2024高考数学一轮复习课时作业65离散型随机变量的均值与方差理

PAGEPAGE1课时作业65离散型随机变量的均值与方差[基础达标]1．[2024·郑州检测]为了削减雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，激励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的状况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和期望．解析：(1)由题意知eq\f(105＋107＋113＋115＋119＋126＋120＋x＋132＋134＋141,10)＝122，解得x＝8.(2)由题得ξ1的全部可能取值为0,1,2，ξ2的全部可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的全部可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以p(η＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＝eq\f(7,45)；p(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3)C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＝eq\f(91,225)；p(η＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)C\o\al(2,4)＋C\o\al(1,7)C\o\al(1,3)C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)；p(η＝3)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,6)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,7)C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＝eq\f(22,225)；p(η＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,10)C\o\al(2,10))＝eq\f(2,225).所以η的分布列为η01234Peq\f(7,45)eq\f(91,225)eq\f(1,3)eq\f(22,225)eq\f(2,225)E(η)＝0×eq\f(7,45)＋1×eq\f(91,225)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(22,225)＋4×eq\f(2,225)＝eq\f(7,5).2．[2024·湖北黄冈调研]已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，须要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，其次次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解析：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的状况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种状况的概率为eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,6))×eq\f(1,C\o\al(1,3))＝eq\f(1,6)，其次种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种状况的概率为eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))×eq\f(1,C\o\al(1,3))＝eq\f(1,6).所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).(2)设用方案甲化验须要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36.P(η＝10)＝eq\f(1,6)，P(μ＝18)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,6)，P(η＝24)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,6)，P(η＝30)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(η＝36)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，则化验费η的分布列为η1018243036Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)所以E(η)＝10×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,6)＋24×eq\f(1,6)＋30×eq\f(1,6)＋36×eq\f(1,3)＝eq\f(77,3)(元)．3．[2024·湖北省高三联考]某公司为了全面深刻理解中共十九大报告中的新思想、新论断、新提法、新举措，实行了“十九大学问竞赛”活动．为了解本次竞赛成果的状况，从中随机抽取了部分职工的成果(单位：分，满分为100分)作为样本进行统计，请依据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图回答下列问题.(1)求出a，b，x，y的值；(2)在抽取的样本中，从竞赛成果在80分以上(含80分)的职工中随机抽取2名职工在职工学习日进行宣讲，求所抽取的2名职工来自同一组的概率；(3)在(2)的条件下，用ξ表示所抽取的2名职工来自第5组的人数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,b)＝\f(8,0.16)，,y＝\f(b,10)，,x＝\f(1,10)1－0.40－0.16－0.08－b，,a＝\f(8,0.16)－8－20－2－\f(8,0.16)×0.08，))所以可得a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004.(2)由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人，从竞赛成果在80分以上(含80分)的职工中随机抽取2名职工，有Ceq\o\al(2,6)＝15种状况．设事务A：随机抽取的2名职工来自同一组，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,2),15)＝eq\f(7,15).故随机抽取的2名职工来自同一组的概率是eq\f(7,15).(3)由(2)可知，ξ的全部可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),15)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),15)＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),15)＝eq\f(1,15)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3).4．[2024·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设全部电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．(3)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜爱，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜爱(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．解析：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025.(2)设事务A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事务B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．由题意知：P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.5．[2024·郑州市质量检测]光伏发电是将光能干脆转变为电能的一种技术，具有资源的足够性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位.2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点．在某县居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率.用电量/度(0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]户数7815137(1)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(2)在总结试点阅历的基础上，将村级光伏发电站确定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若安排在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能为该村创建干脆收益多少元？解析：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事务A，则P(A)＝eq\f(7＋8＋15,50)＝eq\f(3,5)，由题意可知X听从二项分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(3,5)))，故X的数学期望E(X)＝10×eq\f(3,5)＝6.(2)设该村居民每户的年均用电量为E(Y)，由样本数据可得E(Y)＝100×eq\f(7,50)＋300×eq\f(8,50)＋500×eq\f(15,50)＋700×eq\f(13,50)＋900×eq\f(7,50)＝520，则该村年均用电量约为300×520＝156000度．又该村所装发电机组年预料发电量为300000度，所以该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能剩余电量约144000度，能为该村创建干脆收益144000×0.8＝115200元．6．[2024·宝安，潮阳，桂城等八校联考]某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应当额外聘请工人，请说明理由．解析：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，解得p＝0.6.基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.∴基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，∴基地的预期收益为14.4万元．(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a(万元)，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．[实力挑战]7．[2024·石家庄市中学模拟考试]小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单嘉奖1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有嘉奖，超过55单的部分每单嘉奖12元．(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式；(2)依据该公司全部派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发觉每名派送员的日平均派送单数满意以下条件：当某天的派送量指标在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n－1,10)，\f(n,5)))(n＝1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(50＋2n)单．若将频率视为概率，回答下列问题：(ⅰ)依据以上数据，设一名派送员的日薪为Y(单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y的分布列、数学期望及方差；(ⅱ)结合(ⅰ)中的数据，利用统计的学问，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76，3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)解析：(1)甲方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y＝100＋n，n∈N.乙方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的