2024年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用23.2.4坡角坡比问题同步练习新版沪科版

PAGEPAGE123.2第4课时坡角、坡比问题一、选择题1．如图37－K－1，修建抽水站时，沿着坡度为i＝2∶3的斜坡铺设水管，若测得水管A处铅垂高度为6m，则所铺设水管AC的长度为()A．10mB.eq\r(13)mC．3eq\r(13)mD．11m图37－K－12．［2024·巴中］一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图37－K－2所示，则下列关系或说法正确的是()A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°米D．AB＝eq\f(1.2,cos10°)米图37－K－23．如图37－K－3，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3eq\r(5)米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B与点A有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为()A．5米B．6米C．8米D．(3＋eq\r(5))米图37－K－34．［2024·济南］如图37－K－4，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1m处的点D离地面的高度DE＝0.6m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为()eq\f(3,4)B．3C.eq\f(3,5)D．4图37－K－4二、填空题5．［2024·宁波］如图37－K－5，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度约下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)图37－K－56．活动楼梯如图37－K－6所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1∶1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从点A到点C上升的高度BC为________m.图37－K－67．［2024·德阳］如图37－K－7所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6eq\r(2)米，背水坡CD的坡度i＝1∶eq\r(3)(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．图37－K－7三、解答题8．如图37－K－8，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的．测得坡长AB＝600米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.求山峰的高度．(结果保留根号)图37－K－89．［2024·荆门］如图37－K－9，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋eq\r(3))米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为eq\f(\r(2),2)米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？图37－K－910．［2024·淮北期末］为缓解“停车难”的问题，某单位拟造地下停车库，建筑设计师供应了该地下停车库的设计示意图如图37－K－10所示．已知该坡道的水平距离AB的长为9m，坡面AD与AB的夹角∠BAD＝18°，石柱BC＝0.5m，按规定，地下停车库坡道上方BC处要张贴限高标记，以便告知停车人车辆能否平安驶入．请你帮设计师计算一下CE的高度，以便张贴限高标记．(结果精确到0.1m，参考数值：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)图37－K－1011．［2024·海南］为做好防汛工作，防汛指挥部确定对某水库的水坝进行加高加固，专家供应的方案是水坝加高2m(即CD＝2m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图37－K－11所示，已知AE＝4m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)图37－K－1112［建模思想］［2024·济宁］某地的一座人行天桥示意图如图37－K－12所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了便利行人推车过天桥，有关部门确定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶eq\r(3).(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否须要拆除？请说明理由．图37－K－12

1．[解析]CBC＝eq\f(AB,tanC)＝9m，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(62＋92)＝3eq\r(13)(m)．2．[解析]B斜坡AB的坡度是tan10°＝eq\f(BC,AC)，故B项正确．3．[解析]A设CD＝x米，则AD＝2x米．由勾股定理可得AC＝eq\r(x2＋（2x）2)＝eq\r(5)x(米)，∵AC＝3eq\r(5)米，∴eq\r(5)x＝3eq\r(5)，∴x＝3，∴CD＝3米，AD＝2×3＝6(米)．在Rt△ABD中，BD＝eq\r(102－62)＝8(米)，∴BC＝8－3＝5(米)．故选A.4．[解析]B如图，过点C作CF⊥AB于点F，则DE∥CF，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(DE,CF)，即eq\f(1,5)＝eq\f(0.6,CF)，解得CF＝3m．在Rt△ACF中，AF＝eq\r(52－32)＝4(m)，则BF＝4－3＝1(m)，∴石坝的坡度为eq\f(CF,BF)＝eq\f(3,1)＝3.5．[答案]280[解析]在Rt△ABC中，AC＝AB·sin34°≈500×0.56＝280(米)，∴这名滑雪运动员的高度约下降了280米．6．[答案]4eq\r(2)[解析]依据题意可知∠A＝45°，∴BC＝sinA·AC＝eq\f(\r(2),2)×8＝4eq\r(2)(m)．7．[答案]12[解析]依据题意可知AE＝6eq\r(2)×sin45°＝6(米)．又∵背水坡CD的坡度i＝1∶eq\r(3)(i为DF与FC的比值)，∴tanC＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C＝30°，则CD＝2DF＝2AE＝12米．8．解：如图所示，过点B作BG⊥AF于点G，则BG＝EF，BE＝GF.∵AB＝600米，∠BAF＝30°，∴EF＝BG＝eq\f(1,2)AB＝300米．在Rt△BCE中，∵BC＝200米，∠CBE＝45°，∴CE＝BC·sin∠CBE＝200×eq\f(\r(2),2)＝100eq\r(2)(米)，∴CF＝CE＋EF＝(300＋100eq\r(2))米，∴山峰的高度是(300＋100eq\r(2))米．9．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.设AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒．∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴AD＝CD＝x米，∴AC＝eq\r(2)x米．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(x,\f(1,2))＝2x(米)．∵小军的行走速度为eq\f(\r(2),2)米/秒，且小明与小军同时到达山顶C处，∴eq\f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq\f(2x,a)，解得a＝1.答：小明的行走速度是1米/秒．10．解：∵∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴∠ADB＝72°.在Rt△ABD中，BD＝AB·tan∠BAD≈9×0.32＝2.88(m)，∴CD＝BD－BC＝2.38m.在Rt△CDE中，CE＝CD·sin∠ADB≈2.3m.答：CE的高度约为2.3m.11．[解析]依据∠BAC的正切值，用含BC的代数式表示出AB的长，再由DE的坡度可知BD＝BE，由此列方程即可求出BC的长．解：设BC＝xm.在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，∴AB＝eq\f(BC,tan50°)≈eq\f(BC,1.2)＝eq\f(5BC,6)＝eq\f(5,6)x(m)．在Rt△BDE中，∵iDE＝DB∶EB＝1∶1，∴DB＝EB，∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x≈4＋eq\f(5,6)x，解得x≈12，故BC≈12.答：水坝原来的高度约为12m.12解：(1)∵新坡面的坡度为1∶eq\r(3)，∴tanα＝tan∠CAB＝eq\