机械工程控制基础(第六版)课后习题答案

1.2系统及其模型

一、系统的特性

系统具有如下特性：

<1)系统的性能不仅与系统的元素有关，而且还与系统的结构有关；

(2)系统的内容比组成系统各元素的内容要丰富得多；

(3)系统往往表现出在时域、频域或空域等域内的动态特性。

二、机械系统

以实现一定的机械运动、输出一定的机械能，以及承受一定的机械载荷为目的的系统，称

为机械系统。对于机械系统，其输入和输出分别称为“激励”和“响应

三、系统模型

系统的模型包括实物模型、物理模型和数学模型等等。而数学模型乂包括静态模型和动态

模型。动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制工程中，一般关心的

是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。即，一般所指的系统的数学模型是描述

系统动态特性的数学表达式。

1.3反馈

一、系统方框图及其组成

系统方框图由许多对信号(量)进行单向传递的元件方框和一些连线组成，表征了系统各

元件之间及系统与外界之间进行信息交换的关系。它包括三个基本的单元，即

引出点(分支点)：表示信号的引出或信号的分支，箭头表示信号的传递方向，线上标记信

号的名称，如图1.3.L(a)所示.

比较点(相加点)：表示两个或两个以上的信号进行相加或相减运算”表示信号相加；

“一”表示信号相减，如图1.3.1.(b)所示。

元件方框：方框中写入元、部件的名称，进入箭头表示其输入信号；引出箭头表示其输出信

号，如图1.3.1.(c)所示。

工lto彳1±6X._________

-------———―-几部件名

6)引出点(b)比较点(c)元件方框

I?11.3.)系统方框图的基本组成单元

二、信息及信息反馈的概念

信息:一切能表达一定意义的信号、符号和密码等统称为信息。

反馈（信息反馈）:将系统的输出部分或全部地返回到系统的输入端并共同作用于系统的

过程，称为反馈或信息反债。

三、内反馈和夕卜反馈

内反馈:在系统或过程中存在的各种自然形成的反馈,称为内反馈。它是系统内部各个元

索之间相互耦合的结果。内反馈是形成机械系统动态特性的根本原因，纷繁复杂的内反馈的存

在使得机械系统变得异常复杂。读者对于机械系就中普遍存在的内反馈现象应引起足够的重

视.

外反馈:在自动控制系统中，为达到某种控制目的而人为加人的反馈,称为外反馈。

1.4系统的分类及对控制系统的基本要求

一、控制系统的基本概念

被控对象:在控制理论和控制技术中，运动规律或状态需要控制的装置称为被控对象（控

制对象）。被控对象可大可小,甚至可“实”可"虚

控制器:在控制系统中,除被控对象以外的所有装置，统称为控制器.

给定元件:控制系统中主要用于产生给定信号（输入信号、希望值）的元件。

反馈元件（通量兀件）:控制系统中用于测量被控量（输出量），产生反馈信号的元件。反馈

信号与输出量之间往往存在璃定的函数关系“

比较元件:控制系统中用以比较输出信号与反馈信号，并求取偏差信号的元件。有时并非

为物理兀件，可能通过物理定律或其他定律实现。

放大元件:控制系统中对输人信号或偏差信号进行幅值放大或功率放大的元件.

执行元件:控制系统中直接对被控对象进行操作的元件。

被控制量:表征被控对象运动规律或状态的物理量。实质上是系统的输出（输出量）。

希望值:希望的被控对象运动规律或状态的物理量（或你输入量、系统输入）.

偏差:系统的输入量与反馈量之差或之和（即比较环节的输出值）.

控制量:被控对象的输入量。由于往往是偏差量的某种函数，因此，也可籽偏差量看成控制量。

扰动量（干扰）:指除给定量以外，所有使得被控制量偏离给定值的因素，扰动量包括因系

统外部因素发生变化而引起的外扰动量和因系统内部因素所引起的内扰动量。

人工控制:在人的直接参与下,使被控对象的被控制量按预定的规律运动或变化的控制方式.

自动控制:在无人直接参与的情况下，利用一组装置使被控对象的被控制量按预定的规律

运动或变化的控制方式。

自动拄制系统:被控对象和参与实现其被控制量自动控制的装置或元、部件的组合。

二、对广义系统按反馈的情况进行分类

(1)开环系统：当一个系统以所需的方框图表示而没有反馈问路时，称之为开环系统。

开环控制系统一般由给定元件、放大元件、执行元件、被控对象等单元组成，其方框图可表

示成如图1,4.1的形式3

输出

被控对象

图1.4.1开环控制系统方框图

(2)闭环系统:当一个系统以所需的方框图表示而存在反馈回路时，称之为闭环系统。闭环

控制系统一般由给定元件、比较元件、放大元件、执仃元件、被控对象、测量元件等单元组成，其

方框图可表示成如图1J,2的形式。

®1.4.2闭环控制系统方框图

若将控制系统按被控对象和控制器两部分进行划分,则开环系统和闭环系统还可以分别

表示为如图L4.3(a)、(b)的形式。

(a)开环系统(b)困坏系统

图1.4.3系统方框图的简化形式

一个闭环自动控制系统的工作过程大体上可分为以下几个步骤：

1)测量被控制置的实际值；

2)将实际值与给定值进行比较，求出偏差的大小与方向；

3)根据偏差的大小与方向进行控制以纠正偏差。

简单地讲，闭环自动控制系统的工作过程就是一个“检测偏差并用以纠正偏差”的过程。

按反馈的作用不同，将反馈分为正反馈和负反馈。其中，儿能使系统的偏差的绝对值增大

的反馈，就称为正反馈;而能使系统的偏差的绝对值减小的反馈，则称为负反馈。

三、对自动控制系统按输出的变化规律进行分类

(1)自动调节系统:在外界的作用下,系统的输出仍能基本保持为常量的系统，也称为便定

系统或值值系统.

(2)倍动系统;在外界的作用下，系统的输出能相应于辅入在广阔范围内校任意规律变化

的系统.

(3)程序控制系统:在外界的作用下，系统的输出按预定程序变化的系统。

另外，广义系统还可根据足否满足桎加性而分为线性系统和非线性系统;根据系统中信号

或变量是否全是连续量而分为连续系统和离散系统(或模做系统和数字系统);根据系统的功

能可分为温度控制系统、速度控制系统等等，

四、对控制系统的基本要求

(D系统的稳定性。检定性是指动态过程的族荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。稔

定性的要求是系统工作的首要条件。

(2)系统响应的快速性。快速性是指当系统输出量与绐定的输入量之间产生偏差时，消除

这种偏差的快速程度。

(3)系统响应的准确性。唯确性指在调整过程结束后输出量与给定的瑜人量之间的偏差，

亦称为静态精度。

五、自动控制系统方框图的绘制步寐

(1)分析控制系统的工作原理，找出被控对象。

(2)分清系统的输入量、输出量.

(3)按照控制系统各环节的定义，找出相应的各个环节。

(4)按信息流动的方向将各个环节用元件方框和连线连接起来。

基本要求、重点与难点

一、基本要求

(】)了解机械工程控制论的基本含义和研究对象,学习本课程的目的和任务;掌握广义系

统动力学方程的含义。

(2)了解系统、广义系统的概念;了解系统的基本特性；了解系统动态模型和静态模型之间

的关系。

⑶掌握反馈的含义，学会分析动态系统内信息流动的过程，掌握系统或过程中存在的反帐

F)了解正反馈、负反馈、内反馈、外反馈的概念.

(5)了解广义系统的几种分类方法;军握闭环控制系统的工作原理、组成;学会绘制控制系

统的方框图，

(6)了解控制系统中基本名词和基本变量.

(7)了解对控制系统的基本要求。

二、本章重点

(1)学会用系统论、信息论的观点分析广义系统的动态特性、信息流，理解信息反愦的含义

及其作用。

(2)掌握控制系统的基本概念、基本变量、基本组成和工作原理；绘制控制系统方框图。

三、本章难点

广义系统的信息反馈及控制系统方框困的绘制。

例题

例L1设电热水器如图(例1.1.a)所

示。为了保持希望的温度，由温控开关接通或

断开电加热器的电源。在使用热水时，水箱中

流出热水并补充冷水。试说明该系统工作原理

并画出系统的方框图。

解在电热水器系统中，水箱内的水温需

要控制，即水箱为被控对象。水的实际温度是

被控制量，或称为系统的输出量，设为TeCCh

图（例1.l.a）输入量为用户希望的温度(给定值)，设为

7；(C)：由于放出热水并注入冷水或水箱散热

等原因而使水箱内水温下降成为该系统的主要干扰。

当7。(0=7,(0时，水箱的实际水温经测温元件检测，并将实际水温转化成相应的电

信号，与温控开关预先设定的信号进行比较而得到的偏差为零，此时电加热器不工作，水箱中

的水温保持在希望的温度上。当使用热水并注入冷水时，水温下降，此时C)<T,('C),则

偏差不为零而使温控开关工作。于是电源接通，电加热器开始对水箱内的水进行加热，使水温

上升，直到T(.('C)K7XC)时为止"系统控制方框图如图(例1.Lb)所示。

给定元件

图1例1.1.b)电热水器方框图

例1.2图（例1.2.a）为一恒温箱的温度控制系统，试分析这个系统的自动调温过程并说

明这个系统的输出最、输入量、控制量和扰动量各是什么。

图（例1.2.a）

解在该系统中恒温箱内的温度需要被控制，因此，恒温箱为被控制对象。恒温箱的实际

温度为被控制量（系统的输出量），设为T°（C）；希望的恒温箱的温度为系统的输入量（给定

值），设为Ti（C）;加热电阻丝的输出功率为控制量;而恒温箱散热量为系统的扰动量。

恒温箱的温度是由给定的电压信号内和热电偶输出的电压信号劭之间的偏差«-«2控

制的。当兀（C）=7：（C）时,3-劭=0,即偏差为零，此时系统不工作，恒温箱的温度保持在希

望的温度上。当外界因素引起箱内温度变化时，偏差信号为一即#0,偏差经电压和功率放大

后，使电机的转速和转向发生改变，并通过传动装置拖动调压器的动触头。当温度偏高时，动触

头向着减少电流的方向移动，反之加大电流,直到温度达到给定值为止。系统控制方框图如图

（例L2.b）所示。

图（例1.2,b）恒温箱温度控制系统方框图

习题与解答

II机械工程控制论的研究对象和任务是什么？

解机械工程控制论实质上是研究机械工程中广义系统的动力学问题。具体地说,它研究

的是机械工程技术中的广义系统在一定的外界条件（即输入或激励，包括外加控制与外加干

扰)作用下，从系统的••定的初始状态出发，所经历的由其内部的固有特性(即由系统的结构与参

数所决定的特性)所决定的整个动态历程:研究这一系统及其输入、输出二者之间的动态关系。

从系统、输入、输出三者之间的关系出发，根据已知条件与求解问题的不同，机械工程控制

论的任务可以分为以下五方面：

(1)已知系统、输入，求系统的输出，即系统分析问题；

(2)已知系统和系统的理想输出，设计输入，即最优控制问题；

(3)已知辘人和理想输出，设计系统,即最优设计问题；

(4)输出已知，确定系统，以识别输入或输入中的有关信息，此即滤波与预测问题；

(5)系统的输入和输出已知,求系统的结构与参数，即系统辨识问题，

1.2什么是内反馈？为什么说内反馈是使机械系统纷繁复杂的主要原因？

解内反馈是指在系统内存在着的各种自然形成的反馈。它主要由系统内部各个元素之间的

相互耦合而形成。内反馈反映系统内部各参数之间的内在联系,其存在对系统的动态特性有非常敏

锐的影响，而机械系统存在的内反馈情况千差万别、错综复杂，因此使得机械系统纷繁复杂。

13试分析如图(题L3.a)所示系统的内反愦情况。

图(题1.3.a)用(题I.3.b)系统的方框即

解分别对叫进行受力分析，并列写其动力学方程

ikt(xt-T])=f(t)(1)

叫五十4(心-,r2)+A©=0(2)

由⑴有

m?工+kzxz=/Q)T/⑶1(3)

由⑵有

m吊+(怎+A)Jj=k,.r,(4)

若以/⑴为系统的输入，A(f)为系统的输出，则系统的动力学方程可用图(题1.3.b)所

示的方福图表示。显然,该系统存在内反馈。

1-4试分析如图(题1.4.a)所示机械加工过程的内反馈情况。

解当刀具以名义进给量，进行切削时，在切削过程中产生切削力外,而使机床-工件系统发

生变形退让y,减少了刀具的实际进给°,此时a=s-y,进而又影响到切削力的变化，如此循环，使

得切削过程为一个动态历程，具有一些动态特性。其过程可用图(题1.4.b)所示的方框图表示。

图（题用（题1.4.b）切削过程的方框图

1.5什么是外反馈？为什么要进行反馈控制？

解外反馈是指人们为了达到一定的目的，有意加人的反馈,闭环捽制系统的工作是基于

系统的实际输出与参考输人间的偏差之上的。在系统存在扰动的情况下，这种偏差就会出现。

进行适当的反馈控制正好能检测出这种偏差，并力图减小这种偏差，而最终使得偏差为零。事

实上，反馈控制仅仅需为无法预计的扰动而设计，因为对可以预知的扰动,总可以在系统中加

以校正。

16试分析以下例子中哪些是人为地利用反馈控制，以达到预期指标的自动控制装置，

（1）蒸汽机的调速系统（参阅习题1.12）;（2）照明系统中并联的电灯：（3）电冰箱的恒温系

统；（4）家用全自动洗衣机.

解（1）、（3）为反馈控制系统；（2）.（4）不是反馈控制系统，详细分析请参考习题1.12和

习题1.10的解答。

17在下列这些持续运动的过程中，都存在信息的传输，并利用反馈来进行控制,试加以

说明.

（1）人骑自行车；（2）人驾驶汽车M3）行驶中的船.

解（1）人骑自行车时，总是希望自行车具有一定的理想状态（比如湮度、方向、安全等），

人脑根据这个理想状态指挥四肢动作，使自行车按预定的状态运动.此时，路面的状况等因素

会对自行车的实际状态产生影响，使得自行车偏离理想状态，人的感觉器官感觉车子的状态，

并将此信息返回到大脑.大脑根据实际状态与理想状态的偏差调整四肢动作，如此循环往复.

其信息流动与反馈的过程可以用图（题L7）进行表示。同理，可以解群（2）人驾驶汽车、（3）行

I?）（K1.7）人胎自行车佰息浪动与反馈的过程

驶中的船等过程中存在的信息流动与反馈情况.

1.8对控制系统的基本要求是什么？

解对控制系统的基本要求有系统的稳定性、响应的快速性和响应的准确性等。其中，系

统稳定性是控制系统工作的苜要条件。

1.9将学习本课程作为一个动态系统来考虑，试分析这一动态系统的输入、输出及系统

的固有特性各是什么？应采取什么措施来改善系统特性，提高学习质量？

解本课程的学习可视为一个动态系统，由教师、学生及教学大纲等构成。这一系统的输

人为教学大纲的要求，输出为实际的教学质量，这个系统中教师的教学和学生的学习是影响系

统输出的主要因素，而二者又是紧密联系，相辅相成，缺一不可的。因此，在教学的过程中要充

分发挥这两方面的积极性和能动性，及时反馈和交流思想，只有这样才能较好地完成教学大纲

的要求，提高学习质量.

1.10日常生活中有许多开环和闭环控制系统,试举出几个具体例子，并说明它们的工作

原理。

解在日常生活中，有许多开环控制系统，如：全自动洗衣机、电风南、电动搅拌机等。就全

自动洗衣机而言，用户输入指令，机器按照用户选择的洗衣程序洗涤衣物。程序完成后，无论衣

物是否干净，机器均停止工作。其方框图如图（题1.10）所示。

洗衣指令衣物干净程度

瘫&〔—■厂注衣机i一工云荡—[

图（题].10）

在日常生活中，也有许多闭环控制系统，如；电

冰箱、电热水器等。其中，电热水器的温度控制系统

的工作原理及其控制方框图，可参考例Lio

1.11图（题1.ll.a）表示一个张力控制系统。

当送料速度在短时间内突然变化时，试说明控制系

统的工作原理。

解（1）在给定参考输入下，即要求带料速度为

某一数值，此时系统处于稳定状态，由重锤G、动滑

轮/一等组成的系统力平衡。重锤的重力G、动滑轮的

重力F、带的张力2T之间的关系为：2T=P+G.由

图（题1.ll.a）于受力平衡，动滑轮在铅直方向上不动，测量用的转

盘不转动，即测量头的输入轴不转动。

（2）当送料速度在短时间内突然发生变化时，带料在送料的过程中张力发生变化，此时力

平衡受到破坏，于是，动滑轮在铅直方向上产生位移，测量用的转盘转动，并使测量头输入轴转

动，其角位移输入到放大器。

（3）角位移转化为电信号经放大器放大后，输入马达按减小带料张力变化的方向转动。从

而抑制了张力的变化，达到控制张力的目的.该系统控制方框图如图（题Lil/）。实际上，该

系统的输入为动滑轮自重尸和重锤重量G（可通过改变G调节带料张力）；测量环节是带料,

它产生张力T;比较过程是通过2T与P+G的平衡关系即转盘是否产生角位移而实现；角位

移经传感器转化为电信号，然后经放大•作为执行元件马达的输入；马达产生转动对被控对象

带料实施控制。

国（题1.11.b；

I-12图（题L12.a）表示的是一角速度控制系统原理图。离心调速器的轴由内燃发动机

通过减速齿轮获得角速度为s的转动，旋转的飞锤产生的离心力被弹簧力抵消，所要求的速

图（题1.12.3）

度卬由弹簧预紫力调准0当3突然变化时•试说明控制系统的作用情况.

解发动机无外来扰动时.离心调速器的旋转角速度基本为-一定值•此时,离心调速器与

液压比例控制器处于相对平衡状态；当发动机受外来扰动•如负载的变化•使3上升，此时离

心调速器的滑套产生向上的位移，•杠杆的作用使液压比例控制器的控制滑阀阀芯上移，

从而打开通道1,使高乐油通过该通道流入动力活塞的上部，迫使动力活塞下移，并通过活塞

杆使发动机油门关小，使3下降，以保证角速度3恒定。当下降到一定值•即"下降到一定值

时，液压滑阀又恢复到原位，从而保持了转速3的恒定，其方框图如图（题1.12.b）所示。

图（题1.J2.b>

113图（题1.13.a）所示为一液面控制系统。图中K.为放大器的增益，D为执行电机.

N为减速器.试分析该系统的工作原理,并在系统中找出控制《»、扰动量、被控制量、控制器和

被控对象.若将此自动控制系统改变为人工控制系统.试画出相应的系统控制方框图.

图（题1.13.a>

解图（踵1.13.a）所示是一种液面自动控制系统，以保证液面高度不变.水通过阀口控

制而进入水箱，当水位不断上升时,通过浮子使电位E..变化，经放大控制电机转动，通过减速

器使阀门关小，减少水流量河2.当水位下降时.通过浮子反馈，经电机通过减速器使阀门开大.

这一例坏控制系统，是用浮子作比较器来比较实际液面高度和所希望的液面高度,并通过电位

信号控制电机来控制阀门的开度.对偏差进行修正,从而保持液而高度不变,其控制方框图如

承（题1.13.b）.

系统中控制量为扰动斌为Q,被控制量为液面的高度.被控制对象为水箱，除水箱以

外的部分统称为控制器。

图（题1.13.1））

若将此系统改为人工控制系统，则人眼代替浮子作为测量元件，大脑取代电位器作为比较

器,手取代放大器、电机、减速器等作为放大、驱动环节。其控制方框图如图（题1.13.C）,

图画1.13.C）

114试说明如图（题LM.a）所示液而自动控制系统的工作原理。若将系统的结构改为

如图（题1.14,h）所示，将对系统工作有何影响？

（3）lb)

t!MfDfh11

解图（题l.lLa）所示是一种液面自动控制系统，以保证液面高度不变。水通过悯门控

制而进入水箱，当水位不断上升时，通过浮子，经杠杆机构使阀门关小，减少进水流量.当水位

下降时，通过浮子反馈，经杠杆机构使阀门开火。这一闭环控制系统，是用浮子作控制器来比较

实际液面高度和所希望的波面高度，并通过杠杆机构来控制阀门的升度，对偏差进行修正，从

而保持液面高度不变，其控制方框图如图（题1.14.0。此系统为一负反馈系统。

图（题1.14.C）

而图（题1.14,b）申，水通过阀门控制而进入水箱，当水位过高时，通过浮子，经杠杆机构

使阀门开大，增大进水流量。当水位下降时，通过浮子反馈，经杠杆机构使阀门关小。这一闭环

控制系统，用浮子作控制器来比较实际液面高度和所希望的液面高度，并通过杠杆机构来控制

阀门的开度，但反馈的结果使偏差增大，此系统为一正反馈系统。其控制方框图亦如图（题

1.14.c）,但由于引入了不适当的正反馈，使得系统不稳定，无法达到液面自动控制的目的.

115某仓库大门自动控制系统的原理如图（题L15.a）所示，试说明自动控制大门开启

和关闭的工作原理,并画出系统方框图。

图（题1.15.a）

解图（题1.15.a）所示是一种大门开闭自动控制系统，以保证大门按要求正确开启和关

闭.当开关位于“开门”状态，并且门未开到位时，通过电位器，使放大器输人端正向电压不为

0,经放大器放大驱动电机带动绞盘正向转动使门上升而开启，直到门开启到位。当开关位于

“关门”状态，并且门未关钥位时，通过电位器，使放大器输入端反向电压不为0,经放大器放大

购电机带螭登反嵋嫩吓麻联队这一炳也制系纥是用电解作雌歌雌

。实附U祗稀里的状态,并通过及大器、驱前甩机、纹射1的开机机^汨港

正,从施现后和魏制泼控制方框抑图随1』3从此德为-负反敏感

MLlS.b)

第三章

系统的数学模型

内容提要

系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统，如果系统的运动

状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统,线性系统的一个最重要的特性就是满足叠

加原理。线性系统乂可分为线性定常系统和线性时变系统.

系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。对于同一系统，数学模型可以有多种形式,

如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等，但系统是否线性这一特性，不会随

模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。

系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析法和

实验辨识法两种。前者主要用于时系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常

用于对系统结构和参数有所了解,而需进一步精化系统模型的情况.对复杂系统的建模往往是

分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程.在建模的过程中还要正确处理模型简化和模

型精度的辩证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型，

2.1系统的微分方程

列写系统或元件微分方程的一般步骤为：

（D确定系统或元件的输入能和输出量；

（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入相出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微

分方程；

（3〉消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式；

（4）将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且

各阶导数项按降塞排列.

如果系统中包含非本质非线性的元件或环节,为研究系统方便,通常可将其进行线性化。

非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一.匚作点（或称平衡点）附近展开成

泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项，并

将其写成增量坐标表示的微分方程“

2.2系统的传递函数

一、传递函数

对于线性定常系统，传递函数是一种常用的数学模型，其定义为:在零初始条件下，系统输

出的Laplace变换与引起该输出的输人盘的Laplacf变换之比.

若线性定常系统输入与输出%（/）之间关系的微分方程为

L

%/£(/)，〃…工厂"/)…T41r0(r)-4)北(，)

=MR>(/)-6"⑴?…卜6as十如•，⑺(2.2.1)

则，系统以及(£)为输出、4”)为输入的传递函数可表示成；

\X.(s)〃“广4-6”].「,'+…+仇5,卜〃C,、、

6(.0=y-r-=——,-T------------'------7----71(«小小)(2.2.2)

Xjs)+Qn(5,…4

系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在「一（厂时输入.r,a）才开始作用于系统，因此，=

0-时立月）及其各阶导数均为零;二是指在-时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上

运行，因此r=o-时,输出心⑴及其各阶导数也均为零。现实的工程控制系统多属此类情况。

传递函数具有以下特点；

（1）传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反

映了系统与外界之间的联系。

（2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其

传递函数。但是,一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。

（3）传递函数分子中，的阶次不会大于分星中、的阶次。

（4）传递函数有无展纲和取何种量纲，取决于系统输出的鼠纲与输入的盘纲.

（5）不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或兀件，可以具有相同形式的传递函数。

（6）传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述,但对于多

输入、多输出系统，需要对不同的输人量和输出时分别求传递函数.另外，系统传递函数只表示

系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性）*而未表示系统中间变量之间的关系

（描述系统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系

统的动态特性进行描述，

二、传递函数的零点、极点和放大系数

传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点.根据复变函数知识，凡能使复变函数为0

的点均称为零点;凡能使复变函数趋于g的点均称为极点…

若将传递函数写成如下的形式：

\1（SM|）（S一如）…（S—Zm）,山在妫

G"）=7；一";工建”——r;1为常数

（5—/>.）（5—生）…（'一/>»）

则,$=巧（/=1,2,“,,沈）为忙建函数的零点*=e"=1，2」“,"）为传递函数的极点,而将/称为

系统的放大系数。传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定

性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状，即影响系统的瞬态性能，系统的放大系数决定了系统的

稳态输出值。因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。

三、典型环节的传递函数

系统是由若干典型环节组成的。常见典型环节及其传递函数的一般表达式分别为：

比例环节GG)=K

一阶惯性环节GG)=念

积分环节G(s)=我

微分环节G($)=T$

振荡环节、―厌

!

,.»+23n&+欣

延时环节GG)=L

以上各式中:K为比例系数;7为时间常数净为阻尼比;引为无阻尼固有频率通为延迟时间.

四、闭环系统的传递函数

闭环系统的传递函数方框图如图2.2.1所示。

图中，前向通道的传递函数为

X(5)

G(s)=o

E(s)

反馈通道的传递函数为

B(s)

图2.2.1闭环系统的结构图H。)=

开环传递函数为

GK(5)=,二—G(£)//(.$)

闭环传递函数为

f'f\X。(s)G(5)

5G)=XX?)TTGWTCO

若=则此闭环系统为单位反馈系统，其闭环传递函数为

X«(s)G'G)

6nCs)==FT碗5

读者应该注意到，这里所说的开环传递函数、反馈通道传递函数和前向通道传递函数都是

一个闭环系统中一部分元件或环节的传递函数，而闭环传递函数才是这个闭环系统的传递函

数。表示闭环系统内各种传递函数的符号只是一个符号而已，读者在遇到相应问题时，要根据

概念具体地分析。

2.3系统的传递函数方框图及其简化

一、传递函数方框图

在系统建模中，对于各个环节，分别用传递函数代表环节，用环节输入、输出的Laplace变换代

表其输入和输出，而形成的一种表示系统与外界之间以及系统内部各变量之间的关系的方根图就

是传递函数方楣用。与系统方框图相对应，它包含函数方柢相加点和分支点等三种基概装

建立系统方框图的步噱如下：

(1)建立系统(或元件)的原始微分方程；

(2)对这些原始微分方程在初始状态为零的条件下进行Laplace变换，并根据各个变换式

的因果关系分别绘出相应的方框图；

(3)从系统的输入量与主反馈信号进行叠加的比较环节开始，沿信号流动的方向，通过传

递函数方框料所有的中间变量之间的关系一一画出，直至血出系统的输出量与主反债信号。

二、传递函数方框图等效的基本规则

传递函数方框图等效的基本规则如表2.3.1所示。

三、传递函数方框图简化的一般步骤

(1)确定系统的输入量和输出量。如果作用在系统的输入量有多个，则必须分别时每一个

输入量(此时，假设其他输入均为零)，逐个进行方征图的简化,求得各自的传递函数。对于具有

多个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。

(2)若方框图中有无交叉的多个回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直到简化成一个

方框的形式。若方框图中有交叉的连按，用如下的方法。

方法一:若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件，

条件1,整个系统方框图中只有一条前向通道；

条件2,各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框，

则可以直接用下列公式求解：

前向通道的传递函数迪_________/八n

'X《)1十，［每一反馈回路的开环传递函数之积］…

括号内每一项的符号是这样决定的:在相加点处，对反馈信号为相加时取负号,对反馈信号为

相减时取正号。

方法二:若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加点、分支点的前后移动

等法则，将系统传递函数方框图化为同时满足以上两个条件的形北然后应用公式(2.3.1)即可。

方法三:若系统的传递函数方征图不同时满足以上两个条件,可通过相加点、分支点的前

后移动等法则，牌交叉指除，简化成无交叉的多回路形式。然后由里到外进行变换直至变换成

…个单一回路或一个方框的形式,最后写出系统的传递函数。

_1_

2.4反馈控制系统的传递函数

设闭环系统在干扰作用下的方框图如图2.4.L

削241闭环系统在干扰作用下的方框图

根据线性系统的叠加原理，系统输人与系统的干扰相互独立地对系统起作用.

设输人X6）引起的输出为X°x（$）,干扰N⑺引起的输出为X芯5）。令干扰N（s）为零，则

可得系统在输人作用下的传递函数为

/、,.、_Xox。）_G（S）G2（S）

fJy,IC）-w--UTT〜—1<•*«»«（2.4.1）

X,（5）1+G1G）G（5）〃（S）

令输入X6）为零，则可用系统在干扰作用下的传递函数为

入、________＜；（5）_____…、

7N（5）XM2

--JV（5）~1+G1（.0（Z（5）//（S）（2.4.2）

在上式中，若取IG（$）〃（s）l》l,且1日。）。人）〃（。|》1,则干扰所引起的输出趋于0.

因此，尽管系统在运行的过程巾，干扰是不可避免的，而对于反馈控制系统，只要系统参数选择

适当，就可以使系统具有很强的抗干扰能力。

从式（2.4.1）和式（242）可知,对于同一个闭环系统,当输入的取法不同时,前向通道的

传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统传递函数也不同，但传递函数的分母不变•这说

明了系统传递函数的分母确实反映了系统本身的固有特性,这个特性与外界无关.而这一结论

对开环系统并不适用。

2.5相似原理

相似系统（环节）;能用形式相同的数学模别来描述的物理系观（环节）称为相似系统（环

节）。

相似量:对于相似系统而言，在微分方程或传递函数中占有相同位置的物理量称为相似

最

由于系统传递函数或微分方程表示的是系疏的动态特性，而与系统具体的物理构成无关,

相似的数学模型表示的不同物理构成的系统具有相似的动态特性,数学模型的相似性是进行

系统模拟或系统仿真的基础。

基本要求、重点与难点

1、基本要求

(1)了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络

的微分方程。

(2)掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。

(3)能够用分析法求系统的传递函数。

(4)掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。

(5)了解传递函数方框图的组成及意义;能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方框

图，并实现简化，从而求出系统传递函数。

(6)掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握

干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。

(7)了解相似原理的概念。

二、本章重点

(1)系统微分方程的列写。

(2)传递函数的概念、特点及求法;典型环节的传递函数。

(3)传递函数方框图的绘制及简化。

三、本章难点

(1)系统微分方程的列写。

(2)传递函数方框图的绘制及简化。

例题

例2.1设有一个倒立摆,该倒立摆装在只能沿工方向移动的小车上，如图(例2.1)所示。

m图中M为小车质量也为摆的质量，/为摆长。当小车受到外力小)作

用时，如果摆的角位移式。较小，试求以夕⑺为输出、"。)为输人的系

统动力学方程。

解当小车在外力〃⑴作用下产生位移工0时,摆的角位移为

次D,则接心的位置是i(r)+/sin虱力。以整个系统为研究对象,根据牛

顿第二定律，在水平方向上的动力学方程为

“(f)=Md患]〜加奈&(/)+说呼⑴]

图（例2.1）

同样，以摆为研究对象，摆在垂直于摆杆方向上的动力学方程为

/铲+利竽cos明

川用sin夕Q)

即u(t)w(M+m)x⑺+ml@Q)cos贝f)—“"/(DsingQ)[

mgsin伙⑺=udj>(t)+mi(/)cos^/)j

这是一个非线性微分方程组。当次。较小时，取

bin^(Z)a代)cosy?(f)-1

并略去的高次项,得如下线性运动微分方程组

u[t}=(M+m)'z(t)+ml<p⑴[

mg拗)=ml'<p(t)+mx(r)\

联立求解得Q)—(M+m)破Q)=一3)

例2.2设无源网络如图(例2.2)所示。设该网络的初始条件为零，试求其传递函数

小。)/。心)，并说明该网络是否等效于KC和RI,两个网络的串联。

解(1)如图(例2.2),由节点电流和回路电压定律可知处，，”

O-1k_L.__9

u,=/,1/?!+ip2dr1

J«<C_"KJUQ

.j.df=L*+i3R2

it=h+h

ua=i3R2图(例2.2)

接下来有两种解法。

方法一:联立四个微分方程，并消除中间变量“MG得

RJC...(RiRzC+E).,R,

十一一"+自-"。+"°=冗"

再在零初始条件下对上式两边进行Laplace变换得

53瓦+&

=一]疣"；：(-R2c+工厂二二

+-RT+IT"5+1

方法二:分别对上述四式在零初始条件下进行Laplace变换有

•“⑴=八(5)&+.♦*)

；h2(i)=A.J3(J)+乙(5)&

L(s)=/2(5)+八($)

U«($)=I3(S)R2

联立并消除中间变质L-/《闱

一旦

上触=_______AT—_______

U-7&瓦-十力一

危凡十%1

(2)如果将网络分割开来，则KC网络的传递函数为

}_

&(5)_______]___

U《)0,1冗G+1

"十百

网络的传递函数为

-—&

IJM一R：+l'a

再将&C和A/,两个网络串联，则其传递函数为

-⑴_I__J?2_=__________]____________

UM-—Cs+1•民丁口—冗7Z二一函MTZ厂二

K+—瓦S+1

由于这种方法将系统分割开来,并未考虑负载效应的影响，因此,RC和R/,两个网络的串

联不能等效于原系统。

例2.3设已知描述某控制系统的运动方程组如卜

x,(Z)=r(t)~i(t)-w,(Z)(1)

心(/)多储八。)(2)

=r2(t)-.r5(Z)(3)

【市=Q(，)(4)

.r5(Z)=.r4(/)-Kzn：(t)(5)

di")dtU)

八°4(八二7广十-^―(6)

式中,r(f)为系统的输入量四”)、小⑺为系统的扰动量“•⑺为系统的输出敢;.r()〜is")为

中间变量;K。、储、珞为常值增益;T为时间常数.

试绘制该控制系统的传递函数方框图，并由此方框图求取闭环传递函数C(s)/R(s)、

CG)/M(s)及C(s)/N<s).

解(1)绘制系统传递函数方幅图

分别对上述各式在初始条件为零时取Laplace变换得

Xj(s)=R(s')-C(5)+A;,G)