山西省2023-2024学年高二下学期4月期中调研测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山西省2023-2024学年高二下学期4月期中调研测试数学试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色.黑水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.小米汽车首款车型小米SU7于2024年3月28日正式发布，该款车型有9种外观颜色，4种内搭颜色可供选择．若车主自由选择车的外观和内搭颜色，共有（）种情况A.4 B.9 C.13 D.36【答案】D【解析】第一步：选外观颜色，有9种选择；第二步：选内搭，有4种选择；所以共有种情况．故选：D.2.已知函数，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】因为，所以，由导数定义可知.故选：D.3.的展开式中二项式系数最大的项为（）A.第二项 B.第三项 C.第四项 D.第五项【答案】C【解析】由的展开式中，项的二项式系数为，根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．故选：C.4.已知双曲线（，）的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因为双曲线（，）的渐近线方程为，所以，所以，代入抛物线得，，设直线与抛物线的交点为，则，所以，故选：D．5.已知函数，则函数的极值点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】函数，定义域为，，在上恒成立，则函数在上单调递增，无极值点，极值点个数为0.故选：A.6.某校街舞社共8位同学，为了给高三学子加油鼓劲，编排了一组团体舞蹈，站队时要求站成两排四列,且要保证每一列前面的同学身高比后面的同学矮（8名学生身高均不相同），共有（）种站队方法A.2250 B.2520 C.2790 D.3250【答案】B【解析】将前后2人看成一组，可看成4个不同位置，分别取出2人排在4个位置，两人顺序确定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有种.故选：B7.已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数，可得，所以且，因为函数与偶函数在交点处的切线相同，所以函数与相切于，且，又因为为偶函数，所以，且，所以函数在处的切线方程为，即．故选：D.8.石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（）A.42 B.120 C.168 D.210【答案】C【解析】记“第n圆环”最外层的碳原子个数为，依题意,,，由此可以归纳出“第二圆环”上的碳原子个数为,“第三圆环”上的碳原子个数为,由此可得“第n圆环”上的碳原子个数为,所以“第七圆环”的碳原子个数为故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列满足，，下列说法正确的是（）A.B.C.令，，则D.令，，则【答案】AD【解析】由，，可得，，，，故A正确，B错误；所以数列为周期数列，周期为4，对于C，，，因为，所以不平行，故C错误；对于D，，，因为，所以，故D正确.故选：AD.10.某高中打算组织一个校园足球队，计划从各班挑选11个同学.下列说法正确的是（）A.若将校足球队的11个名额分到8个班级，每个班级至少1个名额，共有240种分配方法B.学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，有2100种不同的分组方式C.比赛人场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时A、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，有259200种不同的排法D.现安排A、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个球队进行集训，若甲球队必须有同学去，则不同的安排方法有37种【答案】BCD【解析】对于选项A：将校足球队的11个名额分到8个班级，每个班级至少1个名额，问题等价于将11个完全相同的小球分为8组，每组至少一个小球，由隔板法可知，不同的分配方法种数为种，故A错误；对于选项B：将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练，若其中一组4人，另外两组每组3人，则不同的方法种数为种，故B正确；对于选项C：将A、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的4人进行全排，再将、、、四人进行插空，所以不同的排法种数为种，故C正确；对于选项D：采用间接法：所有选法是种，甲球队没有同学去有种，故甲球队必须有同学去有种，故D正确；故选：BCD11.已知函数，，下列说法正确的是（）A.函数存在唯一极值点，且B.令，则函数存在唯一零点C.若恒成立，则D.若，，则【答案】AD【解析】A选项，函数，定义域为0,+∞，，在0,+∞上单调递增，，，所以，使得，满足，即.当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以函数存在唯一极值点，且，A选项正确；B选项，由A选项可知，，即恒大于0，函数，定义域为0,+∞，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；得，则在0,+∞上恒成立，即在0,+∞单调递增，，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；则，所以恒大于0，故无零点，故B选项错误；C选项，若恒成立，则，即恒成立，由，有，故存在满足题意，故C选项错误；D选项，函数在0,+∞单调递增，，，则，有，即，得，有，所以，故D选项正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为______.【答案】5【解析】圆：的圆心为，半径，直线：，即，令，解得，所以直线过定点，则圆心到直线的最大距离为.故答案为：13.如图是我国古代著名数学家杨辉在《详析九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为______.【答案】【解析】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，第五行的第三位数字是，，第十五行的第三位数字是，由，则.故答案为：.14.已知函数，若函数在存在单调增区间，则实数的范围为______.【答案】【解析】由题可知，则f'x>0在即有解，所以在内有解，，则.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项.解：（1）根据题意，第二项为，第三项为，所以，解得.（2）展开式中，其中.当时，展开式为有理项：；；；；，即展开式中所有的有理项为.16.已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.解：（1）由题可得，则，…，，，将这项相加，可得，所以，经检验成立，所以.（2）由题可得，，当时，，又因为当时，，所以.17.已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点．（1）求椭圆的方程；（2）设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围．解：（1）设：（），因为为上顶点且为与圆：的切点，所以，令，因为，所以，所以，即：．（2）因为，所以，1°当斜率存在时，设：，所以到的距离，则，所以，2°当斜率不存在时，，，综上，的取值范围为．18.已知函数（）的两个零点为，且.（1）求实数的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由得，两边同时取对数整理得：，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，当时，函数的图象如下图所示：所以，即，所以.（2）由，得，，设，则有，即，，由得，即，设（），则，设，则，设，则，当，，单调递增，当，，单调递减，且，，所以存在唯一的，使得，当，，单调递增，当，，单调递减，且h1=0，，所以φx在单调递增，在单调递减，所以，所以，所以的取值范围是.19.定义：对一个棱锥的各个顶点染色，若每一条棱的两个端点均不同色，则称之为“多彩棱锥”.若用（）种颜色给某（）棱锥染色，出现“多彩棱锥”的数量记作.（1）当，时，试求值；（2）当，时，试求的值；（3）结合前两问的解题思路，对任意的正整数（）（），请写出的运算公式，并证明.解：（1）题目等同于“用六种不同的颜色给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色”，设顶点为，底面4点为，，，.首先对顶点进行涂色，共有6种选择；第二步，对点进行涂色，共有5种涂色方法；第三步，需要对是否同色进行分类：若同色，则共有种情况；若不同色，则共有种情况；因此，种情况.（2）题目等同于“用六种不同的颜色给一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色”，设顶点为，底面五点为，，，，.首先对顶点进行涂色，共有6种选择；此时五点共有五种不同颜色可供选择.故问题转化为如图，，，，五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题.若按照，，，，的顺序分步涂色，暂不考虑同色的情况，则共有种情况；其中包含了同色.当同色时，相当于（1）中四个点的涂色问题，即有1560种；因此，.（3）题目等同于“用种不同颜色给一个棱锥的每个顶点染上一种颜色