考点07椭圆离心率14种常见考法归类

考点07椭圆离心率的14种常见考法归类

解题策略

离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考

的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、

平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、

转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。

一，求离心率的方法.

求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通

常有两个方向：

1、利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么

可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与。有关，另一条边为焦距，从而可求解；

（1）特殊三角形与离心率

这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角

形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用

代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.

（2）平行四边形与离心率

：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用

代数法也可用几何法.

（3）圆与离心率

借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质

的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90。，半径相等，圆与圆

的位置关系等.

2、利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用出4c进行

表示，再利用条件列出等式求解.（要习惯将。涉,「看作常数）

3、通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、离心率的范围问题.

在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）借助题目中给出的不等信息

题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如

果问题围绕着“曲线上存在一点%则可考虑将该点坐标用4C表示，且点坐标的范围就是求离心率

范围的突破口；

基本步骤：

①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，A的范围等；

②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.

（2）借助函数的值域求解范围

若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即

可；

基本步骤：

①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；

②通过确定函数的定义域；

③利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

（3）借助平面几何图形中的不等关系

基本步骤：

①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的

最值等得到不等关系，

②将这些量结合曲线的几何性质用。力,。进行表示，进而得到不等式，

③解不等式，确定离心率的范围.

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件（椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致），否则很容

易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围.

第二次

菩,高频考点

考点精析

考点一利用几何性质

1.（2022秋•陕西渭南•高二统考期末）、知椭圆b>0）的左、右焦点分别为耳、F2,上顶点

为A.若△Af；鸟为正三角形，则该椭圆的离心率为.

【答案】

【分析】利用题给条件求得。=勿，进而求得椭圆的离心率

【详解】为正三角形，则。=2c,则椭圆的离心率e=£=f=:

a2c2

故答案为:

2

2.（2023•河南郑州•高二校联考阶段练习）直线/:y=后与椭圆C:£+《=l交于P,Q两点，尸是椭圆C的

a~b~

右焦点，且「尸。尸=0,则椭圆的离心率为（）

A.4-2>/3B.2必3C.V3-1D.且

2

【答案】C

【分析】根据对称关系和垂直关系可知四边形尸尸@尸为矩形，结合直线倾斜由大小可确定/尸。尸=3,由

6

此利用C表示出|P/$|Q尸|,结合椭圆定义可构造齐次方程求得离心率.

记椭圆C的左焦点为产，

由对称性可知：四边形尸尸Q尸为平行四边形，.•.|尸尸|二|。尸|,

.-.\PF\+\PF,\-\PF\+\QF]-2a；

•.,而•斯=0,.，F_LQF,.•.四边形P/'Qb为矩形，.•./。■"'k加，

又tan/PO/=&，..NPO尸=[，又|。月=|因，../PQ尸=9

36

/.|PF|=2csin-^=c,\QF\=2ccos=>/3c,:.\Pf\+\QF\=^yl3+\^c=2a,

二椭圆的离心率6=；=^^=6一1.

故选：C.

3.（2022秋•吉林四平•高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆。:鸟+1=1（4>6>0）的左、右顶

ab

点分别为A、Az,且以线段为直径的圆与直线火+分-2ah=0相切，则椭圆C的离心率为.

【答案】用

3

【分析】根据顶点坐标求出以线段A4为直径的圆的方程，根据直线与圆相切求出〃2=3必，再根据

c2=a2-b2以及离心率公式可求出结果.

【详解】因为A（-a，。）、4（a,0）,

所以以线段A4为直径的圆的方程为：/+）/=/,

因为直线⑪+勿-2必=。与圆/+y2=/相切,

所以+\-r2a=b\W=。，化简得。2=3从，

a2-b2W-小限

所以椭圆C的离心率e=£=

a363

故答案为：—.

3

4.（2022春•辽宁丹东•高二凤城市第一中学阶段练习）已知椭圆（7:与+£=13＞。＞0）的右焦点为尸，短

a~b~

轴的一个端点为尸，直线/：4x-3y=0与椭圆C相交于A,B两点.若|A用+|5用=6,点P到直线/的距

离不小于（，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（.B.（0,当

C.（0当D.g净

【答案】C

【分析】设椭圆的左焦点为尸，，根据椭圆的对称性可得，=3.根据点尸到直线/的距离不小于:，可得b范

围，根据离心率e=£即可得出.

设椭圆的左焦点为广，根据椭I员I的对称性可得：\BF\=\AF\,

所以|AU|+|A产R8FI+IA尸|=6=2〃，解得”3.

点P（0,〃）到直线I：4A-3y-0的距离不小于|,

3b、6

…回（_3）27解得心2，

又b<a,2<b<3

故选：C.

考点二利用坐标法

5.（2022秋•江苏无锡•高二统考期中）如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，C是工£的三等分点（靠

近点B），F为椭圆的右焦点，。。的延长线交椭圆于点且J/F_Q4,则椭圆的离心率为.

【答案】史

【详解】设A（凡0）,B（0力），F（c,o），椭圆方程为W+E=l（a>力>0）,

a~b~

令X=C,可得y=力J1一,=J,即有Mb2}

,由C是AB的三等分点（靠近点B）,

可得C（.，?），由0,C,M共线，可得分C=MM，即为竺二工，即有b=2c,

133/aac

则七¥.

6.（2022秋•吉林・高二统考期中）过椭圆C：jJ=1（4>b>0）的左顶点A且斜率为上的直线交椭圆c

于另一点3,且点3在x轴上的射影恰为右焦点尸，若（＜左＜《，则椭圆佗离心率。的取值范围是

【答案】（吴）

【详解】由题意可知，点4的坐标为（一00）,点B的坐标为（C.Q）,所以直线43的斜率

a

2

b1iij

7b20—工l-e2因为;〈比＜士,所以4yLLy2,从而得到离心率e的取

32S:Uc£

c+。ac^a*<T+oc1+。

值范围为（；.$.

考点三椭圆第一定义

7.（2022秋•福建三明•高二阶段练习）设厂、工分别是椭圆写转改=1的左、右焦点，若椭圆上存在点H,

•73户

使也均蝌,=噢产，且反幻二耶噫3则椭圆离心率为

A.更B.C.巫D.垂

【答窠】B

【详解】设耳入分别是椭圆三十卫=1（。＞〃＞0）的左、右焦点，由椭圆的定义可知:

a~b~

|从用+|人用=勿，所以|A制2+H用2+2|伍5周=4/,所以恒用二学必用二£.若椭圆上存在

点A,使必局：:姆,=讨铲，所以|"f+|A用2=牝2,所以8c2=5心所以”乎，故应选8.

8.（2022秋.安徽•高二统考期中）石、三分别是椭圆1+4=l（a＞b＞0）的左、右焦点，过E作直线

dab"

交椭圆于X、5两点，已知g噫久=鸵叫则椭圆的离心率为

A.2^B.第C.痛一在D.6/

【答案】A

（详解】试题分析:设|人耳|=m,则由明_L%,NABF；=30。得圈「2mtM|=&,所以|微卜2a-8n,

\BF2\=2a-m,所以（2a-百加）+（2〃一〃?）=2m，解得/n=3，在ABKB中，

闺玛卜忸用2+忸/以_2忸用忸用cos60。，即4c2=苏+（2a）2-皿=-㈤,把〃?=2（3一■）°代入得

e2=—7=2—V5，所以e=―»故选A.

a22

rv2

9.（2022秋.湖南株洲.高二阶段练习）已知椭圆C：I+2T=1（4>0*>0）的左、右焦点分别为耳玛，

ab

尸为椭圆上一点，连接用交）'轴于点Q,若AP/为等边三角形，则椭圆。的离心率为

A.立B.立C.在D.迈

2233

【答案】C

【详解】设AP。用功长为X.^\PF2\=\PQ\=\QF2\=xt

由题意数形结合易证得用。。三明2。，二|。用二|然|=x,即，|尸周=|凿|+|P?|=2x.

在ARP片中由题意可得/耳尸5=60°,

二出月『=|尸居f+1尸石『-2附;||P用cos60。=4/+/-4=3d，

小段=岳.

二2二|产司+|尸玛|=3%2=|瓦耳|=&,

."=£=我=立.故c正确.

a3x3

10.（2022秋•山西•高二校联考期末）已知椭圆C的左右焦点分别为尸八尸2,过点尸2的直线与椭圆C交于

点A,B,若忸B|=HB|=5,\FtB\=6,则椭圆。的离心率为.

【答案】叵.

5

【分析】设椭圆的长轴长为2a,可得4a=|*|+|悟|+|%|+|帆|=16.即有。=4,\AF21=3,|职|=2在&4防

中，由余弦定理可得8sN£86.在仆BF冉,中由余弦定理可得2c,即可求解.

【详解】如图：

设椭圆的长轴长为2%

I伍|十|伍|=|防|+|明l=2a.

|A”A8|=5,|£8|=6,

:.4a=lAF}\+\AF2\+\BFl\+\BF21=16.

即有。=4,|4鸟1=3,1^1=2

在中，由余弦定理可得cos/MBg=36：?一256

2x6x55

在中由余弦定理可得2T36+4-2x6x2x，=李.

“，=巫

a5

故答案为：叵.

5

11.（2022秋・福建厦门•高二福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知椭圆E的两个焦点分别为",巴，点尸

为椭圆上一点，且tanPKK=g,tanPK6=3,则椭圆£的离心率为一.

【答案】叵

4

【分析】由题意得到tanP£玛（-tan刊/）=-1,即P£_L"，进而求得归制=前」尸用二而，结合

8c

|尸国川闾=方,得到而=2%即可求得椭圆的离心率.

【详解】因为tanP£K=g,tanP/"=3,则tanP/第（一tan"耳）=一1,

所以PK_LP5,

31

且COSP"『而sing;而

所以|P£|二|耳周cosNP耳用=胎,归玛|=上用sin/P£K=盍,

6c2cQz»

又由附1+1阳=勿，即，+旃=2°,即加=2%

所以e*坐

故答案为:

考点四焦半径和椭圆第二定义

12.（2022秋•天津河东•高二统考期末）已知椭圆C：5+[=l（a>b>0）,过右焦点产且斜率为G的直线

a2

与椭圆C相交于A,8两点，若A”=gm,则椭圆。的离心率为一.

【答案】j2

【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到|明然后利用cosZABE=i万计算即可.

【详解】如图，

作4Q垂直右准线交右准线于点。，作BC垂直右准线交右准线于点C

作AE垂直于点E

由■=（阳，设卜耳=肛网=26，则明=36

\AF\mIrai2加

eeee

所以忸目=忸。-[4）|=?,

又直线AB的斜率为G，所以NA8E=4&=60

112

所以8$48后=\B晨E\=不=5=«=£

\AB\3e23

故答案为：]

13.（2022春•江苏淮安•高二淮阴中学校考阶段练习）已知椭圆G*■+£=1（&＞力＞0）,存在过左焦点

4F

尸的直线与椭圆。交于Q两点，满足茄=2,则椭圆。离心率的最小值是

【答案】-

【分析】如图：过点A作40s准线于M,8N_L准线于N,A8交准线于Q,准线交工轴于G,计算

,解得答案.

2

【详解】如图：过点A作/准线于M,8N_L准线于N,A8交准线于Q,准线交工轴于G.

AP

----=2,则AM=2BN,故48=BQ,

BF

2

3解得吗.

故第=学4,AM《G尸,^i\<3e2+2e,

AMAQ6221c

当A取右顶点，B取左顶点时等号成立.

若在直线工=

半焦距）上存在点P,使|历|的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（）

【答窠】B

【分析】根据题意得到|M£|22c,得到C_aK2c,求得£之且，进而求得帏圆离心率的范围.

ca3

【详解】如图所示，椭圆可得焦距|6日=加，

因为在直线x=上存在点尸，使|尸£|的长度恰好为椭圆的焦距，

可得区2c,即《—c«2c,可得即解得£之正

ca"3a3

又因为椭圆的离心率ew（O，D，所以ew［曰/）.

故选：B.

考点五中点弦和椭圆第三定义

15.（2022高二单元测试）若椭圆如2+犯2=1（6>0,心0）与直线尸1_1交于人，8两点，过原点与线段

中点的连线的斜率为则椭圆的离心率为（）

A.|B.巫C.BD.显

2222

【答案】B

【分析】把y=l-x代入椭圆加？+④2=1得如2+〃（］_力2=］,由根与系数的关系可以推出线段A8中点坐

标为（』一，/一］，再由原点与线段A8中点的连线的斜率为;，能够算出'=进而利用离心率的计

\m+nm+nJ乙n2

算公式求出即可.

【详解】解：把y=l-X代入椭圆的2+町2=1得"V+〃（1一力2=1,

整理得（〃叶〃）f-2nr+〃-1=0.

设贻,刈,以孙必）,则%+%=急2〃

y\+y=2-

2m+n

nm

「•线段A8中点坐标为

m+n'm+n

m

m1

・•・原点与线段AB中点的连线的斜率k=也产=—=—

n2

m+n

，可知/?2=—,则〃

由椭圆7C?=2=-!■―!

mn

则椭圆的离心率6=V

故选：B.

16.（2022秋.安徽蚌埠高二校考期中）过点作斜率为-g的直线与椭圆C：「+%=1（八b>0）相

交于A,8两点，若M是线段AB的中点，求椭圆。的离心率.

【答案】电

2

【分析】利用椭圆点差法，结合椭圆离心率公式进行求解即可.

城

F⑴

【详解】解：设A（R,y）,网孙必），则w==1

与+溟1(2

(1)-(2)=(内-引仆+/)+()。2)"%)=0,

a2b2

・Xf_吩%+无

a

...Nf为+9=2,凶+必=2,

*-2

.b1

2=2h2.

XVb2=a2-c2,

***"=2(a2—c21,a2=2c2，e=—=-

a2

17.（2。22秋・湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知椭圆/方f八°）的一条弦

所在的直线方程是2x-y+5=0,弦的中点坐标是M,弓则椭圆的离心率是（）

B..G

A1rD.f

A-2

22

【答案】B

【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造弦中点坐标与、■的关系，计算离心率.

【详解】设直线2x-y+5=0与椭圆相交于A（%,yJ,8（七也）两点，弦的中点坐标是M（一日?}

则…=卷，2吟,直线48的斜率广号=2

g+K=i,

（5+玉）（%-王）।（凶+%）（乂一%）

由,。；及二得0,

士旅=1,b2

a2b2'

2

.y一切_从％+毛_9,b1

百Fa）1+必。2

故椭圆的离心率e=£==也.

a2

故选：B.

o2

18.（2022•全国•高二假期作业）已知椭圆C：W+与=1（。＞方＞0）上存在两点M,N关于直线次-3），-1=。对

a~b~

称，且线段MN中点的纵坐标为：，则椭圆C的离心率是（）

A.迈B.亚C.3D.也

6633

【答案】A

【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得女MN=7,并得到MN中点坐标；利用点差法可构造等式求

得5,根据椭圆离心率6=■可求得结果.

【详解】M,N关于直线3x-3y-l=0对称，.•.心=-1，

又MN中点纵型标为羡，中点横坐标为3"§+1

3-S-

2

y

F

设M（%i，y）,N（孙力），则

W+

1。一

两式作差得：至注=一占日，即（）1-%）5+%）=_（%-/）（4+力）

b“a2

.3"=-4*r

玉一/a~y+必

2

又占+巧=4,,+%=*10..•/-10=-\L解得：hS

3~3。6

•••椭圆C的离心率6=小"=骼.

故选:A.

考点六与斜率乘积相关

2

19.（2022.湖北）过原点。的直线/与椭圆。言“2v+方交于M、N两点，户是椭圆C上异于

M、NPM、PN的斜率之积为-；，则椭圆C的离心率为.

【答案】亚

3

【详解】当/为x轴时，则M（-a,0）,N（a,0）.故取尸（0力）.

._b.b

于是,kpM=-，kpN

a

因此，（沪g.

所以‘,二沁野

20.（2022秋•浙江台州•高二台州市书生中学校考阶段练习）已知椭圆C：E+£=l（a>b>0）上关于原点对

a~b~

称的两点为A,B,点M为椭圆C上异于A,B的一点，直线4M和直线勺斜率之积为-9，则椭圆C

4

的离心率为（）

A.-B.；C.—D.叵

4224

【答案】C

|L2

【分析】设必（公，九），代入椭圆的方程，表示出无，由心”•原,“=-^即可得%,据此即可求出离心率.

【详解】由已知可设A（—a,0）,3（«0）.

设材（知几），由题设可得，可+必=1，所以公=4（6一片）.

a~b~a~

所以上」，则©2=《=^^=1-4=3,所以e=且.

a24aa42

故选：C.

21.（2022春•新疆乌鲁木齐•高二新疆实验校考开学考试）若A,8分别是椭圆区工+丁=|（加＞i）短轴

m

上的两个顶点，点P是椭圆上异于48的任意一点，若直线A尸与直线的斜率之积为-：，则椭圆E

4

的离心率为.

【答案】叵

2

【分析】点P（W,m），利用直线AP与直线8P的斜率之积为-今，结合点尸在椭圆《+），2=1上，求出日

4m

利用离心率公式即得解.

【详解】设直线AP、8尸的方程为），-1=⑶，y+\=kBx,

点尸（初现），kA=^-fkB=^-t

/飞

21

贝IJ姑・&8=迎=二二一：①，

/4

2

又点尸在椭圆江十丁=1匕y0-l=--

mtn

由①②得，序=4,

=

*.*ZH>1,•**ni2.即离心率e=£=—^.

a&2

22.（2023秋•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末）椭圆（7:£+1=1（。＞匕＞°）的左顶点为A，点尸，。均在

。上，且关于），轴对称.若直线ARAQ的斜率之积为：，则C的离心率为（）

A二B-TC|D.半

【答案】D

【分析】设；HP（皿〃），得至|JQ（—小〃），根据斜率之积列出方程，得至IJ3〃2=/7〃2,结合济〃2

求出耳■=；求出离心率.

（T3

【详解】由题意得:A（-a,0）,设尸（小〃），。（一孙冷,故人〃2+储/=/",

m+a-m+a3

解得：3/I2=a2-m2，

由Im-2=q2——Cl~H~Z得£1至［J3",_=_4〃gaprt-b=-1,

b-b-a'3

离心率e=^-~2=•

故选：D

22

23.（2023秋•北京丰台•高二北京市第十二中学校考期末）已知点4,B是椭圆卬:1+与=1（〃">0）长轴

a2br

a—4c

上的两个顶点，点尸在椭圆上（异于A，B两点），若直线PAP8斜率之积为一「，则椭圆的离心率为（）

3a

【答案】C

,,..1m~n-.a'2n-2

【分析】根据题意可设P点坐标为（，〃，〃）,则h*'即病一.2由A(-a,0),8(a,0),则

——2_=/==-£■=?£,整理解方程即可.

tn+am-am-a~a~3a

【详解】设P点坐标为（皿〃），则口■+/=1,仙2-/=一穹，

不妨设4-a,0),3(°,0),

整理可得3。2+4々?一4a2=0，gp3e2+4e-4=0,

2

e=§或e=-2(舍),

故选：C

考点七已知焦点三角形顶角

24.（2022秋•江苏连云港•高二校考阶段练习）已知「，人是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点尸，使

/6尸舄=90。，则椭圆的离心率的取值范用是

【答案】肉）

【分析】根据椭圆的性质，只需保证产为椭圆上下顶点时2耳尸"之90。即可，应用余弦定理列不等式，结合

椭圆离心率范围求离心率取值范围.

【详解】由椭圆性质知：当P为椭圆上下顶点时最大,

所以椭圆上存在点P使/耳P5=90。,

只需/耳P6最大的情况下，有cos4PK=24；：产=l-2e2<0,

又椭圆离心率Ovevl,故在Sevl.

25.（2022秋・浙江嘉兴•高二校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为「，工，若椭圆上存在一点尸满足

尸马=120,则椭圆离心率的最小值为.

【答案】巫

2

【分析】不妨设椭圆的两个焦点在％轴匕故当点P为椭圆的卜下顶点时N£P人最大

设椭圆的上顶点为A，则4鸟2120,结合tanN0/J6=：之6，。吟二/一分析即得解

ba\Jb~+c~

不妨设椭圆的两个焦点在x轴上，故当点〃为椭圆的上下顶点时最大

设椭圆的上顶点为4,若椭圆上存在一点P满足/耳尸6=120,

则/耳巴鸟之120

R.tanZ.OP^F2=—>tan60=6,故J>sj=

则则椭圆离心率的最小值为电

2

故答案为：巫

2

26.（2022♦高二课时练习）已知椭圆7V=1（4＞匕＞0）的两个焦点分别为耳”,若椭圆上存在点尸使

得-6阴是钝角，则椭圆离心率的取值范围是

AB[A11C01

A.D.a1IC.ve-d

'**HI*JI2,-：?0

【答案】B

【详解】当动点尸从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时.，尸对两个焦点的张角。=26渐渐增大,

当且仅当P点位于短轴端点耳处时，张角。=26达到最大值.•・•椭圆上存在点尸使得。=26是钝角，・•.△

瓦巴耳中，2,解描螂一・・RgOA玛中,

枝邃晶＞青产,所以2工0,・.・,〉省，・・・（）＜C＜1，

,

••—＜e＜1-

,

27.（2022秋•浙江杭州•高二杭师大附中校考期中）设椭圆C：二+以=13＞》＞0）的右焦点为凡椭圆C

ab~

上的两点A,B关于原点对称，且满足E4・&?=0,|FB|＜|M|＜2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是

【答案】

【解析】设左焦点为E,连AE,BE,依题意可得四边形AEFB为矩形，根据椭I员I定义，勾股定理以及已知不等式

列式可解得.

【详解】画出图形

设左焦点为E,连接AE,BE,依据题意可得四边形AEFB为矩形

AE+AF=2a

AE2+AF2=4C2

；AF..BF

2BF

\2a-AF)2+AF2=4c2

<AF..2a-AF

2(2a-AF)

(AF-a)2+a2=2c2

«4

阖A尸-a

3

/.(AF-a)2=2c2-a2e0,^«2

"融c?—a2

9

.J碗2』

29

/V3

28.（2022秋•河北邯郸•高二阶段练习）椭圆3+#=1（0>2»：>0）的左、右焦点分别为万、F：,是椭

圆上一点，且附|=/|尸用（（42,2）,_三次=1，则该椭圆的离心率的取值范围为

C[常】D.卓1)

【答窠】B

【详解】设6(-C,0),羯(c,0),由椭圆的定义可得，归用+|户用=的,

7T

222

可设|PF2|二t,可得|PF卜X,即有(1+1)l=2a①由NF|PF2=5，nJW|PFi|+|PF2|=4c,

22储+]

即为02+1)t=4c,②由②XD2,可得送=7TK，令mH+1,可得bm-L

(4+1)

万+1m2-2m2(\1丫1

即有西广1^+=2琉-5广5，

211O

由;WK2,可得不WmW3,即:;4一〈三，

223加3

则m=2时，取得最小值g；或3时，取得最大值看

即有卜染盘,解得也04五.

2923

考点：椭圆的简单性质

29.(2022秋・天津南开•高二天津二十五中校考期中)设小FZ分别是椭圆余(=13>"0)的左、右焦

点，若在直线彳=《上存在点尸，使线段的中垂线过点尸2,则椭圆的离心率的取值范围是.

c

【详解】分析：设直线x=4•与X轴的交点为。，连接P//由线段PR的中垂线过点K，可得IEERPKI,

C

22

所以|P8|=2c.因为附闫。引，由因为|明吟一°,所以2c叶-c.变形可得3八/，进而可得

/=4」，所以eN立.根据椭圆的离心率—0,1),可得巫4e<i.

a-333

设直线x=《与X轴的交点为。，连接P5，

C

•・•的中垂线过点工，

：.\F{F2[=\PF2\t可得|P上|=2c,

乂・・・|。玛=?一•,且附2罔纱2|，

2

：•2c>---C9即3c2>,

C

・・・/=4/，eN立,结合椭圆的离心率ew(O，D,得且4e<l,

a2333

故离心率的取值范围是冬1.

考点八已知焦点三角形的两个底角

30.(2022秋•山西晋城•高二晋城市第一中学校校考阶段练习)设P为椭圆上一点，且

NP耳6=3(T,/PKE=45。，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于()

A(2+4)(1+石)B(2-&)(]+0)

,2.~

C(2+夜)(6-1)D(2-伪(6-1)

,2•~

【答案】B

【分析】设|尸用二〃?，|尸周二〃，利用正弦定理，求得见〃与。的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案.

【详解】设归耳卜闾尸国=引耳闾=2c,

在△附中，由正弦定理得^n2c

sin30sin105

m+n2c

可得

sin45+sin30sin105

又由|P耳|+|尸周=m+〃=加,所以

sin45+sin30sin105

6a1&

---X---4-—v---

c_sin105_sin(60+45)_2222

asin45+sin30sin45+sin30>/21

--+一

22

遂+戊(2-夜)(1+6)

2(a+1)-2-

故选：B.

31.（2022春•浙江•高二学业考试）设尸为椭圆E+£=l（a＞。＞0）上一点，F,,行为焦点，如果

"h-

居=75°,NP^E=15°,那么椭圆的离心率为（）

A.正B.BC.也D.近

2233

【答案】D

【分析】依题意，△"人为直角三角形，求出归用+|P周的表达式，再结合椭圆的定义，进而可求得。和。

的关系，从而可求椭圆的离心率.

【详解】•：4Pg=7S,/呻=15°,

•••△P月名为直角三角形，N£P6=90°,

.,.|PF|=2csinl50,|P^