。小长方形的面积＝长×宽，长是n＋1，宽是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n与n＋1的积是小长方形的面积。在图上标注即可。②通过计算可以发现，，所以n与n＋1的和的平方等于n与n＋1的积的4倍加1。据此解答。【详解】（1）例如：1×2＝22×3＝63×4＝125×6＝30（2）通过举例，我发现两个相邻自然数相乘，积的末位数字是0或2或6。（3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，显然62不是两个相邻自然数的乘积；B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，显然123不是两个相邻自然数的乘积；C．27×28＝756，显然756是两个相邻自然数的乘积；D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，显然1416不是两个相邻自然数的乘积；故答案为：C②27×28＝756，所以它是两个相邻自然数27和28的乘积。（4）①根据分析得，n与n＋1的和是大正方形的边长；n与n＋1的积是小长方形的面积。②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：。【点睛】此题综合性较强，难度大，里面涉及到乘积的规律以及数与形的变换，找和与积之间的关系，解法有些超纲，运用了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2完全平方公式。2．仔细观察表3，完成下列问题。（1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。（2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母与的等式表示这两个数之间的关系（与的位置如图2）。（3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。）【答案】（1）3＋12＋13＋21＋22＋23＝28＋21＋22＋23＝49＋22＋23＝71＋23＝94（2）b＝a＋11（3）见详解【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。（2）根据数表中数的排列规律及、的位置关系可知：。（3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。【详解】（1）如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，这6个数的和为：3＋12＋13＋21＋22＋23＝28＋21＋22＋23＝49＋22＋23＝71＋23＝94答：这六个数的和为94。（答案不唯一）（2）图2中b＝a＋11（3）如图所示：（答案不唯一，合理即可。）【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。【考点八】材料与定义。1．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）。例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6。（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝，当F（s）＋F（t）＝18时，求k的最大值。【答案】（1）9；14（2）【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n＝243和n＝617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s＝100x＋32、t＝150＋y结合F（s）＋F（t）＝18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k＝中，找出最大值即可。【详解】（1）（423＋342＋234）÷111＝（765＋234）÷11＝999÷11＝9（167＋716＋671）÷111＝（883＋671）÷111＝1554÷111＝14（2）因为s、t都是相异数，s＝100x＋32、t＝150＋y；所以F（s）＝（302＋10x＋230＋x＋100x＋23）÷111＝（302＋230＋23＋x＋100x＋10x）÷111＝（555＋111x）÷111＝x＋5F（t）＝（510＋y＋100y＋51＋105＋10y）÷111＝（510＋51＋105＋y＋100y＋10y）÷111＝（666＋111y）÷111＝y＋6因为F（s）＋F（t）＝18，则x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18；所以x＋y＝7因为1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，所以或或或或或因为s是相异数，所以x≠2，x≠3，；因为t是相异数，所以y≠1，y≠5；所以或或；所以或或；所以k＝＝或k＝＝1或k＝＝，＞1＞答：k的最大值是。【点睛】本题考查二元一次方程的应用。解题的关键是（1）根据F（n）的定义式，求出F（243），F（617）的值；（2）根据s＝100x＋32、t＝150＋y结合F（s）＋F（t）＝18，即可得出关于x、y的二元一次方程。2．设，，，是有序的数，已知：，，若，求的值。【答案】21【分析】由题意可知，当n为偶数时，，，，，，…当n为奇数时，，，，，，…，根据规律按顺序写出这个数列，即可求得m的值。【详解】分析可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…综上所述，m的值为21。【点睛】把n的值代入求出对应的值，再根据求出的结果判断m的值是解答题目的关键。【考点九】搭配问题。1．杭州亚运会，12名运动员进行中国象棋比赛，如果每两人都比赛一场，那么一共要比赛多少场？【答案】66场【分析】第一人和其他11名运动员比赛11场，第二个人因为和第一个人比赛过，所以只需要和其他10名运动员比赛10场……依次类推，总共需要比赛场，据此解答。【详解】（场）答：一共要比赛66场。2．往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个车站。（1）有多少种不同票价？（2）有多少种车票？【答案】（1）10种（2）20种【分析】（1）甲乙两地之间有三个停靠车站，再加上甲、乙两个站，一共有3＋2＝5个站，每一个站都和其他4个站组成一种不同的票价，一共有5×4＝20种，去掉重复的，一共有20÷2＝10种票价，据此解答。（2）车票与出发地和终点地的不同而不同，因此，在两个站点之间也会有两种不同的车票，即车票种类为票价×2，即可解答。【详解】（1）站点：3＋2＝5（站）5×（5－1）÷2＝5×4÷2＝20÷2＝10（种）答：有10种不同的票价。（2）10×2＝20（种）答：有20种车票。【点睛】本题主要考查搭配问题的解决方法，注意车票不要重复；车票的票价和车票的种类不同。3．有1张五元纸币，2张两元纸币，8张1元纸币，要拿出9元钱，有几种情况？（用表格形式列举出来）【答案】5种，表格见详解【分析】要求有几种拿法，就是考查9的组成；结合题意：9＝5＋2＋2，9＝5＋2＋1＋1，9＝5＋1＋1＋1＋1，9＝2＋2＋1＋1＋1＋1＋1，9＝2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，据此解答即可。【详解】如图：5元2元1元合计张数1209元张数1129元张数1049元张数0259元张数0179元答：有1张五元纸币，2张两元纸币，8张1元纸币，要拿出9元钱，有5种情况。【点睛】此题属于排列组合问题，解答时用列举法，注意按一定的顺序进行，避免遗漏。【考点十】打电话。1．周末，王老师要尽快通知校合唱队30名同学来学校参加活动，如果用打电话的最佳方式，每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要()分钟。那么7分钟最多能通知()人。【答案】5127【分析】根据题意，发现每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。第1分钟通知1人；1＝21－1；第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1；第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1；……第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人；据此找到规律，按规律解答。【详解】规律：第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人；2n－1＝302n＝30＋12n＝31因为24＝16，25＝32，16＜31＜32，所以n＝5。当n＝7时2n－1＝27－1＝128－1＝127（人）每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要5分钟。那么7分钟最多能通知127人。2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？（1）教导主任一个一个地通知需要()分钟。（2）小南设计了上面的分组法。①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。②所有人接到通知，一共需要（

）分钟。（3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。第几分钟12345…n新通知的人数12…一共通知的人数13…由上表可知，通知30人只需要()分钟。（4）小南和小宇的方案相比，()设计的方案更快，因为每个人都()，所以用的时间最少。【答案】（1）30（2）①6；7；8；9；10②10（3）4；8；16；2n－17；15；31；2n－15（4）小宇；不空闲【分析】（1）教导主任一个一个地通知，每分钟通知1人，30人需通知30分钟。（2）小南设计的分组法，30人分成5组，每组一个组长和5个组员，教导主任先通知组长，组长再分别通知5个组员，可得出通知每组需要的时间，进而得出所有人接到通知，一共需要的时间。（3）小宇设计的方案：第1分钟新通知1人；第2分钟新通知2人，2＝21＝22－1；接到通知的共有：1＋2＝3（人），3＝22－1；第3分钟新通知4人，4＝22＝23－1；接到通知的共有：3＋4＝7（人），7＝23－1；……规律：第n分钟新通知2n－1人，接到通知的共有（2n－1）人。按此规律解答。（