专题87抛物线方程与性质【6个题型】【原卷】

【专题8.7抛物线方程与性质】总览总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：抛物线的定义与标准方程】知识讲解知识讲解抛物线的定义1.平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。抛物线的标准方程1.焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为。2.焦点在轴负半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。3.焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。4.焦点在轴负半轴上的抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为。例题精选例题精选【例题1】（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【例题2】（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【例题3】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4相似练习相似练习【相似题1】（2025·湖北·二模）已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【相似题2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于两点，且，则（

）A． B． C．12 D．8【相似题3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【相似题4】（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为；的面积为．【相似题5】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.【解题思路】1.求抛物线方程： 若已知抛物线的焦点位置和一些相关条件，可直接设出对应的标准方程，然后根据条件求出的值，进而得到抛物线方程。 若焦点位置不确定，则需要分情况讨论。2.利用抛物线定义解题： 当涉及到抛物线上的点到焦点和准线的距离问题时，优先考虑利用抛物线的定义进行转化，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者反之，从而简化问题。3.与其他知识综合： 抛物线常与直线、圆等知识综合考查。在解决这类问题时，通常是联立方程，然后利用韦达定理等知识来求解。例如，联立抛物线方程与直线方程，消去一个变量，得到一个一元二次方程，通过判别式判断直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理求出交点坐标之间的关系等。【题型2：求抛物线的轨迹方程】知识讲解知识讲解求轨迹方程的常用方法 定义法：若动点的轨迹满足抛物线的定义，可直接根据定义写出其轨迹方程。 待定系数法：已知抛物线的类型（如开口方向、对称轴等），设出相应的标准方程，再根据已知条件求出方程中的参数。 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列出动点所满足的几何等式，然后将其坐标化，化简得到轨迹方程。 相关点法（代入法）：若动点依赖于另一个在已知曲线上的动点，可先找出$x,y$与的关系，再将代入已知曲线方程，从而得到动点的轨迹方程。例题精选例题精选【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（

）A． B． C． D．【例题2】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为.【例题3】（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线．(1)求的方程；相似练习相似练习【相似题1】（2024·黑龙江大庆·三模）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；【相似题2】（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N．(1)求曲线C的方程；【相似题3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．(1)过点且斜率为的直线与交于两点，求的值；【解题思路】1.明确题目条件 仔细分析题目中给出的关于动点的几何条件，例如动点到定点和定直线的距离关系、与其他已知点或曲线的位置关系等。 确定抛物线的焦点位置和开口方向，这有助于选择合适的方程形式。2.选择合适的方法 若满足抛物线定义：当题目中明确指出动点到某一定点的距离等于它到某一定直线的距离时，直接根据抛物线定义确定的值和焦点位置，进而写出轨迹方程。例如，已知动点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线定义可知，该抛物线焦点为，准线为，则，，且焦点在轴正半轴上，所以轨迹方程为。 已知抛物线类型：若题目告知抛物线的开口方向和对称轴等信息，可设出相应的标准方程，再利用已知条件求出参数。例如，已知抛物线开口向下，对称轴为轴，且过点，可设抛物线方程为，把点代入方程得，即，解得，所以轨迹方程为。 已知动点的几何等式：若题目给出动点满足的几何等式，可采用直接法。设动点坐标为，将几何等式转化为坐标方程，然后化简。例如，动点到点的距离比它到直线的距离小，则动点到点的距离等于它到直线的距离，根据两点间距离公式，两边平方得，展开化简得。 存在相关动点：若动点与另一个在已知曲线上的动点有关，可先找出$x,y$与的关系，再将代入已知曲线方程。例如，已知点，点在抛物线上运动，点满足，设，，则，可得，即，把代入，得，化简得。3.检验方程 检查所求方程的定义域和值域是否符合实际情况，排除不符合题意的点。 验证所求方程是否满足题目中的所有条件。【题型3：抛物线的焦点弦长】知识讲解知识讲解焦半径1.对于抛物线，设焦点为，其上一点，则焦半径。2.对于抛物线，焦点，点，焦半径。3.对于抛物线，焦点，点，焦半径。4.对于抛物线，焦点，点，焦半径。焦点弦1.弦长公式：若$AB$是抛物线的焦点弦，，，则；结合焦半径可理解为。2.坐标乘积：对于抛物线的焦点弦$AB$，有，。3.圆与准线关系：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。4.倒数和性质：设抛物线的焦点为，焦点弦$AB$，，，则。5.弦长与夹角关系：焦点弦$AB$与抛物线对称轴的夹角为，则弦长。例题精选例题精选【例题1】（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（

）A． B． C． D．2【例题2】（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（）A．2 B．3 C．4 D．6【例题3】（2025·广东·模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（

）A． B．2 C． D．3相似练习相似练习【相似题1】（2025·山东济宁·一模）设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【相似题2】（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为.【相似题3】（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为【题型4：抛物线中的最值问题】知识讲解知识讲解抛物线的定义与性质：抛物线的定义为平面内到定点与定直线距离相等的点的轨迹。其标准方程有（焦点在轴正半轴）、（焦点在轴负半轴）、（焦点在轴正半轴）、（焦点在轴负半轴）几种形式，不同形式下焦点坐标和准线方程各异。例如，焦点，准线。这些性质是解决抛物线最值问题的基础，通过定义可将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，为求解最值创造条件。函数关系的建立：设抛物线上一点坐标为，根据抛物线方程将用表示（或用表示），再结合题目所求的最值量，构建出关于（或）的函数表达式。例如求抛物线上一点到某定点距离的最值，利用两点间距离公式，将抛物线方程代入，消去一个变量，得到关于单一变量的函数。例题精选例题精选【例题1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例题2】（2324高三上·四川南充·阶段练习）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【例题3】（2023·全国·模拟预测）已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】多选题（2024·浙江·一模）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（

）A．B．若，则点的坐标为C．的最小值为D．满足面积为的点有2个【相似题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为.【相似题3】（2425高二上·天津·阶段练习）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是【解题思路】利用抛物线定义转化距离：若问题涉及抛物线上一点到焦点与到某条直线（常与准线相关）的距离和或差的最值，根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离。比如求上一点到焦点与到定点距离和的最小值，过点作准线的垂线，与抛物线交点即为所求点，此时最小值为点到准线的距离。因为根据定义等于到准线的距离，那么，当、、垂足三点共线时和最小。构建函数求最值：当无法直接利用定义求解时，按上述知识讲解中构建函数的方法，得到关于一个变量的函数。若构建的是二次函数，可根据二次函数的性质求最值。对于二次函数，当时，函数在处取得最小值；当时，函数在处取得最大值。例如求上一点到直线距离的最小值，设抛物线上点坐标为，利用点到直线距离公式（这里直线，，，）得到关于的函数，再利用二次函数性质求解。结合几何图形性质：除了代数方法，还需关注几何图形的性质。例如，当求抛物线上一点与某线段构成三角形面积的最值时，若该线段长度固定，那么当抛物线上点到该线段所在直线距离最大（或最小）时，三角形面积取得最值。可通过平行于该线段且与抛物线相切的直线来确定这个距离最值的点。因为相切时，切点到已知线段所在直线距离在抛物线上所有点中是特殊值，可能是最值，再结合图形判断是最大还是最小。【题型5：直线与抛物线的综合题型】知识讲解知识讲解1.直线与抛物线的位置关系判断知识讲解：直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交三种。将直线方程（当直线斜率存在时）与抛物线方程联立，得到一个关于或的一元二次方程。对于由消去后得到的，其判别式。当时，直线与抛物线相交，有两个不同交点；当时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当时，直线与抛物线相离，没有公共点。需要注意的是，当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程求解交点情况。2.弦长问题知识讲解：若直线与抛物线相交于，两点，弦长（为直线斜率）。其中，，可通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到。3.中点弦问题知识讲解：已知直线与抛物线相交所得弦的中点坐标，求直线方程或抛物线方程相关参数。常用“点差法”，设直线与抛物线交点，，中点，将，两点坐标代入抛物线方程，两式相减，利用平方差公式变形，结合中点坐标公式，和直线斜率公式求解。4.焦点弦问题知识讲解：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的弦为焦点弦。对于抛物线，若焦点弦两5.对称问题知识讲解：若抛物线上存在两点关于某直线对称，则这两点所在直线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上。设抛物线上两点，关于直线对称，那么直线$AB$的斜率与直线的斜率乘积为，同时$AB$中点在直线上。端点为，，则有，，弦长。例题精选例题精选【例题1】（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且.(1)求抛物线C的方程.(2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程.【例题2】（2025·广东·一模）设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点.(1)求的方程；(2)已知点，直线交于点.若，求的面积.【例题3】（2024·浙江温州·一模）点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程.相似练习相似练习【相似题1】（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．(1)求E的方程；(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程．【相似题2】（2025·辽宁·二模）已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，当直线l经过点F且时，．(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四象限，且，求面积的最小值．【相似题3】（2025·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合.过焦点的直线交抛物线于点，交椭圆于点.(1)求抛物线的标准方程；(2)若，求直线的方程.【题型6：抛物线与圆椭圆双曲线综合小题题型】例题精选例题精选【例题1】（2025·福建泉州·一模）已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（

）A．1 B． C．2 D．【例题2】（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（

）A． B． C．或 D．或【例题3】（2025·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（

）A． B．4 C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为．【相似题2】（2023·福建福州·模拟预测）已知抛物线与圆，过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（在轴的同一侧），若，则的值是．【相似题3】（2022·福建·模拟预测）已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则.课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2025·贵州毕节·二模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．2．（2025·江苏宿迁·二模）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2025·贵州安顺·模拟预测）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．2 B．4 C． D．124．（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物