陕西省西安市部分学校2025届高三联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1陕西省西安市部分学校2025届高三联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以的虚部为.故选：C.2.已知集合，.若，则（）A.0 B.1 C. D.0或【答案】D【解析】由可得或，则当时，；当时，；因，且，则或.故选：D.3.已知，且三点共线，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：A.4.已知为钝角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，，所以.故选：D5.已知变量和的统计数据如下表.8090100110120y120140165180若，线性相关，经验回归方程为，则（）A.155 B.158 C.160 D.162【答案】A【解析】由表中数据可得，代入经验回归方程可得，则.故选：A6.已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，有1个零点，则当时，只有一个零点，即方程在时有一个解，即方程在时有一个解，因为函数为增函数，且当时，，则，即.故选：B.7.圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则（）A.4 B.8 C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为，抛物线的焦点为，所以，所以，联立，得，解得或，在抛物线中，，所以，代入得，所以.故选：C8.在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为，宽为，则抗弯截面系数.若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】记这三种截面的周长为C，则，从而，，.由，得令，，则，显然在上恒成立，故在上单调递增，因为，，所以.因为，所以.故选:D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小正周期为，则（）AB.C.的图象关于直线对称D.将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象【答案】ABD【解析】已知函数的最小正周期为，，则，故A正确；，则，故B正确；，故的图象不关于直线对称，故C错误；将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象，故D正确；故选：ABD．10.记为等比数列的前项和，已知，则（）A.B.C.D.的最小值为【答案】BCD【解析】根据题意，设等比数列的公比为，则，解得.所以，解得.所以，.故A错误，BC正确.对于D，，根据函数单调性可知，在和时，取得最小值.故D正确.故答案选：BCD11.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.若，则曲线表示一条直线B.曲线上的点到原点的距离的最小值为C.若，则曲线与直线只有1个公共点D.若曲线与直线只有2个公共点，则【答案】ABD【解析】若，则曲线，即,则曲线表示一条直线，故A正确；若，曲线，当时，曲线方程为，表示圆的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分，当时，方程不表示任何曲线，所以曲线大致图象如图所示：对于B，当时，曲线上的点到原点的距离的最小值为0，当时，由图可知，曲线上的点到原点的距离的最小值为，故B正确；对于C，若，由图可知，则曲线与直线没有公共点，故C错误；对于D，当时，曲线与直线不可能只有2个公共点，不符合题意；当时，直线过定点，结合题意易得，当直线与相切时，可得，解得（舍去）或，此时直线为与曲线只有1个公共点，当时，直线与曲线只有1个公共点；当时，若直线与交于两点，则必定与交于一点，此时直线与曲线有3个公共点，不符合题意，要使直线与曲线有2个公共点，则直线与交于一点，且与相切，如下图，联立，即，则，解得（舍去）或，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为__________.【答案】20【解析】由通项公式可知常数项为：;所以常数项为20；故答案为：2013.定义在上的奇函数满足当时，，则__________；使的的取值范围是__________.【答案】①.②.【解析】因为定义在上的奇函数满足当时，，所以当时，，，且奇函数的定义域为，所以，所以,所以，当时，，当时，，当时，，所以使的的取值范围是，故答案为:;.14.已知是球的球面上两点，是该球面上的动点，是该球面与平面交线上的动点.若四面体体积的最大值为，则球的体积为__________.【答案】【解析】设球的半径为.因为是球与平面交线上的动点，即平面，在中，，，设的中点为，连接并延长，交球于，则，，，此时三角形的面积最大，且最大面积为.是球面上的动点，要使四面体的体积最大，则点到平面的距离要最大，当平面时，点到平面的距离最大，且最大距离.依题意，解得.球的体积为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求外接圆的半径；（3）若，求的面积.解：（1）因为，可设，则，所以；（2）由（1）知，，，所以，设外接圆的半径为，则由正弦定理，所以,所以外接圆的半径为；（3）因为，由（1）知，，则，所以.16.如图，在直四棱柱中，的中点分别为.（1）证明：.（2）求二面角的正弦值.（1）证明：在直四棱柱中，因为，所以两两垂直，又因为，所以，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，则，从而，所以；（2）解：根据题意，可知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，可得，所以易知二面角的正弦值为.17.为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分.（1）小王同学的答题情况如图所示，①求小王同学的得分；②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率（2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望.解：（1）①由图可知，小王同学答对1道试题，故他的得分为10分.②经过老师指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，针对错误试题进行分析后，给出的答案可能为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，{（草船借箭，水浒传），（黛玉葬花，三国演义），（武松打虎，红楼梦）}，共2种情况，其中错误试题全部答对的情况为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，故所求的概率为.（2）由题可知，的所有取值可能为0，10，20，40.，，，\\.X的分布列为：X0102040P故.18.已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于点，证明：四点共圆.解：（1）依题，，即①，把代入中，解得，因点在第一象限，则，由可得，代入点的坐标可得：，即得，整理得：②，将①代入②可得：，解得（负值舍去），则，故椭圆的标准方程为：.（2）依题意，点关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设，将代入，解得，依题意，，则的外接圆半径为，于是的外接圆的方程为：，因点在该圆上，代入解得，故的外接圆的方程可化简为：（*）.又直线的方程为：，令，可得，将其代入（*），可得：，即点在该圆上，故四点共圆.19.已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数.（1）判断是否为上的非负函数，并说明理由.（2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列.（3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：.解：（1）是上的非负函数.理由如下：因，，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递