辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷第I卷（选择题共58分）一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.记等差数列的前n项和为，则（）A.98 B.112 C.126 D.140【答案】B【解析】因为数列为等差数列，，所以，所以.故选：B2.已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（）A48 B.32 C.16 D.8【答案】C【解析】因为公比为的等比数列的前项和①，当时，当时②，①②得，所以，则，又，所以，解得，所以，则；故选：C3.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，令，则，．故选：C4.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，因为在上是增函数，故在上恒成立.若，则恒成立，符合题意；若，则或，解得，综上，.故选：C5.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同正根，即有两个不同正根，所以解得，故选:A.6.已知，为的导函数，则的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∵，∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；将代入得：，故C错误．故选：A．7.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，则,因此，所以选“使命”队参加比赛的概率.故选：D8.中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（）附：若：，则，，．A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773【答案】D【解析】骰子向上的点数为偶数的概率，故，显然，其中，，故，则，由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B.已知随机变量，若，则C.在列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数．“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件【答案】BCD【解析】对于选项A：若所有样本点都在直线上，且，所以这组样本数据的样本相关系数为，故A错误；对于选项B：如，则，因为，即所以，故B正确；对于选项C：在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则，所以也变成原来倍，故C正确；对于选项D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个，事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件包含的基本事件数为个，事件“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件包含的基本事件数为个，所以，，又因为包含的基本事件有个，所以，所以，则A、互为独立事件，故D正确；故选：BCD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在定义域上是增函数B.的值域为C.D.若，，，则【答案】BD【解析】对于A，函数的定义域为，，则在上均单调递增，由于函数图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误；对于B，结合函数的单调性，作出函数的大致图象，结合图象可知的值域为，B正确；对于C，由于，故，故，故，C错误；对于D，由题意知，又，即而，，故，结合在上单调递增，可得，D正确，故选：BD11.如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（）A. B.（）C. D.数列的前100项和为【答案】ACD【解析】对于A，，，，，A正确．对于B，由每层球数变化规律可知（），B错误．对于C，当时，，当时，满足，（）．，，C正确．对于D，，则其前100项和为，D正确．故选:ACD．第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列的前n项和，则____________．【答案】56【解析】由题意.故答案为：56.13.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示：x3467z22.54.57得到x与z的线性回归方程，则___________.【答案】【解析】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，则.故答案为：14.设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为__________．【答案】1【解析】令，则．因为，则，，可得，则．令，则，当时，即时，在内恒成立，可知在上单调递减，则，解得，经检验满足题意；当时，即时，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则，解得这与矛盾，舍去；综上所述：．故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分．15.已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求过点且与曲线相切的切线方程．解：（1），依题意，，即，解得；（2）曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，则点的坐标满足．因，故切线的方程为，注意到点在切线上，有，化简得：，解得．所以，切点为，切线方程为．16.已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此当为奇数时，，当为偶数时，，所以.17.在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．（1）请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．上课转笔上课不转笔合计合格25优秀10合计100（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为，求的分布列和数学期望．（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为，求的期望和方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人，2×2列联表如图所示，上课转笔上课不转笔合计合格254570优秀201030合计4555100所以能在犯错概率不超过0.01的条件下认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.（2）根据频率分布直方图大于600分的频率为，小于600分的频率为，故由分层抽样知，抽取的10人中合格有人，优秀的为人，则从这10人中随机抽取5人，合格人数服从超几何分布，由题意的取值范围为，故，，，，故分布列为2345.（3）由题意随机抽取1人则其上课转笔的概率为，故根据题意，，.18.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时（为大于0的常数），求的最大值；（3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意可知：的定义域为，且，令，解得；令，解得；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，，所以；当时，在上单调递减，所以．（3）当时，不等式，即恒成立，令，则，可知在上单调递减，可得，即恒成立，易知在内单调递减，所以，可得，所以的取值范围为.19.已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机