第18课 平面向量的概念与运算

第18课平面向量的概念与运算普查与练习18Ⅰ平面向量的概念与线性运算1．平面向量的基本概念及其理解(1)(2023汇编，5分)给出下列命题：①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量；②单位向量都相等；③若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，则a>b；④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点能构成平行四边形；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c；⑦向量a＝b的充要条件是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))且a∥b；⑧与非零向量a共线的单位向量为±eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))；⑨若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑩若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；⑪向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等；⑫平行向量不一定是共线向量．其中正确的是__④⑧__．(只填序号)解析：①错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段．正确说法：向量与有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示．②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但是方向不确定，所以单位向量不一定都相等．③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)).④正确：因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.⑤错误：若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CD,\s\up6(→))))且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，所以直线AB与CD平行或重合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是不共线的四点，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点能构成平行四边形．⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a，c不一定平行．⑦错误：当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))且a∥b时，若a，b方向相反，则a与b是相反向量，即a＝－b，得不到a＝b；当向量a＝b时，a与b的模相等且方向相同，所以可以得到eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))且a∥b.综上，向量a＝b是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))且a∥b的充分不必要条件．⑧正确：向量eq\f(a,|a|)的方向与非零向量a的方向相同，向量eq\f(a,|a|)的模为；向量－eq\f(a,|a|)的方向与非零向量a的方向相反，向量－eq\f(a,|a|)的模为.综上，向量±eq\f(a,|a|)是与非零向量a共线的单位向量．⑨错误：当a＝时，λa＝，此时λ为任意实数．⑩错误：模相等的两个向量的方向是任意的．⑪错误：向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))为相反向量．⑫错误：平行向量与共线向量是同一概念，所以平行向量一定是共线向量．2．平面向量的线性运算a．平面向量的线性运算及其几何意义(2)(2023汇编，10分)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点．①若F是线段AE上靠近点A的三等分点，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝(C)A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))②设eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝(D)A.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b解析：①∵F是线段AE上靠近点A的三等分点，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→)).故选C.②设AC与BD的交点为O，如图所示．∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b.∵E是BC的中点，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＝eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b.故选D.(3)(2020海南，5分)在△ABC中，D是AB边上的中点，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝(C)A．2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(CD,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))C．2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))D.eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))解析：∵D是AB边上的中点，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)).故选C.b．根据平面向量的线性运算求参数(4)(2021北京模拟，4分)如图，每个小正方形的边长都是1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ·μ的值为(C)A．1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(3,2)解析：由题图知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(3,2)，μ＝－eq\f(1,2)，∴λ·μ＝－eq\f(3,4).故选C.(5)(2020河南焦作期中，5分)已知△ABC内接于圆O，且线段AB的延长线与线段OC的延长线相交．设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围是(C)A．(－1，1)B．(－1，0)C．(0，1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：设线段AB的延长线与线段OC的延长线相交于点D，则易知点D是圆O外一点．设eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))(t＞1)，∵B，A，D三点共线且D在AB的延长线上，∴可设eq\o(BD,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))(k＞0)，即eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝k(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝(k＋1)eq\o(OB,\s\up6(→))－keq\o(OA,\s\up6(→))，∴teq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1)eq\o(OB,\s\up6(→))－keq\o(OA,\s\up6(→))(t＞1，k＞0)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(k＋1,t)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(－k,t)eq\o(OA,\s\up6(→))(t＞1，k＞0)．又∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(－k,t)，μ＝eq\f(k＋1,t)，∴λ＋μ＝eq\f(1,t)∈(0，1)．故选C.c．根据向量的三角不等式解决有关向量的不等式问题(6)(2023汇编，15分)已知a，b是两个非零向量，①若向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6，则|a＋b|的最小值是__2__，|a－b|的最大值是__10__.②若|b|≤1，|2a＋b|＝2，则|b|＋|a＋b|的最大值是(B)A.eq\f(5,4)B.eq\f(5,2)C．3D．5③若b＝(eq\r(3)，1)，|2a－b|＝1，则|a|的取值范围为(C)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))B．(1，3)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))D．(2，4)解析：①(法一)当向量a，b不共线时，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b.∵在△OAD中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(OA,\s\up6(→))|－|\o(AD,\s\up6(→))|))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OD,\s\up6(→))))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，∴2<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))<10.当向量a，b方向相同时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝10；当向量a，b方向相反时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝2.综上可知，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))的最小值是2.当向量a，b不共线时，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.∵在△OAB中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(OA,\s\up6(→))|－|\o(OB,\s\up6(→))|))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，∴2<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<10；当向量a，b方向相同时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝2；当向量a，b方向相反时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝10.综上可知，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))的最大值是10.(法二)根据向量的三角不等式，可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a±b))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，∴2≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a±b))≤10，当且仅当向量a，b方向相反时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))取得最小值2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))取得最大值10.②∵a，b是两个非零向量，且|b|≤1，|2a＋b|＝2，∴2＝|2(a＋b)－b|≥|2(a＋b)|－|b|，当且仅当向量2(a＋b)与b同向共线，且|2(a＋b)|≥|b|时取等号．∴|a＋b|≤eq\f(1,2)(2＋|b|)≤eq\f(3,2)，∴|b|＋|a＋b|≤1＋eq\f(3,2)＝eq\f(5,2)，∴|b|＋|a＋b|的最大值是eq\f(5,2).故选B.③由b＝(eq\r(3)，1)，可知|b|＝2.∵|2|a|－|b||≤|2a－b|，当且仅当向量a和b同向共线时取得等号，∴－|2a－b|≤2|a|－|b|≤|2a－b|，∴|b|－|2a－b|≤2|a|≤|b|＋|2a－b|.∵|b|＝2，|2a－b|＝1，∴1≤2|a|≤3，解得eq\f(1,2)≤|a|≤eq\f(3,2)，即|a|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).故选C.(7)(2021重庆质检，5分)已知等边△ABC的边长为2eq\r(3)，P为它所在平面内一点，且|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最大值为(B)A．4eq\r(3)＋1B．7C．5D．2eq\r(3)－1解析：设D为边BC的中点，连接AD，如图所示，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).由向量的三角不等式知|eq\o(AP,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AP,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))|＝1，即|eq\o(AP,\s\up6(→))|－|2eq\o(AD,\s\up6(→))|≤1，即|eq\o(AP,\s\up6(→))|≤|2eq\o(AD,\s\up6(→))|＋1，当且仅当向量eq\o(AP,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→))同向共线时取得等号．在Rt△ADC中，AC＝2eq\r(3)，CD＝eq\r(3)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，∴|eq\o(AP,\s\up6(→))|≤|2eq\o(AD,\s\up6(→))|＋1＝7.故选B.3．向量共线定理的应用a．利用向量共线定理求参数(8)(经典题，5分)已知向量a与b不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋mb(m≠1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝na＋b.若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件为(C)A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1解析：由题意可得eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ·eq\o(AC,\s\up6(→))，即a＋mb＝λ·(na＋b)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λn，,m＝λ，))∴mn＝1.故选C.b．利用向量共线定理证明两直线平行(9)(2020河南洛阳期末，5分)已知a，b是不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－3b，则四边形ABCD是(C)A．矩形B．平行四边形C．梯形D．菱形解析：因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(3a－b)＋(2a－3b)＝2(3a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))且|eq\o(AD,\s\up6(→))|≠|eq\o(BC,\s\up6(→))|，即四边形ABCD是梯形．故选C.c．利用向量共线定理证明三点共线(10)(2020山西忻州期中，12分)已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AO,\s\up6(→))＝b.(Ⅰ)用向量a与b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；答案：eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)a＋eq\f(1,3)b解：∵C是点B关于点A的对称点，∴A为BC中点，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a.(2分)∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a－b，(4分)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→)))＝2a＋eq\f(1,3)(－a＋b)＝eq\f(5,3)a＋eq\f(1,3)b.(6分)(Ⅱ)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(OA,\s\up6(→))，求证：C，D，E三点共线．答案：见证明过程证明：∵eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)(－b)＋a＋b＝a＋eq\f(1,5)b＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)a＋\f(1,3)b))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线．(10分)又eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))有公共点C，∴C，D，E三点共线．(12分)(11)(经典题，12分)已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(Ⅰ)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；答案：见证明过程证明：∵m＋n＝1，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))共线．(4分)又∵eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))有公共点B，∴A，P，B三点共线．(6分)(Ⅱ)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.答案：见证明过程证明：若A，P，B三点共线，则eq\o(BP,\s\up6(→))∥eq\o(BA,\s\up6(→))，∴存在唯一一个实数λ，使得eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，∴(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝.(10分)∵O，A，B是不共线的三点，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，)))∴m＋n＝1.(12分)4．与零向量有关的常见易错点(12)(2023汇编，5分)下列命题正确的是__④__．(填序号)①在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；②向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b＝λa；③若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同；④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线；⑤不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))中两个等号不可能同时成立；⑥任一向量与它的相反向量不相等．解析：①错误：忽视了与0的区别．正确说法：在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝.②错误：在向量共线的充要条件中要注意“a≠0”．若a，b共线，当a＝0，b＝0时，有无数个λ，使得b＝λa；当a＝，b≠时，不存在λ，使得b＝λa；当a≠0时，有且仅有一个实数λ，使得b＝λa.正确说法：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.③错误：当a＋b＝0时，其方向任意，此时a＋b与a，b的方向都不相同．④正确：∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b都是非零向量．若a＋b与a－b平行，则存在唯一一个实数λ，使得a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，)))此时λ无解，故假设不成立，∴a＋b与a－b不共线．⑤错误：当b＝0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)).⑥错误：零向量的相反向量仍然是零向量，所以零向量与它的相反向量相等．随堂普查练18Ⅰ1．(2023改编，5分)给出下列命题：①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；②若|a|≠|b|，则a与b不是共线向量；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则向量a与b共线；④已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，则点P在线段AB的反向延长线上．其中正确的是__④__．(只填序号)解析：①错误：因为长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，且向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，所以相等向量与它们的起点和终点的位置无关；②错误：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量与它们的模的大小没有关系；③错误：当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，但此时向量a与b不一定共线；④正确：由2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，得2eq\o(OP,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，即2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，又∵eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))有公共点A，∴A，B，P三点共线，且点P在线段AB的反向延长线上．2．(2021福建三明模拟，5分)在△ABC中，点D满足eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，点E为线段AD的中点，则向量eq\o(CE,\s\up6(→))＝(D)A.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：(法一)∵点E为线段AD的中点，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选D.(法二)如图，∵点E为线段AD的中点，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)×eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选D.3．(2021山西二模，5分)在平行四边形ABCD中，E为AD边的中点，连接BE交AC于点G.若eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝(C)A．1B.eq\f(5,6)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)解析：根据题意作图如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC.∵E为AD边的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC.∵AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴eq\f(AG,CG)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，∴AG＝eq\f(1,2)GC＝eq\f(1,3)AC，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝μ＝eq\f(1,3)，∴λ＋μ＝eq\f(2,3).故选C.4．(2021浙江模拟，4分)已知非零向量a，b满足a·b＝2，|a＋b|＝4，则|2a－3b|的取值范围是__[5eq\r(2)－2，5eq\r(2)＋2]__．解析：因为a·b＝2，|a＋b|＝4，所以|a－b|2＝|a＋b|2－4a·b＝16－8＝8，所以|a－b|＝2eq\r(2)，所以|2a－3b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（a＋b）＋\f(5,2)（a－b）))≤eq\f(1,2)|a＋b|＋eq\f(5,2)|a－b|＝2＋5eq\r(2)，当且仅当－eq\f(1,2)(a＋b)与eq\f(5,2)(a－b)同向共线时取得等号；|2a－3b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（a＋b）＋\f(5,2)（a－b）))≥eq\f(5,2)|a－b|－eq\f(1,2)|a＋b|＝5eq\r(2)－2，当且仅当－eq\f(1,2)(a＋b)与eq\f(5,2)(a－b)反向共线时取得等号，所以|2a－3b|∈[5eq\r(2)－2，5eq\r(2)＋2]．故答案为[5eq\r(2)－2，5eq\r(2)＋2]．5．(2021甘肃天水月考，5分)设e1，e2是两个不共线的平面向量，若a＝3e1－2e2，b＝e1＋ke2，且a与b共线，则实数k的值为(C)A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)解析：由a与b共线，得a＝λb，所以3e1－2e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3＝λ，,－2＝λk，)))消去λ可得eq\f(1,3)＝eq\f(k,－2)，解得k＝－eq\f(2,3).故选C.6．(2021江苏江阴月考，5分)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，若a，b不共线，则四边形ABCD为(C)A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形解析：由已知得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|≠|eq\o(BC,\s\up6(→))|,所以四边形ABCD是梯形．故选C.7．(2021江西宜春月考，12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；答案：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b解：如图，延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC是平行四边形，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.(2分)∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝－a＋eq\f(1,2)b.(6分)(2)求证：B，E，F三点共线．答案：见证明过程证明：由(Ⅰ)知eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝－eq\f(1,3)(2a－b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)(2a－b)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→)).(10分)又∵eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共点B，∴B，E，F三点共线．(12分)

普查与练习18Ⅱ平面向量的数量积5．平面向量的数量积及其运算律a．向量数量积相关概念、性质和运算律的辨析(13)(2023改编，5分)给出下列说法：①若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．②若a，b共线，则a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)).③若a·b＝a·c，则b＝c.④(a·b)·c＝a·(b·c)．⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0；若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.⑥在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，则△ABC为钝角三角形．其中说法错误的是__①②③④⑤⑥__．(填序号)解析：①错误：若a·b>0，则a和b的夹角为锐角或零度角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角或平角．②错误：若a，b共线，则a·b＝±eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)).③错误：当a＝0时，满足a·b＝a·c，b，c可以是任意向量，不一定相等；当a⊥(b－c)时，a·(b－c)＝0，满足a·b＝a·c，但b与c可以不相等．④错误：设向量a，b和b，c的夹角分别为α，β，则向量(a·b)·c表示模为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（a·b）·c))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cosα))，且与向量c共线的向量，而向量a·(b·c)表示模为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a·（b·c）))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cosβ))，且与向量a共线的向量，所以(a·b)·c和a·(b·c)不一定相等．⑤错误：若a·b＝0，则当a，b都是非零向量时，有a⊥b；当a，b不都是非零向量时，有a＝或b＝；若a2＝b2，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，方向无法确定．⑥错误：在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))cos(π－B)<0，所以cos(π－B)<0，即cosB>0，又因为0<B<π，所以0<B<eq\f(π,2)，无法判断△ABC为钝角三角形．b．直接求向量的数量积或其范围(14)(经典题，5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为(B)A．－eq\f(5,8)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(11,8)解析：(定义法)∵eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))cos120°＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,4)，eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DF,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))·cos60°＝eq\f(3,4)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)＋eq\f(3,8)＝eq\f(1,8).故选B.(基底法)设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)．又∵DE＝2EF，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(b－a)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)(b－a)＝－eq\f(5,4)a＋eq\f(3,4)b，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)a＋\f(3,4)b))·b＝－eq\f(5,4)a·b＋eq\f(3,4)b2＝－eq\f(5,4)×1×1×cos60°＋eq\f(3,4)×12＝－eq\f(5,8)＋eq\f(3,4)＝eq\f(1,8).故选B.(坐标法)以E为坐标原点，eq\o(BC,\s\up6(→))方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，易得E(0，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4))).∵DE＝2EF，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(\r(3),8)))，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(5\r(3),8)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(5\r(3),8)))·(1，0)＝eq\f(1,8).故选B.(15)(2021天津，5分)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))|的值为__1__；(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))的最小值为__eq\f(11,20)__．解析：(法一)如图，过F作AB的垂线，垂足为G，则FG∥DE.又因为DF∥GE，DE⊥AB，所以四边形DEGF是矩形，所以GF＝DE，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→)).因为∠A＝∠B＝60°，所以BE＝eq\f(\r(3)DE,3)＝eq\f(\r(3)GF,3)＝AG，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，所以2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以|2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝1.因为eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))⊥eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))⊥eq\o(DF,\s\up6(→))，且eq\o(EA,\s\up6(→))与eq\o(DF,\s\up6(→))同向，所以(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))＝eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DF,\s\up6(→))|·|eq\o(EA,\s\up6(→))|.设DE＝x，则BE＝AG＝eq\f(\r(3),3)x，DF＝EG＝AB－BE－AG＝1－eq\f(2\r(3),3)x，EA＝AB－BE＝1－eq\f(\r(3),3)x.当点D与点C重合时，DE取得最大值，最大值为eq\f(\r(3),2)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2\r(3),3)x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),3)x))＝eq\f(5,3)x2－eq\r(3)x＋1.因为抛物线y＝eq\f(5,3)x2－eq\r(3)x＋1开口向上，对称轴为x＝eq\f(\r(3),2×\f(5,3))＝eq\f(3\r(3),10)，而eq\f(3\r(3),10)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，所以当x＝eq\f(3\r(3),10)时，y＝eq\f(5,3)x2－eq\r(3)x＋1有最小值，最小值为eq\f(5,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),10)))2－eq\r(3)×eq\f(3\r(3),10)＋1＝eq\f(11,20).故答案为1；eq\f(11,20).(法二)设BE＝x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，因为△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，所以∠BDE＝30°，BD＝2x，所以DE＝eq\r(3)x，DC＝1－2x.因为DF∥AB，所以△DFC是边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，所以(2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝4eq\o(BE,\s\up6(→))2＋4eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cos0°＋(1－2x)2＝1，所以|2eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))|＝1.因为(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))＝eq\o(DE,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\r(3)x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,10)))2＋eq\f(11,20)，所以当x＝eq\f(3,10)时，(eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))取得最小值，最小值为eq\f(11,20).故答案为1；eq\f(11,20).c．向量数量积几何意义的巧妙应用(16)(2021黑龙江哈尔滨月考，5分)已知点O为正三角形ABC的重心，且AO＝2，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝__6__．解析：如图，设D为BC的中点，因为O是正△ABC的重心，所以AO∶OD＝2∶1.因为AO＝2，所以OD＝1，所以AD＝AO＋OD＝2＋1＝3.由数量积的几何意义可知eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAD＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|(|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAD)＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2×3＝6.(17)(2020山东，5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是(A)A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)解析：不妨令P为正六边形内及其边上的点．如图，由向量数量积的几何意义可知，当P在C处时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))取得最大值，此时|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠CAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3，可得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠CAB＝2×3＝6，最大值为6；当P在F处时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))取得最小值，此时eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AF,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠FAB＝－2×2×eq\f(1,2)＝－2，最小值为－2.又P是正六边形ABCDEF内的一点，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是(－2，6)．故选A.6．利用向量的数量积运算将向量等式数量化a．直接平方法和移项平方法(18)(2020浙江月考，4分)已知向量|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，|d|＝4，a＋b＋c＋d＝0，则(a＋b)·(b＋c)＝(B)A．4B.eq\f(5,2)C．2D．1解析：∵a＋b＋c＋d＝，∴a＋b＋c＝－d，∴(a＋b＋c)2＝(－d)2，即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝d2，即4＋9＋16＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝16，∴a·b＋a·c＋b·c＝－eq\f(13,2)，∴(a＋b)·(b＋c)＝a·b＋a·c＋b·c＋b2＝－eq\f(13,2)＋9＝eq\f(5,2).故选B.b．向量等式两边与同一向量作点乘(19)(经典题，5分)如图，在同一个平面内，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的模分别为1，1，eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为45°.若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n＝__3__．解析：(法一)∵tanα＝7，∴sinα＝eq\f(7\r(2),10)，cosα＝eq\f(\r(2),10).在eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))两边同乘向量eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OC,\s\up6(→))2＝meq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))2＝meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))cosα＋neq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))cos45°，即2＝eq\f(1,5)m＋n①.在eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))两边同乘向量eq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))2，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))cos45°＝meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))cos(α＋45°)＋neq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)，即1＝mcos(α＋45°)＋n.∵cos(α＋45°)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝－eq\f(3,5)，∴1＝－eq\f(3,5)m＋n②.联立①②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)m＋n＝2，,－\f(3,5)m＋n＝1，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5