利用导数研究函数的性质一题多问学案-高二下学期数学人教B版选择性

利用导数研究函数的性质——一题多问一．知识梳理1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2.函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．函数的零点二．解题方法1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2.含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．3.函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．4.用导数求函数的最值求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．5.函数极值和最值的综合问题(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．5.用导数求恒成立问题（1）优先选择参变分离的方法,给定区间恒成立问题，能分参是则分参.（2）无法分参时，即参数的系数正负不确定或者分参后形式很复杂时则考虑含参讨论.6.用导数证明不等式（1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而转化成构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；（3）构造“形似函数”稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.例1.函数（1）若在点处的切线方程为，求实数的值；（2）若在处取得极值，求实数的值；（3）求的单调的单调区间；（4）当时，若函数的图像与直线恰有一个交点，求实数的取值范围；（5）当时，讨论函数的零点的个数；（6）当时，若对，恒有成立，求实数的取值范围；（7）当时，，使得成立，求实数的取值范围；（8）当时，若对，恒有成立，求实数的取值范围；（9）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（10）若在函数的图像上总存在点,使得轴，求实数的取值范围；（11）当时，若函数在上不单调，求实数的取值范围；（12）当时，令，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（13）当时，求函数在上的最大值。【解析】：（1）由，得，由，得所以，解得：。（2）因为，由题意，所以，检验：当时，令，则或++极大值极小值所以满足题意。（3）由，得，因为，所以当时，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，无递减区间；当时，即时，由得，，令，则，所以得++极大值极小值故的递增区间是、；递减区间是；综上：当时，函数的递增区间是，递减区间无；当时，函数的递增区间是、，递减区间是。（4）当时，令，则或++极大值极小值所以，，又因为当时，；当时，；由题意，或解得：，或，所以实数的取值范围是。（5）令，则，因为当时，，所以令，则或++极大值极小值所以，，又因为当时，；当时，；所以：当，或时，即当，或时，函数有且只有一个零点；当，或时，即当，或时，函数有且只有两个零点；当时，即当时，函数有且只有三个零点。（6）当时，，所以令，则或，因为，所以++极大值极小值由表可知：，所以由题意可得，即，所以实数的取值范围是。（7）当时，，所以令，则或，因为，所以++极大值极小值由表可知：，，所以由题意可得，即，因为，所以所以实数的取值范围是。（8）当时，，所以令，则或，因为，所以++极大值极小值由表可知：，所以由题意可得，即，所以实数的取值范围是。（9）由，得，由题意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，因为，所以当，所以，所以实数的取值范围时。（10）由，得，因为在函数的图像上总存在点,使得轴，所以函数在上是不单调的，若函数在上是单调的，因为导函数二次项系数为正，所以函数在单调递增，即，所以，所以若在函数的图像上总存在点,使得轴，则实数的取值范围。（11）当时，，所以令，则或++极大值极小值若函数在上单调，则实数应满足，或，解得：，或，所以若函数在上单调，则实数的取值范围是，所以若函数在上不单调，则实数的取值范围是。（12）由题意，应满足因为，，所以，，所以，当时，，所以令，则或，因为，所以++极大值极小值由表可知：，由题意得：，即，所以实数的取值范围是。（13）当时，，所以令，则或++极大值极小值当时，函数在上单调递增，所以；当时，函数上单调递增，上单调递减，所以；综上：。例2.已知函数fx(1)求函数y=fx在点1,f1处切线(2)证明：函数y=fxx≠1的图象在直线(3)求函数fx的单调区间和极值，并画出f(4)求函数fx在x∈(5)求函数fx在区间0,a(6)若fx>k(7)若存在x∈1e,e，使得(8)若对任意的x∈1e,e，都有(9)讨论方程fx【解析】(1)fʹxk切=fʹ1所以y=fx在点1,0处切线方程为y=x−1(2)要证y=fxx≠1的图象在直线l的上方，只需证明构造函数gx因为gʹx令gʹx=0得x=1．x0,1所以gx即fx所以函数y=fxx≠1的图象在直线l：(3)定义域为0,+∞，fʹx=lnx+1，令fʹx=0得x=1e．x0,1e(4)由（3）可知：fx在e−2,所以fx因为f1e2所以fx(5)当0<a<1e时，当a≥1e时，(6)由fx>k令gx=x因为gʹx=2xlnx+x=x2所以x=e所以x0,e−12所以k≤−1(7)由fx=ax−1得令ℎx若∃x∈1e,e，使得因为ℎʹx=1x−1x2=x−1x因为ℎ1所以ℎx所以a<e−1(8)若对∀x∈1e,e，由（7）可知：ℎx所以a<1．(9)由图可知：fx=k实数根个数⇔y=fx①当k<−1e时，方程fx②当k=−1e或k≥0时，方程fx③当−1e<k<0时，方程f例3.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）函数的单调性；（3）若函数在上有极值，求实数的取值范围；（4）若函数恒成立，求实数的取值范围；（5）若存在，使得，求实数的取值范围；（6）判断函数零点的个数；（只需写出结伦）（7）当时，证明：存在实数，使得；【解析】（1）当时，所以f(1)=e，f'(1)=e。切线方程：ye=e(x1)，即（2）定义域为R，当时，，f(x)在上单调递增。当时，令，在单调递减，在单调递增