江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为．故选：A.2.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【答案】D【解析】由题意可知，当时，即，解得，又因为随机变量服从两点分布，且，所以.故选：D.3.6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取3件检查，则抽到2件正品的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，从6件产品任取3件，共有种不同的取法；其中抽到的3件产品中，恰有2件正品，有种不同的取法，所以其概率为.故选：B.4.设，且，若能被3整除，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因为都能被整除，所以要使能被3整除，则需要也能被3整除，且，，所以.故选：C5.若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】（1）时，，在定义域上单调递增，不满足题意；（2）时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，当时，取得极小值，由题知，解得.综上，实数的取值范围为.故选：C6.已知平行六面体中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为所以，.故选：B.7.现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）A.216 B.432 C.864 D.1728【答案】B【解析】班长站在中间，有1个方法，先选2男生1女生排在班长左侧，有个方法，将余下的3人排在班长右侧，有个方法，则符合要求的方法总数为.故选：B8.设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，又，所以，所以，所以故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，为正整数，且，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A：，所以，故A正确；对于B：，所以，则，故B错误；对于C：，所以，故C错误；对于D：，所以，故D正确.故选：AD.10.甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（）A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件A与事件C是独立事件C. D.【答案】ACD【解析】因为事件“从甲盒中取出的是红球”与事件“从甲盒中取出的是白球”不可能同时发生，所以事件与事件B是互斥事件，选项A正确，因为甲盒中有3个红球，2个白球，所以，，若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，所以，，，故选项D正确，因为，所以事件A与事件C不是独立事件，故选项B错误；因为，故选项C正确；故选：ACD.11.棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.面C.平面平面D.当运动到点时，三棱锥的外接球的体积为【答案】ABD【解析】对于A，因为平面,平面∥平面，所以到平面的距离等于，所以为定值，故A正确；对于B，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意可知，，则，设平面法向量为，则，可取，所以，且面，所以面，故B正确；对于C，由题，所以，,，设平面的法向量为，平面的法向量为，所以，即，，令，则，，所以，所以平面与平面不垂直，故C错误；对于D，当运动到点时，三棱锥即为三棱锥，取线段的中点，连接，由题意可知，根据几何体特征补成长方体，为该长方体的体对角线，则外接球的球心在线段的中点，,所以，所以外接球的体积为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛掷一颗质地均匀的骰子，设表示掷出的点数，则______.【答案】【解析】由已知随机变量X的取值有1,2,3,4,5,6，，，，，，，∴随机变量X的分布列为：X123456P∴随机变量X的期望，∴.故答案为：.13.在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为______.【答案】【解析】圆圆心为，半径，圆圆心为，半径，因为是圆上的一点，，是圆上的两点，可知点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值，此时点在线段与圆的交点，又，所以，则，所以，所以的最大值为．故答案为：．14.在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______.【答案】【解析】记在底面内的投影为，则底面，又、平面，故、，则，，又，则，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，建立如下图所示的空间直角坐标系：设，，，所以，所以，设直线与直线的所成角为，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）以点原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，因为，所以.（2）由（1）得，设平面的一个法向量为，由，即，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知.（1）当时，记的展开式中的系数为，求的值（2）当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值.解：（1）由题意.，，所以；（2）由已知，，所以的系数为，易知时，取得最小值.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且.（1）证明：平面；（2）当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离.解：（1）连结，交于点，连结，因，所以，又，所以，所以，因为面，面，所以平面.（2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，，则，，，，则，，设平面的法向量为，则，即，令，可取，平面的法向量可取，所以，得，因为，与同向的单位向量，所以点到直线的距离为.18.某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据：男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49.（1）在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率；（2）时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望.解：（1）由数据分析知“阅读能手”有4人，“阅读后进者”有3人，我们把阅读时长为51、49、46、46小时的同学分别记为A、B、C、D；把阅读时长为10、11、12小时的同学分别记为甲、乙、丙.那么问题即为：从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率.从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，则共有种情况.记“甲被A指导”为事件E，若甲被A指导，那么只需从BCD中随机选2人指导乙丙，则共有种情况.则.即阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率为.（2）由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为，随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为.记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人，则~，~，.于是有的所有可能取值为0，1，2，3，4.从而；=；=；=；的分布列为：01234.19.已知数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设数列的通项公式为，