山西省吕梁市孝义市2025届高三二月份模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山西省吕梁市孝义市2025届高三二月份模拟考试数学试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，所以.故选：B2.已知（为虚数单位），则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故.故选：C3.已知向量，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，则，，由，得，所以.故选：B4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.故选：A5.下列说法错误的是（）A.某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C.在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05【答案】C【解析】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确；对于B，由，得第75百分位数为，B正确；对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误；对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确.故选：C6.在正三棱锥中，棱两两垂直，若的边，则该正三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知：正三棱锥是正方体的一个角，补成正方体如图所示：正方体的对角线长是外接球的直径，因为，所以，则外接球直径为，所以，所以外接球的表面积为，故选：D7.设函数，则满足的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令函数，其定义域为R，，函数是奇函数，求导得，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增，不等式，则，解得，所以所求取值范围是.故选：A8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C.13 D.15【答案】D【解析】抛物线的焦点为，由轴，点，得，由抛物线的光学性质，得点共线，设，则，解得，点，于是，，，所以的周长为.故选：D二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（）A.甲发生的概率为 B.乙发生的概率为C.甲与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【答案】AC【解析】设事件表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，事件表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，事件表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，事件表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，续抛掷质地均匀的正四面体形的骰子两次，有共16种等可能的不同结果，第一次抛掷骰子所得数字是1的情况有：，甲发生的概率为：，故A正确；第二次抛掷骰子所得数字是2的情况有：，乙发生的概率为：，故B错误；两次抛掷骰子所得数字之和是5的情况有：，丙发生的概率为：，两次抛掷骰子所得数字之和是6的情况有：，丁发生的概率为：，，，故事件甲与丙相互独立，故C正确；，故D错误.故选：AC.10.已知，若对，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】ABC【解析】依题意，，其中锐角由确定，，函数在上单调递增，，由，使得成立，得，而在区间上的值域为，则存在，使得，因此，解得，函数，当时，，又在区间上的值域为，，则，解得，所以实数取值范围是，ABC可能，D不可能.故选：ABC11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数为单调函数B.时，函数为偶函数C.函数的图象与直线有两个交点D.若，函数在上单调递增，则实数的取值范围为【答案】BD【解析】对于A：因为，，当时，，函数为单调递增函数，当时，,当时，，故，当时，，故，因为是连续函数，由零点存在定理得定有使得，故函数不单调，当时，当时，，故，当时，，故，因为连续函数，由零点存在定理得定有使得，故函数不单调，故A错误；对于选项B：因为函数，当时，又，所以函数为偶函数，故B正确；对于选项C：由选项A分析当时，函数单调递增，此时函数的图象与直线至多有1个交点；故C错误对于选项D：因为，要使恒成立，只需，即，，解不等式，即，解得或，又因为，所以，故D正确；故选：BD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.正数满足，则的最小值是__________.【答案】16【解析】由正数满足，得，则，当且仅当，即取等号，所以的最小值是16.故答案为：1613.如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是__________.【答案】【解析】在棱长为4正方体中，分别取棱中点，连接，由点分别是棱的中点，得，又平面，平面，则平面，又，则四边形为平行四边形，于是，又平面，平面，则平面，又，平面，因此平面平面，又是侧面内一点，且平面，则点的轨迹是线段，在中，，同理，即为等腰三角形，当为中点时，最短，为，当位于、处时，最长，为，所以线段长度的取值范围是.故答案为：14.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，且，点满足，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】取的中点N，由，得，令与交于，由是的中点，得，则是的中点，由，得，因此垂直平分，令双曲线的半焦距为c，则，，由，得，因此，化简得，所以双曲线离心率为.故答案为：.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若，设为三角形的角平分线，求的长.解：（1）由得,又因为，所以,又因为，所以,又因为,所以.（2）因为，所以,又因为,所以,所以,故答案为：.16.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.（1）解：由点在椭圆上，得，由椭圆的焦距为，得，解得，所以椭圆的方程为.（2）证明：设,，代入椭圆方程得，由题知，当时，设,、,，显然，由，得，即，由为线段的中点，得，直线的斜率，由，得直线的方程为，即，因此直线过定点，当时，直线，此时为轴亦过点，所以直线恒过定点.17.若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“-数列”，写出所有可能的；（2）若“-数列”中，，求的最大值.解：（1）依题意，因为数列为“数列”，则，注意到，故所有可能的为或或.（2）一方面，注意到：对任意的，令，则且，故对任意的恒成立（★），当时，注意到，得，此时，即，解得，故；另一方面，取，则对任意的，故数列为“数列”，此时，即符合题意.综上，n的最大值为.18.在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点.（1）在棱上是否存在一点E，使得侧面，若存在，求的长；若不存在，说明理由.（2）二面角的大小为，二面角的大小为，求.解：（1）如图，连接，，是的中点，，又平面，平面，，又，平面，平面，过作于，又，，又平面，，又，平面，平面，在中，，，，得，.（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，由（1）知，，可得，，又平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，，由图可知二面角的平面角为钝角，则，，由题知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，.，由图可知二面角的平面角为锐角，则，，.19.设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．（1）若为上的“凸函数”，求a的取值范围；（2）证明：当时，有且仅有两个零点．（1）解：由，则.由题意可知，为上的“凸函数”，则在区间上单调递减，设，则，所以在恒成立，则在恒成立，又当时，函数取最小值，且最小值为，所以有，解得，即a的取值范围为.（2）证明：当时，由得.令，其中，则，其中.①当时，则，，所以，则在单调递增，则恒成立，即在无零点；②当时，令，其中，由在单调递增，又，故存在，使得