山东省部分学校2025届高三下学期4月份模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山东省部分学校2025届高三下学期4月份模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，即，则，又，故.故选：B.2.已知，i为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】，故，所以的虚部为，故选：D.3.已知，则的最小值是（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】由可得，即，故，由，可得，当且仅当时取等号，即当时，取得最小值为8.故选：D.4若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.5.在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（）A.是与的等比中项 B.是与的等比中项C.是与的等比中项 D.是与的等比中项【答案】A【解析】因为，得到，所以对于选项A，因为，，，又，所以，则，，构成等比数列，故选项A正确，对于选项B，因，，，又，但，所以选项B错误，对于选项C，因为，，，所以，，不构成等比数列，故选项C错误，对于选项D，因为，，，又，但，所以选项D错误，故选：A.6.已知圆与圆有三条公切线，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径，由圆方程得，半径，则，解得.故选：D7.中项的系数为（）A.56 B.69 C.70 D.55【答案】B【解析】由题意得：项系数为：，故选：B.8.已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为因为二者共焦点，所以，如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知，由此解得，由题意知，所以，故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得，由离心率的定义可得，设，则，问题转化为求的最大值，设，由可得，当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以最大值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（）A.这组数据的平均数为49 B.这组数据的标准差为8C.这组数据的第20百分位数为42 D.这组数据的极差为25【答案】BC【解析】平均数为，故A错误；方差，则标准差，故B正确；，则第20百分位数为，故C正确；极差为，故D错误.故选：BC10.已知函数，将的图象先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象，则（）A.B.和在上都是增函数C.和的图象都关于直线对称D.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象重合【答案】ABD【解析】由题知，对于选项A，因为，所以选项A正确，对于选项B，当时，，，由的性质知，和在上都是增函数，所以选项B正确，对于选项C，因为，，所以和的图象均不关于直线对称，故选项C错误，对于选项D，因为，向右平移个单位长度后得到，又，所以选项D正确，故选：ABD.11.是定义在上的连续可导函数，其导函数为，下列命题中正确的是（）A.若为偶函数，则为奇函数B.若的图象关于点中心对称，则的图象关于直线轴对称C.若的周期为T，则的周期也为TD.若，为奇函数，则【答案】ABD【解析】对A，因为为偶函数，所以，都有，两边同时求导，，即，则为奇函数，A正确；对B，因为的图象关于点中心对称，故，两边对求导可得，，即，所以的图象关于直线轴对称，B正确；对C，因为的周期为T，则，故，（为常数），所以当时，不是的周期，C错误；对D，由可得，函数的图象关于点中心对称，因是定义在上的连续可导函数，故，又为奇函数，则的图象关于原点对称，故图象关于点中心对称，即，故，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点为抛物线上一点，为的焦点，则________.【答案】【解析】将代入抛物线中，得到，解得，则抛物线方程为，，故.故答案为：13.已知单位向量，满足，且，则________.【答案】【解析】，，，所以，因，则，所以，所以.故答案为：14.数列满足，且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是________.【答案】4【解析】由，则，又，所以数列为首项为2，公比为2的等比数列，则，即，所以，由，则，则，又，，所以，即，则满足不等式的的最大值是4.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，向量，与垂直，，B，C为的内角，且A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）求A；（2）若角A的平分线交BC于点D，，求AD的最大值.解：（1）因为与垂直，所以，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，且，所以.（2）因为为的角平分线，则，由可得整理得，又因为，可得，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.16.斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，.（1）求四棱柱的体积；（2）求平面与平面的夹角的正切值.解：（1）如图，连接交于，连接，，在中，由余弦定理可得，因，故，即，，故为等边三角形，，由题意，，则，由题意可得，整理可得，得，则为等边三角形，故，又，故为等边三角形，故，又，在中，由余弦定理可得,，因，故平行四边形为菱形，故，又，，平面，故平面，作，由平面，则，由，平面，则平面，即为斜四棱柱的高，在直角三角形中，，（2）取的中点，连接，由（1）可知为等边三角形，则，，故为平面与平面所成角的一个平面角，在中，由余弦定理可得，17.已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.（1）求C的方程；（2）证明：为钝角三角形.（1）解：由题意可知，则，又，则，故，将点坐标代入曲线的方程中得，又，解得（负值舍去），则C的方程为（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立得，，设，则，得且，若直线与双曲线的两支相交，则，则，则，则为钝角；若直线与双曲线的一支相交，由于双曲线的对称性，不妨设直线与双曲线的左支相交，且在点上方，设，因，则，则为锐角，则为钝角，综上可知，始终为钝角三角形.18.某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查.已知该市有甲，乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展.现从甲社区随机抽取100人，乙社区随机抽取150人，统计正确分类人数如下：甲社区：80人正确分类；乙社区：90人正确分类.假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率.（1）若从甲社区中任选3人，求恰好2人正确分类的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异？（3）环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取8人，再从这8人中选择3人进行深度访谈.设X为3人中来自甲社区的人数，求X的分布列及数学期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.解：（1）已知甲社区正确分类概率的估计值，则恰好人正确分类的概率.（2）提出零假设：两个社区居民对垃圾分类的准确率没有差异.整理列联表：根据题目所给信息，整理得到两个社区居民对垃圾分类的准确率的列联表，其中甲社区正确分类80人，不正确分类20人，合计100人；乙社区正确分类90人，不正确分类60人，合计150人；总计正确分类170人，不正确分类80人，总人数250人.根据统计量的计算公式（其中是样本容量，、、、分别是列联表中的四个数据），在本题列联表中，，，，，则.已知小概率值对应的临界值，因为，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为两个社区居民对垃圾分类的准确率有差异.（3）甲社区不能正确分类的有20人，乙社区不能正确分类的有60人，共人.按照分层抽样抽取人，则从甲社区抽取人，从乙社区抽取人.为人中来自甲社区的人数，则的可能取值为，，.所以的分布列为：X012可得：19.已知函数.（1）若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程；（2）若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围.解：（1）因为，所以，而，得到切点为，设切线斜率为，由导数的几何意义得，则切线方程为，而切线l过点，得到，解得，此