2025年春沪科版数学七年级下册教学课件 8.3 第1课时 完全平方公式

第8章

整式乘法与因式分解8.3完全平方公式与平方差公式第1课时完全平方公式1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点；（重点）2.会运用公式进行简单的运算．(难点)学习目标

一块边长为

a米的正方形试验田，需要将其边长增加

b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么？直接求：总面积

=(a+b)(a+b)间接求：总面积

=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2aabbp2+2p+1m2+4m+4p2－2p+1计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.(3)

(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.(4)

(m－2)2=(m－2)(m－2)=

.m2－4m+4根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？(a＋b)2=

.a2+2ab+b2(a－b)2=

.a2－2ab+b2完全平方公式1完全平方公式(a+b)2=

；a2+2ab+b2(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的

2倍.这两个公式叫做完全平方公式.

简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”要点归纳公式特征：1.积为二次三项式；2.积中的两项分别为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；4.公式中的字母

a，b可以表示数、单项式或多项式.(a+b)2=

；a2+2ab+b2(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2你能根据图

1和图

2的面积解释完全平方公式吗?baab图

1baba图

2想一想：几何解释：aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：a2−ab−b(a−b)=

a2−2ab+b2=(a−b)2a−baaabb(a−b)bb(a−b)2几何解释：(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2差的完全平方公式：a−b(a

+

b)2=a2

+2ab+b2(2x)2(1)(2x+

y)2；=4x2+4xy+y2+(y)2+2•(2x)

•

y解：(2x+

y)2=例1

运用完全平方公式计算：典例精析解：(3a－2b)2==9a2(2)(3a－2b)2.(a－b)2=a2

－2ab+b2(3a)2－

2•(3a)•(2b)+(2b)2－

12ab+4b2.例2利用乘法公式计算：(-

m-2n)2.

=m2+4mn+4n2.=[-(m+2n)]2=(m+2n)2

解：(-m-

2n)2小提示：对于含负号较多的完全平方式，可以借助偶次幂为正数进行化简，即

(-a)2

=a2.例3

计算：(x+y

+z)2.解：原式

=[x+(y+z)]2=x2

+2x(y+z)+(y

+z)2=x2

+2xy+2xz+y2

+2yz+z2=x2

+y2

+z2

+2xy+2xz+2yz.方法总结：运用分组和整体思想计算，该等式也称为三数的完全平方公式.例4

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求

m的值．解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2

＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2是完全平方式

所以(m＋1)xy＝±2×6x·5y，

m＋1＝±60.

解得

m＝59或

m＝－61.提醒：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．解：原式=(100+2)2=10000+400+4=10404.思考：怎样计算1022，992更简便呢？(1)1022；(2)992.解：原式=(100－1)2=10000－200+1=9801.完全平方公式的运用2例4

已知

a＋b＝7，ab＝10，求

a2＋b2，(a－b)2

的值.解：因为

a＋b＝7，

所以(a＋b)2＝49.

所以

a2＋b2＋2ab＝49，

即

a2＋b2＋2×10＝49.

所以

a2＋b2＝29.

故(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.要熟记完全平方公式哦！1.利用乘法公式计算：

(1)

(3x

+

1)2；

(2)

(a

-

3b)2；解：(1)

(3x

+

1)2

=9x2+6x

+

1.

(2)

(a

-3b)2=a2

-

6ab

+

9b2.

(4)

(-2x

+

3y)2=4x2

-12xy+

9y2.

2.如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去

3

cm

宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少

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cm2，求原正方形的边长.解：设小正方形的边长为

acm，则大正方形的边长为(a+6)cm.S大正方形＝(a+6)2cm2，

S小正方形＝a2cm2，

S减少＝(a+6)2

-a2＝(12a+36)cm2.

故12a+36=84cm2，＝a2+12a+62

-a2解得

a＝4，则

a+6＝10.答：原正方形的边长为10cm.33单位：cm解：(1)原式(1)(a+b+c)2；

(2)(a－b)3

．例5

利用乘法公式计算：(2)原式=(a

-

b)3

=

a2+b2+

c2+

2ab+

2ac+2bc.=

a2+

2ab

+

b2+

2ac+

2bc+

c2=

(a+b)²

+

2(a+

b)c+

c2=

[(a+b)+c

]2=

a3-

3a2b

+

3ab2-

b3=

a3-

2a2b

+

ab2-

a2b

+

2ab2-

b3=

(a

-

b)

(a2-

2ab+b2)=

(a

-

b)(a

-

b)2(1)

(a

+

b)3；

(2)

(x

-

1)3；

1.

计算：=(a2

+2ab

+b2)(a

+

b)

解：(1)

原式=(a

+

b)2(a

+

b)

=a3+3a2b

+3ab2+

b3.=a3+2a2b

+

ab2+

a2b

+2ab2+

b3

(2)

原式=(x2

-

2x

+

1)(x

-

1)=x3

-2x2+

x

-

x2+2x-

1=x3

-3x2+3x

-1.(3)

(a

-

b

-

c)2.=(a

-

b)2

-

2(a

-

b)∙c

+c2原式=[(a

-

b)

-

c]2=(a2

-

2ab

+b2)

-

2(ac-

bc)

+c2=a2

-

2ab

+b2

-

2ac+

2bc

+c2=a2

+b2+c2

-

2ab

-2ac+2bc.完全平方公式法则注意(a±b)2=a2±2ab＋b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算

的式子，需要先添括号变形3.常用公式变形式：a2

+b2=(a

+b)2

-

2aba2

+b2=(a

-

b)2

+2ab；

(a＋b)2

-

(a

-

b)2=4ab.1.若

a2

+

ab

+

b2

+

A

=(a

-

b)2，那么

A=（）

A．-3ab

B．-2ab

C．0

D．abA解析：A

=

(a

-

b)2

-

(a2

+

ab

+

b2

)

=

-3ab.=a2

-

2ab+b2

-

a2

-

ab

-

b22.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2；(2)(x－y)2=x2－y2；(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2；(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2.××××=x2+2xy+y2=x2－2xy+y2=x2－2xy+y2=4x2+4xy+y2(1)(6a+5b)2；

=36a2+60ab+25b2.

(2)(4x－3y)2

；

=16x2－24xy+9y2.(3)(2m－1)2

；

=4m2－4m