辽宁省锦州市2025届高三下学期质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1辽宁省锦州市2025届高三下学期质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，若,则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若，不满足集合元素的互异性，故，故结果选A.2.在复平面内，复数对应的点在第二象限，则复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为复数对应的点在第二象限，所以可设，因为，所以，所以，，所以复数对应的点在第三象限.故选：.3.已知平面直角坐标系中的两个向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则实数m的取值范围是（）A.（－∞，2）B.（2，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.（－∞，2）∪（2，＋∞）【答案】D【解析】由题意，知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.4.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥得到的截面曲线为椭圆，则该椭圆长轴长的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因为圆锥的底面半径为1，侧面积为，所以圆锥的母线为，所以圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，如图所示，当该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴长取得最小值，且最小值为边长为2的正三角形的高，因为，所以椭圆的长轴长的最小值为.故选：.5.5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了1至5月份5G手机的实际销量，如下表所示：月份x1月2月3月4月5月销售量y（千只）0.50.61.01.41.7若y与x线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A.由题中数据可知，B.由题中数据可知，6月份该商城5G手机的实际销量为2（千只）C.由题中数据可知，变量x和y正相关，且相关系数一定小于1D.若不考虑本题中的数据，回归直线可能不过，，…，中任一个点【答案】B【解析】对于A，由表格可知，，，则，故A正确；对于B，将代入，可得，所以6月份该商城5G手机的实际销量预测为2（千只），故B错误；对于C，因为回归方程为，所以变量x和y正相关，且样本点不全在回归方程上，所以相关系数一定小于1，故C正确；对于D，回归直线可能不过样本点中的任何一个点，故D正确；故选：B6.已知是方程的两个实根，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】是方程的两个实根，，①，②，①式②式得：，即，，即，得.故选：.7.设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为直线与x轴交于点A，所以，因为为上一点，所以，设，，则，得直线的方程为，故同理得的方程为，，故直线的方程为，因为为中点，所以，所以方程为，即，联立，消得，所以为为圆心，为半径的圆，其中点到圆心的距离为，所以，，所以的取值范围是，故选：A.8.若函数在上单调，为实数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，因为在上单调，所以无变号零点，则是方程的解，故，即，，令，则，令，解得，时，，时，,所以在上单调递增，在上单调递减，，所以，即；，令，在上单调递增，无最值，则大小不确定，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（）A.若为等差数列，则数列也是等差数列B.若，则数列为等比数列C.若，则时取到最小值D.若为等比数列，且，则【答案】AC【解析】因为为等差数列，所以前项和，所以，所以，所以数列是等差数列，故正确；因为，若，则所有项都为，所以数列不是等比数列，故错误；因为，所以，所以为等差数列，首项为，公差为，所以，此二次函数开口向上，对称轴为，因为，所以当时，取到最小值，故正确；因为为等比数列，且，故公比不为1，所以，所以，所以，故错误.故选：.10.某数学研究小组发现，函数的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，则（）A.直线是它的一条渐近线 B.它的离心率为C.点是它的一个顶点 D.【答案】ABD【解析】因为函数中，当时，，所以函数在第一象限的图象夹在直线和轴之间且无限接近于两直线，因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以直线和轴是双曲线的渐近线，所以正确；因为两渐近线的夹角为，所以双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的角平分线所在直线，即，由，可得或，所以顶点坐标为，，所以错误；两顶点之间的距离为，因为焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，根据双曲线的定义可得，所以正确；若将双曲线绕其对称中心中心（原点）顺时针旋转可使直线变为轴，其渐近线变为直线，则双曲线的离心率，所以正确.故选：.11.已知函数，则（）A.在区间单调递增B.的图象关于直线对称C.的值域为D.关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为【答案】BCD【解析】对于A：当时，所以，因为在上单调递增，又，所以，因为，即，所以，即，所以，所以，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，即在区间不单调，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C：因为，令，则，令，，则在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以，所以的值域为，故C正确；对于D：当时，所以，由A选项可令且，则当时单调递增，令，即时在上单调递增，且，所以在上单调递减，又，令，即时在上单调递减，且，所以在上单调递增，当，即时在上单调递减，且，所以在上单调递减，又，，，所以在上的函数图象如下所示：由图可知：①当时与有且仅有一个交点，即关于的方程在区间的实数根为；②当或时与有两个交点，即关于方程在区间有两个实数根，且两根关于对称，所以两根之和为；③当时与有四个交点，即关于的方程在区间有四个实数根，不妨设为且，所以与关于对称，与关于对称，所以；④当或时与无交点，即关于的方程在区间无实数根；综上可得，若关于方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的二项展开式中，若只有的系数最大，则__________．【答案】10【解析】根据二项式系数的性质，由于只有第项的二项式系数最大，故答案为10.13.函数的最小值为_________．【答案】2【解析】令，则，令，解得，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；故，则.因为，所以当且仅当时等号成立，因此的最小值为2．故答案为：.14.已知球O的体积为，正四面体的顶点B，C，D都在球O的表面上，球心O为的外心，棱与球面交于点P，若平面，平面，平面，平面，平行且与之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点Q，R，则的周长为______．【答案】【解析】由已知，连接，设与之间的距离为d，设球O的半径为R，因为球O的体积为，则，解得，所以，所以，即正四面体的棱长为3，所以，因为球心O为的外心，则在正四面体中，平面，又平面，则，由A，P，B三点共线，故存在实数使得，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以，又且与之间的距离为d，则，，所以，，所以，，则，则，在中，，则由余弦定理，，所以的周长为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙两人对比进行射击训练，共进行100个回合．每个回合．甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少都击中8环，统计资料显示甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．记第i个回合甲、乙击中的环数分别为，，，2，…，100．（1）在某一个回合训练中，已知乙击中的环数少于甲击中的环数，求甲击中10环的概率：（2）中心极限定理是概率论中的一个重要结论：若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．根据该定理，设满足（，2，…，100）的i值有k个，利用正态分布估计的概率．（结果保留小数点后两位）附：（若，则，，．）【答案】解：（1）设在一个回合训练中，乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，甲击中10环为事件，则，，则所求概率为；（2）由题意100个回合中，满足的值有个，由（1）知：，所以，，又，所以，，故，，由正态分布的对称性可知，估计的概率为.16.如图，在三棱锥中，，，．（1）证明平面平面；（2）若E，F分别为棱，的中点，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为在中，，又，所以，如图，过点D作于点O，连接，则，因为，，所以，所以且，又，所以，所以，又，平面ABC，所以平面，平面，所以平面平面.（2）解：因为，，两两垂直，如图，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，的一个方向向量，轴，所以的一个方向向量，设平面的法向量，则，令可得，平面的一个法向量，又平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则.17.已知．（1）若在上单调递增，求a的取值范围；（2）若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，．解：（1）若在上单调递增，则对恒成立，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以只需，即，所以a的取值范围是.（2）因为，，所以在处切线方程为，根据题意，该切线为，所以，解得，，所以，因为，所以，下面证明：，（法一）先证，即，令，，则，所以在是增函数，所以，即，①再证，即，令，则，当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，即，所以，②由①②得，综上，在上成立．（法二）设，则，因为两个函数均在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以使，所以，即，当时，，时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以，即，所以在上成立.18.已知椭圆，中心在原点，且与抛物线有相同的焦点，且椭圆上的点到点距离的最小值为1．（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，为垂足，连接与y轴交于点，求面积的最大值．解：（1）抛物线的焦点为，所以椭圆的一个焦点为，设椭圆，则，又因为椭圆上的点到点距离的最小值为1，即，所以，，所以椭圆；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，由，得，，所以，，令，得．因为，代入上式得，所以，设到直线的距离为d，则，，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立所以，即面积的最大值为．19.表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.（1）求，，；（2）已知时，.（i）求；（ii）设，数列的前n项和为，证明：.解：（1）依题