第19课 平面向量基本定理及坐标表示

第19课平面向量基本定理及坐标表示普查与练习19平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理及其应用a．基底的判断(1)(2023汇编，5分)下面几种说法中，正确的是__②⑤__．(填序号)①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②零向量不可以作为基底中的向量；③a＝λe1＋μe2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ，μ∈R))可以表示平面内的所有向量；④若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则e1－2e2与4e2－2e1可作为表示平面α内所有向量的一组基底；⑤e1，e2是平面内不共线的两个向量，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2成立的实数对eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ，μ))有无穷多个．解析：①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基底的选取并不是唯一的；②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；③错误：根据平面向量基本定理可知，e1，e2必须是不共线向量；④错误：因为e1－2e2＝－eq\f(1,2)(4e2－2e1)，所以向量e1－2e2，4e2－2e1是共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底；⑤正确：因为e1，e2为一组不共线向量，若λe1＋μe2＝0,即λe1＝－μe2，只有当λ＝μ＝0时，才能成立；⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(λ，μ)应该只有唯一一对．b．用已知基底表示向量(2)(2021广东中山月考，5分)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝(B)A.eq\f(12,25)a＋eq\f(9,25)bB.eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)bC.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)bD.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b解析：根据题意知eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，解得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(12,25)eq\o(BA,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b.故选B.(3)(2021广州大学附属中学月考，5分)如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝(B)A．－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))B．－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))C．－eq\f(5,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))D．－eq\f(5,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：(法一)依题意知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).故选B.(法二)依题意知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC＋,\s\up6(→))eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BC－,\s\up6(→))eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).故选B.c．选择合适的基底表示向量(4)(2020河南郑州期中，5分)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(xy,x＋y)的值为__eq\f(1,3)__．解析：∵M，G，N三点共线，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(AN,\s\up6(→)).又∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝mxeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－m)yeq\o(AC,\s\up6(→)).∵G是△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝mxeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－m)yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴根据平面向量基本定理，得mx＝(1－m)y＝eq\f(1,3)，易知m≠0，1，∴x＝eq\f(1,3m)，y＝eq\f(1,3（1－m）)，∴eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(\f(1,3m)·\f(1,3（1－m）),\f(1,3m)＋\f(1,3（1－m）))＝eq\f(\f(1,9m（1－m）),\f(3（1－m）＋3m,9m（1－m）))＝eq\f(1,3).2．平面向量的坐标运算a．向量坐标的求法(5)(2023汇编，16分)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(Ⅰ)求3a＋b－3c；答案：(6，－42)解：由已知得a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5)，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－4)－(3，－1)＝(－6，－3)，c＝eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)．(3分)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(5分)(Ⅱ)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；答案：m＝－1，n＝－1解：∵a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1，8)＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(8分)(Ⅲ)求与向量eq\o(MN,\s\up6(→))共线的单位向量；答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))解：∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c＝(3，24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b＝(12，6)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝(9，－18)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))))＝eq\r(92＋（－18）2)＝9eq\r(5).∴与向量eq\o(MN,\s\up6(→))共线的单位向量为eq\f(\o(MN,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或－eq\f(\o(MN,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).(12分)(Ⅳ)在平行四边形ABPQ中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，－3)，求点Q的坐标．答案：Q(－5，6)解：设Q(s，t)，在平行四边形ABPQ中，由向量加法的平行四边形法则得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).又A(－2，4)，B(3，－1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，－3)，∴(2，－3)＝(3＋2，－1－4)＋(s＋2，t－4)＝(s＋7，t－9)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝s＋7，,－3＝t－9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝－5，,t＝6，))即点Q的坐标为(－5，6)．(16分)b．向量共线的坐标表示及运算(6)(2020北京模拟，4分)设平面向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则下列结论中正确的是(D)A．(a＋b)∥aB．(a＋b)⊥bC．(a＋b)∥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，∴a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)，\f(\r(3),2)－\f(1,2)))，a－b＝(－eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2))．根据题意，依次分析选项：对于A，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\f(\r(3),2)≠eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴(a＋b)与a不平行，故A错误；对于B，∵(a＋b)·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))≠0，∴(a＋b)⊥b不成立，故B错误；对于C，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)))≠eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－\f(1,2)))，∴(a＋b)与(a－b)平行不成立，故C错误；对于D，∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，∴|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，故D正确．故选D.(7)(2023汇编，10分)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．①若c∥(2a＋b)，则λ＝__eq\f(1,2)__．(2018全国Ⅲ)②设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，若A，B，C三点共线，则实数λ＝__2__.解析：①2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4·λ－1×2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).②因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1，λ)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－2)－(1，2)＝(1，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，λ)－(1，2)＝(0，λ－2)．因为A，B，C三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以λ－2＝0，解得λ＝2.故答案为2.c．数量积的坐标表示及应用(8)(2023汇编，45分)按要求完成下列各题．①a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝__0__；a·b＝__3__．(2021北京)②已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝__－eq\f(10,3)__．(2021全国Ⅰ)③已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝__8__．(2019北京)④设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝__－1__．(2018北京)⑤已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos＝__－eq\f(\r(2),10)__．(2019全国Ⅲ)⑥已知向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝__2__．⑦已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a－b|＝__eq\r(10)__．⑧已知向量m＝(2λ，－1)，n＝(2，λ－5)，且|m＋2n|＝|m－2n|，则λ＝__－eq\f(5,3)__．⑨已知平面向量a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则|c－a－b|的最大值为__eq\r(2)＋1__．解析：①∵a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3，a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0.故答案为0；3.②∵a＝(3，1)，b＝(1，0)，∴c＝a＋kb＝(3＋k，1)．∵a⊥c，∴a·c＝3(3＋k)＋1×1＝0，解得k＝－eq\f(10,3).故答案为－eq\f(10,3).③由向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，知a·b＝－4×6＋3m＝0，解得m＝8.故答案为8.④a＝(1，0)，b＝(－1，m)，则ma－b＝(m＋1，－m)．由a⊥(ma－b)可得a·(ma－b)＝0，则1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，解得m＝－1.故答案为－1.⑤由题意得，a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，|b|＝eq\r(（－8）2＋62)＝10，∴cos＝eq\f(－4,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).故答案为－eq\f(\r(2),10).⑥由a＝(1，2)，b＝(4，2)，得c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴eq\f(c·a,|c||a|)＝eq\f(c·b,|c||b|)，即eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,2\r(5))，解得m＝2.故答案为2.⑦由a⊥b得a·b＝x－2＝0，解得x＝2，即a＝(2，1)，∴a－b＝(1，3)，∴|a－b|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).故答案为eq\r(10).⑧由题意得m＋2n＝(2λ，－1)＋2(2，λ－5)＝(2λ＋4，2λ－11)，m－2n＝(2λ，－1)－2(2，λ－5)＝(2λ－4，－2λ＋9)．又|m＋2n|＝|m－2n|，即(m＋2n)2＝(m－2n)2，∴8λ2－28λ＋137＝8λ2－52λ＋97，解得λ＝－eq\f(5,3).故答案为－eq\f(5,3).⑨∵a·b＝0，∴a⊥b.∵平面向量a，b是单位向量，∴不妨取a＝(1，0)，b＝(0，1)．设c＝(x，y)，∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∴|c－a－b|＝eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)，表示点(x，y)与点A(1，1)间的距离．∵|c|＝1，∴c的终点(x，y)为单位圆上任意一点．如图，由图可得，当(x，y)位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，且为eq\r(2)＋1，∴|c－a－b|的最大值为eq\r(2)＋1.故答案为eq\r(2)＋1.(9)(2020天津，5分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则实数λ的值为__eq\f(1,6)__，若M，N是线段BC上的动点，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值为__eq\f(13,2)__．解析：以B为原点，以BC所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).∵BC＝6，∴C(6，0)．∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，∴AD∥BC.设Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(3\r(3),2)))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)，0))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,2)))＋0＝－eq\f(3,2)，解得x0＝eq\f(5,2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，0)．又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6，0)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,6).∵|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，不妨设M(x，0)，N(x＋1，0)，其中0≤x≤5，∴eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)，－\f(3\r(3),2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋eq\f(27,4)＝x2－4x＋eq\f(21,2)＝(x－2)2＋eq\f(13,2)，∴当x＝2时，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))取得最小值，最小值为eq\f(13,2).(10)(2021江苏苏州模拟，5分)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|的取值范围为__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，2\r(2)))__．解析：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，C(1，2)．显然直线AC的方程为y＝2x，所以设M(x，2x)(0≤x≤1)，则eq\o(MB,\s\up6(→))＝(2－x，－2x)，eq\o(MD,\s\up6(→))＝(－x，2－2x)，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝(2－2x，2－4x)(0≤x≤1)，所以|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|＝eq\r(（2－2x）2＋（2－4x）2)＝2eq\r(5x2－6x＋2)(0≤x≤1)．因为抛物线y＝5x2－6x＋2开口向上，且对称轴是直线x＝－eq\f(－6,2×5)＝eq\f(3,5)，所以当x＝eq\f(3,5)时，y＝5x2－6x＋2有最小值eq\f(1,5)；当x＝0时，y＝5x2－6x＋2有最大值2，所以当x＝eq\f(3,5)时，|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|有最小值eq\f(2\r(5),5)；当x＝0时，|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|有最大值2eq\r(2).故|eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))|的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，2\r(2))).3．坐标法在平面向量中的应用a．借助网格线建立平面直角坐标系(11)(2020江苏南通模拟，5分)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为__0__．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，则A(1，3)，B(－3，1)，C(－4，3)，∴c＝(1，3)，b＝(3，－1)，a＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－3，1)－(－4，3)＝(1，－2)．∵a＝λb＋μc，∴(1，－2)＝(3λ，－λ)＋(μ，3μ)＝(3λ＋μ，－λ＋3μ)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3λ＋μ＝1，,－λ＋3μ＝－2，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(1,2)，)))∴λ＋μ＝0.b．借助已有的(或隐含的)垂直关系建立平面直角坐标系(12)(2020江苏徐州模拟，5分)如图，在平面四边形ABCD中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点E在线段BC上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BE,\s\up6(→)).若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(μ,λ)的值为__eq\r(3)__．解析：建立如图所示平面直角坐标系，设AB＝BC＝t(t>0)，则A(－t，0)，C(0，t)，AC＝eq\r(2)t.因为点E在线段BC上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BE,\s\up6(→))，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(t,3))).因为在Rt△ADC中，AC＝eq\r(2)t，∠ACD＝30°，所以AD＝eq\f(\r(6),3)t.过点D作DF⊥x轴于点F，由题意知Rt△ABC是等腰三角形，所以∠CAB＝45°，所以∠DAF＝180°－∠CAB－∠CAD＝45°，所以DF＝AF＝eq\f(\r(2),2)AD＝eq\f(\r(3),3)t，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(\r(3),3)t))，\f(\r(3),3)t))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(t，t)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)t，\f(\r(3),3)t))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t,3))).若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则(t，t)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)t，\f(\r(3),3)t))＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(t,3)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1＝－\f(\r(3),3)λ＋μ，,1＝\f(\r(3),3)λ＋\f(μ,3)，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),2)，,μ＝\f(3,2)，)))所以eq\f(μ,λ)＝eq\r(3).c．以圆心为原点建立平面直角坐标系(13)(2020安徽合肥期末，5分)如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在eq\o(BC,\s\up8(︵))上运动，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\r(3)λ－μ的最小值是(D)A．0B.eq\r(3)C．2D．－1解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系．则A(0，0)，B(1，0)，C(cos150°，sin150°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).设P(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤150°.因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，所以(cosθ，sinθ)＝λ(1，0)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ－\f(\r(3),2)μ＝cosθ，,\f(1,2)μ＝sinθ，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝cosθ＋\r(3)sinθ，,μ＝2sinθ，)))所以eq\r(3)λ－μ＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sin(θ＋60°)．因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，所以sin(θ＋60°)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以eq\r(3)λ－μ的最小值为－1.故选D.随堂普查练191．(2021江苏泰州模拟，5分)若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(B)A．e1－e2，e2－e1B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2解析：由e1，e2是平面α内的一组基底，可得e1，e2非零不共线．对于A，由e1－e2＝－(e2－e1)可知，e1－e2，e2－e1共线，由一组基底必不共线，可得e1－e2，e2－e1不是平面α内的一组基底，不符合题意；对于B，因为不存在实数λ，使得e1＋e2＝λ(e1－e2)，所以e1＋e2，e1－e2不共线，由一组基底必不共线，可得e1＋e2，e1－e2是平面α内的一组基底，满足题意；对于C，由2e2－3e1＝eq\f(1,2)(－6e1＋4e2)可知，2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，由一组基底必不共线，可得2e2－3e1，－6e1＋4e2不是平面α内的一组基底，不符合题意；对于D，由2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))可知，2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2共线，由一组基底必不共线，可得2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2不是平面α内的一组基底，不符合题意．故选B.2．(2021山东菏泽期中，5分)如图，在△ABC中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，EF∥BC，EF交AC于F，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BF,\s\up6(→))等于(A)A．－a＋eq\f(1,5)bB．－a－eq\f(1,5)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bD.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b解析：∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→)).又∵EF∥BC，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,5)b.故选A.3.(2021辽宁葫芦岛二模，5分)在△ABC中，点P满足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(A)A．3B．3eq\r(2)C．1D.eq\f(1,3)解析：如图，因为2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(x＞0，y＞0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3y)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(2,3x)eq\o(AM,\s\up6(→)).因为M，P，N共线，所以eq\f(1,3y)＋eq\f(2,3x)＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3y)＋\f(2,3x)))＝eq\f(5,3)＋eq\f(2y,3x)＋eq\f(2x,3y)≥eq\f(5,3)＋2eq\r(\f(2y,3x)·\f(2x,3y))＝3，当且仅当eq\f(2y,3x)＝eq\f(2x,3y)且eq\f(1,3y)＋eq\f(2,3x)＝1，即x＝y＝1时取等号，此时2x＋y的最小值为3.故选A.4．(2023汇编，25分)根据已知条件解决下列各题．①已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝__eq\f(8,5)__．(2021全国Ⅱ)②已知向量a＋b＝(0，5)，2a－b＝(3，1)，则a·b的值为__5__．③已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝__eq\f(3,5)__．(2021全国Ⅱ)④已知向量a＝(4，0)，b＝(x，eq\r(3))，且|a|＝a·b，则a，b的夹角大小为__eq\f(π,3)__．⑤已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)，c＝a－tb(t∈[－1，1])，则|c|的取值范围为__[eq\r(3)，2eq\r(3)]__．解析：①由题意，结合向量平行的充要条件可得2×4－λ×5＝0，解得λ＝eq\f(8,5).故答案为eq\f(8,5).②因为a＋b＝(0，5)，2a－b＝(3，1)，所以两式相加可得3a＝(3，6)，解得a＝(1，2)，所以b＝(0，5)－(1，2)＝(－1，3)，所以a·b＝－1＋6＝5.故答案为5.③因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得(a－λb)·b＝0，即3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝eq\f(3,5).故答案为eq\f(3,5).④因为a＝(4，0)，b＝(x，eq\r(3))，所以|a|＝4，a·b＝4x.因为|a|＝a·b，所以4x＝4，解得x＝1，即b＝(1，eq\r(3))，所以|b|＝eq\r(1＋3)＝2.设a，b的夹角大小为θ，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).⑤(法一)因为a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)，所以|a|＝eq\r(1＋3)＝2，|b|＝2，a·b＝(1，eq\r(3))·(－2，0)＝－2，所以|c|2＝|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4＋4t＋4t2＝(2t＋1)2＋3.因为t∈[－1，1]，所以当t＝－eq\f(1,2)时，|c|2取得最小值3；当t＝1时，|c|2取得最大值12，即|c|2∈[3，12]，所以|c|的取值范围是[eq\r(3)，2eq\r(3)]．(法二)因为a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2，0)，所以c＝a－tb＝(1，eq\r(3))－t(－2，0)＝(1＋2t，eq\r(3))，所以|c|＝eq\r(（1＋2t）2＋3).因为t∈[－1，1]，所以当t＝－eq\f(1,2)时，y＝(1＋2t)2＋3取得最小值3；当t＝1时，y＝(1＋2t)2＋3取得最大值12，所以|c|的取值范围是[eq\r(3)，2eq\r(3)]．5．(2019天津，5分)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq\r(3)，AD＝5，∠DAB＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝__－1__．解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2eq\r(3)，0)，D(5cos30°，5sin30°)，即D(eq\f(5\r(3),2)，eq\f(5,2))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(5,2))).由AD∥BC，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，得∠BAE＝∠ABE＝∠DAB＝30°，则E(eq\r(3)，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(5,2)))·(eq\r(3)，－1)＝eq\f(3,2)－eq\f(5,2)＝－1.6．(2021黑龙江哈尔滨二模，5分)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝eq\r(3)，P为矩形内一点，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，则mn的最大值为(D)A.eq\f(\r(6),4)B.eq\f(\r(6),8)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(\r(3),8)解析：(法一)因为|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))2＝(meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\f(3,4)，即m2eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2mneq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋n2eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(3,4).又因为在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝eq\r(3)，AB⊥AD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，所以m2＋3n2＝eq\f(3,4)，所以eq\f(3,4)＝m2＋3n2≥2eq\r(3)mn，当且仅当m2＝3n2，且m2＋3n2＝eq\f(3,4)，即m＝eq\f(\r(6),4)，n＝eq\f(\r(2),4)时取等号，所以mn≤eq\f(\r(3),8)，所以mn的最大值为eq\f(\r(3),8).故选D.(法二)如图所示，以点A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，D(0，eq\r(3))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))．设点P(x，y)，0<x<1，0<y<eq\r(3)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)．因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以(x，y)＝m(1，0)＋n(0，eq\r(3))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝\r(3)n.)))因为|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，所以x2＋y2＝eq\f(3,4)，所以x2＋y2＝m2＋3n2＝eq\f(3,4)，所以eq\f(3,4)≥2eq\r(3m2n2)＝2eq\r(3)mn，当且仅当m2＝3n2，且m2＋3n2＝eq\f(3,4)，即m＝eq\f(\r(6),4)，n＝eq\f(\r(2),4)时取等号，所以mn≤eq\f(\r(3),8)，所以mn的最大值为eq\f(\r(3),8).故选D.7．(经典题，5分)已知A，B为单位圆O上的点，O到弦AB的距离为eq\f(\r(3),2)，C是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))(包含端点)上一动点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))__．解析：(法一：坐标法)如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设A，B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直．∵A，B为单位圆O上的点，O到弦AB的距离为eq\f(\r(3),2)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ,2)，\f(\r(3)λ,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,2)，\f(\r(3)μ,2)))＝(eq\f(μ－λ,2)，eq\f(\r(3)（λ＋μ）,2))．设点C坐标为(x，y)，∵C是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))(包含端点)上一动点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)，,\f(\r(3),2)≤y≤1.))∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ－λ,2)，\f(\r(3)（λ＋μ）,2)))＝(x，y)，∴eq\f(\r(3),2)≤y＝eq\f(\r(3)（λ＋μ）,2)≤1，解得1≤λ＋μ≤eq\f(2\r(3),3).故λ＋μ的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).(法二：等和线法)如图，设OC与AB交于点D，则由等和线法可知λ＋μ＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(1,OD).由图可得，当点C与点A(B)重合时，OD最长，为1；当点C为劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点时，OD最短，为eq\f(\r(3),2)，∴1≤eq\f(1,OD)≤eq\f(1,\f(\r(3),2))，即1≤λ＋μ≤eq\f(2\r(3),3).故λ＋μ的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).

课后提分练19平面向量基本定理及坐标表示A组(巩固提升)1．(2023改编，5分)若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(D)A．3e1－e2，e2－3e1B．4e1＋e2，e1＋eq\f(1,4)e2C．2e2－3e1，6e1－4e2D．e1＋eq\f(1,3)e2，e1－eq\f(1,3)e2解析：对于选项A，因为3e1－e2＝－(e2－3e1)，所以3e1－e2与e2－3e1共线，不能作为平面向量的基底；对于选项B，因为4e1＋e2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,4)e2))，所以4e1＋e2与e1＋eq\f(1,4)e2共线，不能作为平面向量的基底；对于选项C，因为－2(2e2－3e1)＝6e1－4e2，所以2e2－3e1与6e1－4e2共线，不能作为平面向量的基底；对于选项D，易得e1＋eq\f(1,3)e2与e1－eq\f(1,3)e2不共线，所以e1＋eq\f(1,3)e2与e1－eq\f(1,3)e2可以作为平面向量的基底．故选D.2．(2020江苏南通期末，5分)如图，点A，B，C，P均在正方形网格的格点上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋2μ＝(B)A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,3)D．2解析：如图，以A为原点，AC所在直线为x轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系．设正方形网格的边长为1，则A(0，0),B(－2，2)，C(4，0)，P(1，1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，0)．又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，所以(1，1)＝λ(－2，2)＋μ(4，0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4μ－2λ＝1，,2λ＝1，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2)，)))所以λ＋2μ＝eq\f(3,2).故选B.3．(2020江西一模，5分)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，E为AD的中点，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝(A)A.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A.4．(2020山东临沂期末，5分)如图，正方形ABCD中，M是BC的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(B)A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(15,8)D．2解析：由题意得，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))＋μ(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴由平面向量基本定理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，)))∴λ＋μ＝eq\f(5,3).故选B.5．(2020全国Ⅰ，5分)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝__5__．解析：∵a⊥b，∴a·b＝(1，－1)·(m＋1，2m－4)＝m＋1－(2m－4)＝0，∴m＝5.6．(2019全国Ⅱ，5分)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(C)A．－3B．－2C．2D．3解析：因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)·(1，0)＝2×1＋3×0＝2.故选C.7．(2021河南焦作期中，5分)如图，A，B，C是圆O上的三个不同点，且∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(D)A.eq\f(2\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))B.eq\f(2\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))D.eq\f(\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为1，因为∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，所以A(－1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))).因为eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，所以由平面向量基本定理可知，存在一对有序实数λ，μ，使eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))＝λ(－1，0)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－λ＋\f(1,2)μ＝－\f(\r(3),2)，,\f(\r(3),2)μ＝－\f(1,2)，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),3)，,μ＝－\f(\r(3),3)，)))所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→)).故选D.8．(2021贵州贵阳月考，5分)如图，在△OAB中，C是AB的中点，P在线段OC上，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→)).过点P的直线分别交线段OA，OB于点N，M，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝neq\o(OA,\s\up6(→))，其中m，n∈[0，1]，则m＋n的最小值为(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C．1D.eq\f(3,4)解析：∵C是AB的中点，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝neq\o(OA,\s\up6(→))，∴2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)\o(ON,\s\up6(→))＋\f(1,m)\o(OM,\s\up6(→))))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4n)eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\f(1,4m)eq\o(OM,\s\up6(→)).∵P，M，N共线，∴eq\f(1,4n)＋eq\f(1,4m)＝1.又m，n∈[0，1]，∴m＋n＝(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4n)＋\f(1,4m)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)＋1＋1＋\f(n,m)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(m,n)·\f(n,m))))＝1，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时，等号成立．故选C.9．(2020重庆九龙坡区期中，5分)如图，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，点E在线段AD上移动(不含端点)．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,2)＋eq\f(1,μ)的取值范围是__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))__．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).设eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(AD,\s\up6(→))，0＜k＜1，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)keq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)keq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)k，,μ＝\f(1,3)k，)))∴eq\f(λ,2)＋eq\f(1,μ)＝eq\f(k,3)＋eq\f(3,k).∵y＝eq\f(k,3)＋eq\f(3,k)在(0，1)上单调递减，∴eq\f(λ,2)＋eq\f(1,μ)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞)).10．(2021天津南开区二模，5分)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BC边上一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F为直线AE上一点，则eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))的最大值为(C)A.eq\f(6,13)B．－eq\f(6,13)C.eq\f(9,20)