几何压轴大题（版含解析）

2020中考考点必杀500题

专练13(几何压轴大题)(30道)

1.(2019•安徽省中考模拟)已知如图1,在aABC中，NACB=90°,BC=AC,点D在AB

上，DE_LAB交BC于E,点F是AE的中点

(1)写出，线段FD与线段FC的关系并证明；

(2)如图2,将4BDE绕点B逆时针旋转a(0°<Q<90°),其它条件不变，线段FD与

线段FC的关系是否变化」，写出你的结论并证明；

(3)将4BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4,BE=2直,直接写出线段BF的范围.

图1图2

【答案】(1)结论：FD=FC,DFX.CF.理由见解析；(2)结论不变.理由见解析；(3)应

W8*3四.

【解析】

解：(1)结论：FD=FC,DFLCF.

理由：如图1中，

图1

:aADE=ZACE=9Q°,AF=FE,

：.DF=AF=EF=CF,

:.乙FAD=2FDA,乙FAX乙FGA,

：.ZDFE=ZFDA^ZFAD=2ZFAD,EFC=FAC+FCA=2FAC,

■:CA=CB,N428=90°,

AZBAC=45°,

1

DFC=/EFA/EFC=2QNFA肚4FAC^=90°,

：.DF=FC,DFA.FG.

(2)结论不变.

理由：如图2中，延长47到的使得掰=%延长口到乂使得ZW=〃E连接8伙BM.EM、

AN,延长ME史AN于H,交彳8于0.

,:BCLAM,AC=CM,

：.BA=BM,同法BE=BN,

•：ZABM=/EBN=9G,

J/NBA=4EBM,

:・XAB哙XMBE,

：.AN=EM,：.4BAN=4BME,

、：AF=FE,AC=CM,

11

/.CF=-EM,FC//EM,同法&7=-4V,FD〃AN,

22

：.FD=FC,

•：NBM曰NB0M=9G°,4B0M=/AOH,

:・NBAMNA0H=9C,

・・・N4/0=9O°,

:.AN工MH,FD1FC.

（3）V2<BF<3V2.

当点£落在Afi上时，Bb取得最大值，

如图5所示，•「JBC=4,AC=BC,XACB=90°,AB=4^2,

2

是AE的中点，；.EF=g（AB—BE）,

大BE=2V2,

：.BF=BE+EF=BE+~（AB-BE）=272+1（4拒-2码=372,

即5尸的最大值为3

当点E落在A3延长线上时，3厂取得长最小值，

如图6所示，•••3C=4,AC=BC,ZACB=90°,.­.AB=4A/2,

,.•/是4石的中点，二4/=；（48+8石），

入BE=2V2,

/.BF=AB-AF=AB-1（AB+BE）=4V2-1（4A/2+2A/2）=A/2,

即3尸的最小值为J5.

图6

综上所述，y/2<BF<342-

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中

3

线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形

解决问题，属于中考压轴题.

2.(2019•山东省中考模拟)正方形ABCD中，E是CD边上一点，

(1)将AADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到尸，如图1所示.

观察可知：与。石相等的线段是,ZAFB=A______.

(2)如图2,正方形ABC。中，P、Q分别是5C、CD边上的点，且/PAQ=45。，试

通过旋转的方式说明：DQ+BP^PQ

(3)在(2)题中，连接BD分别交｛R2WxW4｝于M、N,你还能用旋转的思想说明

BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)BF,AED;(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

(1)、:△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到aABF,

VDE=BF,NAFB=NAED.

(2)、将aADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合，得到aABE,如图2,

则ND=NABE=90°,即点E、B、P共线，NEAQ=NBAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,VZPAQ=45°,

：.ZPAE=45°AZPAQ=ZPAE,.•.△APE^AAPQ(SAS),；.PE=PQ,

而PE=PB+BE=PB+DQ,；.DQ+BP=PQ；

(3)、：四边形ABCD为正方形，ZABD=ZADB=45°,

如图，将AADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合，得到△ABK,

贝INABK=NADN=45°,BK=DN,AK=AN,与(2)一样可3正明ZkAMN四△AMK,得至|MN=MK,

VZMBA+ZKBA=45°+45°=90°,.♦.△BMK为直角三角形，...BK2+BMJMK2,.\BM2+DN2=MN2.

4

考点：（1）、旋转的性质；（2）、全等三角形的判定与性质；（3）、勾股定理；（4）、正方形的

性质.

3.（2019•内蒙古自治区中考模拟）如图，内接于四是。。的直径，能平分N4田

交。0于点D,交48于点F,弦AELCD干热H,连接CE、OH.

（1）延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC=PB•PA,求证:QC是G）0的切线；

（2）求证：CF-AE=AC*BC-,

3

【答案】⑴见解析；⑵见解析；（3）二一，OH工.

2

【解析】

PCPA

⑴证明：:川二阳・PA,；.一二一，

PBPC

：2BPCNAPC,:.XPBG^XPCA,

.：ZBAC=/PCB,连接OC,如图所示，

:AO=OC,.：ZACO=NBAG,.：ZACO=NPCB.

:S3是＜30的直径，/90°,

；.NBCO+NACO0O°,

.：NBCO+乙PCB90°,.：NPCO9Q°.

是半径，./C是00的切线.

5

⑵证明：：工8是。0的直径，.：N/吩90°.

:CD平分/ACB,；./ACD=/FCB25°.

"/AE1.CD,ZO1E45°-ZFOB.

在/\ACE与丛CFB中,

ZCAENFCB,/AEC=ZFBC,

.：XACEsXCFB,

CFBC

.\GF-AE=AC'BC.

（3）作F肚4c于M,FNLBC于N,CQLAB于Q,延长AE、比交于点K.

:CD平分ZACB,；.FM=FN.

:SXACF=-AC-FM=-AF,GQ,

22

11

SXBCF—BC,FN=—BF,CQ、

22

V-ACFM-CQAF

..△ACF_2

■S1

△BCFLBCFN^CQBF

2

,AFAC

AC

:F8是◎。的直径，...NACBhO。且tanN/8C=——.

BC

AF3

：,——二一且NAEC=2ABC,

BF2

AC3

.StanNAEC^sxxNABC=---------.

BC2

设AC=3k,BCAk,

丁在RtAACB中，A百二A@+B@且ABB.岳,

,：（3〃）2+（2%）2=（2旧）2,.：〃？々二一2舍去）,

.♦.AC4,BCN,

丁“侬N5°,NCHK90。,

6

.：NKN5°-ZCAE,

.\HA=HC=HK,CK=CA=6.

:CBN,；.BK4Y2

,：OA=OB,HA=HK,

.：仍是△48/T的中位线，；.OH=LBKW.

2

【点睛】

此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和

性质、三角形中位线定理等知识的综合应用.

4.（2017•营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB

延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不

与点A、B重合），另一直角边与NCBM的平分线BF相交于点F.

（1）如图1,当点E在AB边得中点位置时：

①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是;

②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是,请证明你的猜想；

（2）如图2,当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证

明你的猜想.

【答案】（1）①DE=EF;②NE=BF;理由见解析；（2）DE=EF,理由见解析.

【解析】

解：（1）①DE=EF;②NE=BF;理由如下：

:四边形ABCD为正方形，

.'.AD=AB,ZDAB=ZABC=90°,

VN,E分别为AD,AB中点，

11

.-.AN=DN=-AD,AE=EB=-AB,

22

.\DN=BE,AN=AE,

7

VZDEF=90°,

・・・NAED+NFEB=90°,

・・・NFEB=NADE,

又TAN二AE,

AZANE=ZAEN,

又丁NA二90,

・・・NANE=45°,

AZDNE=180°-ZANE=135°,

又・.・NCBM=90°,BF平分NCBM,

ZCBF=45°,ZEBF=135°,

ZADE=ZFEB

在aDNE和AEBF中<DN=EB,

ZDNE=ZEBF

AADNE^AEBF(ASA),.'.DE=EF,NE=BF.

(2)DE=EF,理由如下：

在DA边上截取DN二EB,连接NE,

•・•四边形ABCD是正方形，DN二EB,

・・・AN=AE,

/.AAEN为等腰直角三角形，

・・・NANE=45°,

AZDNE=180°-45°=135°,

「BF平分NCBM,AN=AE,

AZEBF=900+45°=135°,

AZDNE=ZEBF,

VZNDE+ZDEA=90°,ZBEF+ZDEA=90°,

AZNDE=ZBEF,

ZADE=ZFEB

在aDNE和4EBF中<DN=EB,

ZDNE=ZEBF

8

/.ADNE^AEBF(ASA),

.,.DE=EF,

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明aDNE

与4EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键.

5.（2019•山东省中考模拟）（1）（问题发现）

如图1,在RtZVISC中，AB=AC=2,NBAC=9Q°，点〃为8c的中点，以切为一边作正方

形CDEF,点、E恰好与点、A重合，则线段BE与4尸的数量关系为

（2）（拓展研究）

在（1）的条件下，如果正方形Q仔绕点C旋转，连接班CE,AF,线段或■与4尸的数量

关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）（问题发现）

【答案】（1）BE=V2AF；（2）无变化；（3）67或有+1.

【解析】

解：（1）在RtZ\ABC中，AB=AC=2,

根据勾股定理得，BC=V2AB=2V2,

点D为BC的中点，.,.AD=yBC=,

:四边形CDEF是正方形，.\AF=EF=AD=72,

9

VBE=AB=2,.\BE=V2AF,

故答案为BE=V2AF：

(2)无变化；

如图2,在RtAABC中，AB=AC=2,

/.ZABC=ZACB=45°,/.sinZABC=—=—,

CB2

在正方形CDEF中，ZFEC=-ZFED=45°,

2

CF、历

在RtZiCEF中，sinZFEC=—,

CE2

•CF-CA

"CE-CB;

•?ZFCE=ZACB=45°,：.ZFCE-ZACE=ZACB-ZACE,ZFCA=ZECB,

AABECB「f-

.-.△ACF^ABCE,—=—=72,.,.BE=A/2AF,

线段BE与AF的数量关系无变化；

(3)当点E在线段AF上时，如图2,

由(1)知，CF=EF=CD=V2,

在Rtz^BCF中，CF=V2,60=272,

根据勾股定理得，BF=V6,••.BE=BF-EF=V6-V2,

由(2)知，BE=72AF,.,.AF=V3-1,

当点E在线段BF的延长线上时，如图3,

.•.siMABC备?

在RtZkABC中，AB=AC=2,AZABC=ZACB=45°,

在正方形CDEF中，ZFEC=-NFED=45

CF.CF_CA

在Rt2XCEF中，sinZFEC=——

CE2…CE-CB

VZFCE=ZACB=45°,JNFCB+NACB=NFCB+NFCE,AZFCA=ZECB,

10

BECB「r-

.,.A△ACF^AABCE,J——二——=J2,二BE二后AF,

AFCA77

由(1)知，CF=EF=CD二0,

在Rt^BCF中，CF=V2,BC=20,

根据勾股定理得，BF=76,.,.BE=BF+EF=V6+V2,

由(2)知，BE=V2AF,.,.AF=V3+1.

即：当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候，线段AF的长为百-1或3+1.

6.(2019•山东省中考模拟)如图1,在及AABC中，ZA=90°,AB=AC,点。、E

分别在边AB、AC上，AD=AE,连结。C,点M、P、N分别为。石、DC、BC

的中点.

(1)观察猜想图1中，线段与PN的数量关系是,位置关系是；

(2)探究证明把A4Z)石绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN、BD、CE,

判断APMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸把A4Z)石绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出

APMN面积的最大值.

【答案】(1)PM=PN,PMLPN;(2)A/列W是等腰直角三角形，理由见解析；(3)

11

49

面积的最大值为——.

2

【解析】

解：(1)；点、P、N是CD、3c的中点

/.PN//BD,PN=-BD

2

•.•点P、M是CD、。石的中点

/.PM//CE,PM=-CE

2

VAB=AC,AD=AE

：.BD=CE

PM=PN

•；PN//BD

：.ZDPN^ZADC

•••PM//CE

：.ZDPM=ZDCA

•：NH4c=90°

/.ZADC+ZACD=90°

：.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ADC=90°

/.PM±PN

(2)结论：APAW是等腰直角三角形.

证明：由旋转知，XBAD=NCAE

VAB=AC,AD=AE

：.AABD丝AACE(SAS)

：.ZABD^ZACE,BD=CE

•.•由三角形中位线的性质可知，PN=-BD,PM=-CE

22

/.PM=PN

APAW是等腰三角形

•.•同(1)的方法得，PM//CE.ZDPM=ZDCE

同(1)的方法得，PN//BD./PNC=NDBC

12

/.ZDPN=NDCB+/PNC=/DCB+ZDBC

/.ZMPN=ZDPM+ZDPN

=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC

=ZACB+ZABC

•：ZBAC=90°

：.ZACB+ZA5C=90°

；.NMPN=90°

，APAW是等腰直角三角形；

(3)•.•由(2)得，APAW是等腰直角三角形，

最大时，APUN的面积最大

/.DEHBC且。石在顶点A上面时，"N最大值AM+AN,连接AM,AN,如图：

•.•在AAD石中，AD=AE=4,ZDAE=9Q°

•••AM=2A/2

•.•在△ABC中，AB=AC=10,ABAC=90°

•••AN=542

:.MN最为叵=AM+AN=7垃

：.S-=-PM~=----MN2.

△HWN取大值2224、,2

故答案是：(1)PM=PN,PMLPN}(2)△尸MN是等腰直角三角形，理由见解析；(3)

49

△PMN面积的最大值为—

2

【点睛】

13

本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求

最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强.

7.(2018•河南省中考模拟)已知：在AABC中，47是5c边上的中线，点£是4?的中点；

过点/作AF/ABC,交延的延长线于E连接花

(1)求证：四边形4戚是平行四边形；

(2)填空:

①当=时，四边形4叱是形；

②当ABAC=90°时，四边形ADCF建形•

【答案】(1)见解析；(2)①矩；②菱.

【解析】

证明：BC,:.ZAFE=NEBD.

在&AEF和ADEB中

NAFE=DBE

ZFEA=ZBED,

AE=DE

:.AAEF丝ADEB(AAS).

:.AF=BD.

AF=DC.

^-AF//BC,

：.四边形47C厂为平行四边形；

⑵①当AB=4。时，四边形/外尸是矩形;

②当NBAC=90°时，四边形儿万■尸是菱形.

故答案为矩，菱.

14

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出AAEFGADEB是

解题关键.

8.(2019•江苏省中考模拟)如图，矩形ABC。中，AB=6,5C=8,点E在3c边的

延长线上，连接。E,过点3作。E的垂线，交CD于点交AD边的延长线于点N.

(1)连接EN,若BE=BD,求证：四边形3END为菱形；

(2)在(1)的条件下，求&W的长；

(3)设CE=x,BN=y,求丁关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)BM=-y/10；(3)6仃+36,0<x<-.

3'x2

【解析】

解：(1)证明：VBD=BE,BM±DE.\ZDBN=ZEBN

.四边形ABCD是矩形，AD/7BC

ZDNB=ZEBN/.ZDBN=ZDNB

?.BD=DN

又：BD=BE.\BE=DN又；AD〃BC.•.四边形DBEN是平行四边形

又•/BD=BE平行四边形DBEN是菱形

(2)由(1)可得，BE=BD=AB2+AD2=10/.CE=BE-BC=2

15

A在RtADCE中,DE=7CD2+CE2=2A/10

由题意易得NMBC=NEDC,又NDCE=NBCD=90°

.,.△BCM^ADCE

BCBM8_BM8后

DCDE62V103

(3)由题意易得NBNA二NEDC,ZA=ZDCE=90°

AANAB^ADCE

.BN_AB

''~DE~~CE

•—.y——6

"Vx2+36x

.66+36甘出”/9

..y=-.......,其中0<x<一

x2

【点睛】

此题主要考查勾股定理和三角形相似的综合应用

9.(2019•河南省中考模拟)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE±BC,

垂足为点E,GF±CD,垂足为点F.

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

A(Z

②推断：——的值为：

BE

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0°<a<45°),如图(2)所示，试探究线

段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：

(3)拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交

AD于点H.若AG=6,GH=20,贝，】BC=.

16

图⑴图⑵图⑶

【答案】(1)①四边形CEGF是正方形；②0；(2)线段AG与BE之间的数量关系为AG=0

BE；⑶3小

【解析】

(1)①：四边形ABCD是正方形，

ZBCD=90°,ZBCA=45°,

；GE_LBC、GF±CD,

/.ZCEG=ZCFG=ZECF=90°,

四边形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

/.EG=EC,

四边形CEGF是正方形；

②由①知四边形CEGF是正方形，

AZCEG=ZB=90°,ZECG=45°,

CG/-

・・---二,GE//AB,

CE

BECE

故答案为J5；

(2)连接CG,

由旋转性质知NBCE=NACG=a,

在RtZiCEG和Rt^CBA中，

17

CE_V2CB显

~CG~^'G4~V，

CECB

.,.△ACG^ABCE,

生=%=血，

BECB

・•・线段AG与BE之间的数量关系为AG二应BE；

(3)VZCEF=45°，点B、E、F三点共线，

ZBEC=135°,

VAACG^ABCE,

AZAGC=ZBEC=135°,

AZAGH=ZCAH=45°,

•・•ZCHA=ZAHG,

.,.△AHG^ACHA,

.AG_GHAH

**AC-AH-CH?

设BC=CD二AD=a,则AC=0a,

.—AGGHp62夜

则由一二——得1,

ACAH缶AH

2

AH——a,

3

则DH=AD-AH=1a,CH=7CD2+DH-=巫^a,

33

2

AGAHf6个0

..・由就=方仔而一F

-----a

3

解得：a=3y[5,即BC=3右，

故答案为36.

【点睛】

18

本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有

一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是

解题的关键.

10.(2018•山东省中考模拟)如图①，在AABC中，NBAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且

不与点A,C重合)，在aABC的外部作ACED,使NCED=90°,DE=CE,连接AD,分别以AB,

AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.

(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系;

(2)将4CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段

AF,AE的数量关系，并证明你的结论；

(3)在图②的基础上，将4CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生

变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由.

【答案】(1)AF=V2AE；(2)AF=V2AE,证明详见解析；(3)结论不变，AF=0AE,理由

详见解析.

【解析】

解：(1)如图①中，结论：AF=V2AE.

理由：•.•四边形ABFD是平行四边形，

AAB=DF,

,.,AB=AC,

.-.AC=DF,

VDE=EC,

.,.AE=EF,

VZDEC=ZAEF=90°,

19

・•・AAEF是等腰直角三角形，

・・・AF=应AE.

(2)如图②中，结论：AF=J，AE.

理由：连接EF,DF交BC于K.

四边形ABFD是平行四边形,

，AB〃DF,

/.ZDKE=ZABC=45°,

・・・EKF=180°-ZDKE=135°,

VZADE=180°-NEDC=180°-45°=135°,

AZEKF=ZADE,

NDKONC,

・・・DK=DC,

IDF二AB二AC,

.\KF=AD,

在aEKF和4EDA中，

EK=DK

{ZEKF=/ADE,

KFAD

AAEKF^AEDA,

・・・EF=EA,NKEF=NAED,

AZFEA=ZBED=90°,

：.AAEF是等腰直角三角形，

・・・AF=应AE.

(3)如图③中，结论不变，AF=0AE.

理由：连接EF,延长FD交AC于K.

VZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=135°-ZKDC,

NACE=(90°-ZKDC)+NDCE=135°-ZKDC,

・•・NEDF=NACE,

20

VDF=AB,AB=AC,

.-.DF=AC

在AEDF和4ECA中，

DF=AC

<ZEDF=ZACE,

DE=CE

.,.△EDF^AECA,

/.EF=EA,ZFED=ZAEC,

AZFEA=ZDEC=90°,

/.△AEF是等腰直角三角形，

AF=0AE.

【点睛】

本题考查四边形综合题，综合性较强.

11.(2019•哈尔滨市双城区第六中学中考模拟)如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点,

连接AM,点E是线段AM上一点，NCDE的平分线交AM延长线于点F.

⑴如图1,若点E为线段AM的中点，BM:CM=1:2,BE=JI。，求AB的长；

⑵如图2,若DA=DE,求证：BF+DF=0AF.

【答案】(1)AB=6;(2)证明见解析.

【解析】

解：(1)设BM=x,则CM=2x,BC=3x,

BA=BC,

/.BA=3x.

在RtAiABM中，E为斜边AM中点，

21

，AM=2BE=2W.

由勾股定理可得AM2=MB2+AB2,

即40=X?+9X2,解得X=2.

AB—■3x—6.

⑵延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP±AF于P点.

VDF平分NCDE,

・,.Z1=Z2.

VDE=DA,DP±AF

・・・N3=N4.

VZ1+Z2+Z3+Z4=90°,

・・・N2+N3=45°.

/.ZDFP=90°-45°=45°.

.\AH=AF.

VZBAF+ZDAF=90°,ZHAD+ZDAF=90°,

AZBAF=ZDAH.

又AB=AD,

/.△ABF^AADH(SAS).

・・・AF=AH,BF=DH.

・・・RtAFAH是等腰直角三角形，

・・・HF=^AF.

,,,HF=DH+DF=BF+DF,

22

.,.BF+DF=72AF.

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰

直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解决问题的关键.

12.(2017•湖北省中考模拟)如图1,在矩形/夕曲中，£■是第延长线上一个动点，F、G

分别为4£、8C的中点，力与勿相交于点//

(1)求证：HE=HG

PE—PA

(2)如图2,当属=48时，过点4作42L如于点P连接加，求一一的值

PB2

【解析】

/.ZDEC=ZAMB

VEB=CM,BG=CG

AG为EM的中点

AFG为△AEM的中位线

23

・・・FG〃AM

/.ZHGE=ZAMB=ZHEG

.\HE=HG

(2)过点B作BQ_LBP交DE于Q

/.△BEQ^ABAP(ASA)

JPA=QE

.PE-PAPE-EQ_PQ_丘

••PB-PB-PB-

(3)VZADE=ZCED=30°

・・・CE=gCD

・・・BE+BC=CD+2=6CD,CD=73+1

，DE=2CD=2用2

VZADE=30°

/.AP=EQ=1,DP=73

•,.PQ=2^+2-1-73=^+l

.nn_V6+V2

>•Dr——--------------------

2

13.（2019•陕西省中考模拟）（1）问题发现

如图1,阳和△点均为等边三角形，点4、D、E在同一条直线上，连接5E

填空：

①N4空的度数为;

②线段4?、纪之间的数量关系为.

（2）拓展研究

24

如图2,第和△。应■均为等腰直角三角形，NACB=NDCE=9Q°，点4、D、E在同一条

直线上，该为△〃绥中应■边上的高，连接请判断//£»的度数及线段瞅AE、BE之

间的数量关系，并说明理由.

(3)解决问题

如图3,在正方形4BCD中,CD=2yf2,若点夕满足阳=2,且N叱=90°,请直接写出

【答案】(1)①60°;@AD=BE;(2)ZAEB=90°,AE=BE+2CM,理由见解析;

(3)点/到BP的距离为逝-1或6+1.

22

【解析】

解：(1)①如图1.：△478和△。宏均为等边三角形，

:.C归CB,C8CE,NACFNDC田60°,:.NACF/BCE.

AC=BC

在知XBCE中，：＜ZACD=NBCE,

CD=CE

：./XACD^△BCE(SAS),；.NADC=NBEC.

络为等边三角形，：.NCD左NCED=60°.

:点4D,F在同一直线上，

,N4?C=120°,；.N8gl20°,：.ZAEAZBEC-』CEg6Q°.

故答案为60°.

②■：MAC咯MCE,:.AHBE.

故答案为AABE.

(2)ZAEB=90°,AFB&2CM.

理由：如图2.•.•△ACS和△外£均为等腰直角三角形，

:.C归CB,CACE,NACF/DCW,:./ACA/BCE.

25

CA=CB

在/\ACD卡口丛BCE中，：＜ZACD=NBCE,

CD=CE

：./\ACD^/\BCE(SAS),:.AD=BE,ADOABEG.

•.•△。庐为等腰直角三角形，，庞氏45°.

•.•点4D,F在同一直线上，

N476*35°,：.NBEC='35°,：.NAE斤NBEC-NCED^)Q°.

VCD^CE,GM^DE,：.DM^ME.

：NO淤90°,:.D始MFCM,:.AFADW&B82cM.

(3)点/到BP的距离为石-1或6+1.

22

理由如下：

庐1,.,.点?在以点。为圆心，1为半径的圆上.

TNm庐90°,.,.点?在以做为直径的圆上，.•.点。是这两圆的交点.

①当点?在如图3①所示位置时，连接PD、PB、以，作AHLBP,垂足为H,过点力作AE^AP,

交BP于点E,如图3①.

•.•四边形4成沙是正方形，；.值45°.AB^AD^DOBC^^l,ZBAD^)G,：.BD=2.

'：DP^\,：.BP=yJj.

VZBPD=ZBAD=90°,.-.AP、D、8在以8〃为直径的圆上，

：.ZAPB=ZADB=45°,.•.△必£是等腰直角三角形.

又；△外。是等腰直角三角形，点8、仄户共线，4/_L8/，.,.由(2)中的结论可得：B+2A田PD,

八一］

:.币=2AfM,：.AH^-__.

2

②当点?在如图3②所示位置时，连接PD、PB、以，作AH1BP,垂足为H,过点/作AELAP,

交所的延长线于点E,如图3②.

同理可得：B+2AH-PD,：.J3=24/-1,；.A^+1.

2

综上所述：点A到BP的距离为1二1或8+1.

22

26

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识

和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题.而通过添加适当的辅助线从而能用

（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键.

14.（2019•浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（4,

6）,点P为线段0A上一动点（与点0、A不重合），连接CP,过点P作PE_LCP交AB于点D,

且PE=PC,过点P作PF_L0P且PF=P0（点F在第一象限），连结FD、BE、BF,设0P=t.

（1）直接写出点E的坐标（用含t的代数式表示）：;

（2）四边形BFDE的面积记为S,当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；

（3）4BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t;若不能，说明理由.

【答案】⑴、（t+6,t）；⑵、当t=2时，S有最小值是16；（3）、理由见解析.

27