精算师重点试题带答案2024

精算师重点试题带答案（精编）2024选择题

1.已知某种保险产品的损失额$X$服从参数为$\lambda=0.01$的指数分布，免赔额为$d=100$，则每次损失的平均赔付额为（）

A.$90e^{-1}$

B.$100e^{-1}$

C.$110e^{-1}$

D.$120e^{-1}$

答案：B。指数分布的概率密度函数为$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，平均赔付额为$\int_{d}^{\infty}(x-d)\lambdae^{-\lambdax}dx$。对于参数$\lambda=0.01$和$d=100$，\(\int_{100}^{\infty}(x-100)\times0.01e^{-0.01x}dx\)，令$t=x-100$，则$x=t+100$，\(dx=dt\)，积分变为\(\int_{0}^{\infty}t\times0.01e^{-0.01(t+100)}dt=e^{-1}\int_{0}^{\infty}t\times0.01e^{-0.01t}dt\)。而对于指数分布的随机变量$Y$服从参数为$\lambda$的指数分布，\(E(Y)=\frac{1}{\lambda}\)，这里\(\int_{0}^{\infty}t\times0.01e^{-0.01t}dt=100\)，所以平均赔付额为$100e^{-1}$。

2.某保险公司有10000份独立的人寿保险单，每份保单在一年内的死亡概率为0.005。用泊松近似计算一年内死亡人数不超过60人的概率为（）

A.$\sum_{k=0}^{60}\frac{e^{-50}50^{k}}{k!}$

B.$\sum_{k=0}^{60}\frac{e^{-50}50^{k}}{(k+1)!}$

C.$\sum_{k=0}^{60}\frac{e^{-100}100^{k}}{k!}$

D.$\sum_{k=0}^{60}\frac{e^{-100}100^{k}}{(k+1)!}$

答案：A。根据泊松近似，当$n$很大，$p$很小时，$np=\lambda$，这里$n=10000$，$p=0.005$，则$\lambda=np=50$。设$X$表示一年内的死亡人数，$X$近似服从参数为$\lambda=50$的泊松分布，其概率质量函数为$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$，所以一年内死亡人数不超过60人的概率为$\sum_{k=0}^{60}\frac{e^{-50}50^{k}}{k!}$。

3.已知风险模型中理赔次数$N$服从参数为$\lambda$的泊松分布，每次理赔额$X_i$独立同分布且$E(X_i)=\mu$，$Var(X_i)=\sigma^{2}$，则该风险模型的总理赔额$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的方差为（）

A.$\lambda\mu$

B.$\lambda\sigma^{2}$

C.$\lambda(\mu^{2}+\sigma^{2})$

D.$\lambda(\mu+\sigma^{2})$

答案：C。根据复合泊松分布的方差公式$Var(S)=\lambdaE(X^2)$，又因为$E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=\sigma^{2}+\mu^{2}$，所以$Var(S)=\lambda(\mu^{2}+\sigma^{2})$。

4.在寿险精算中，已知$l_{x}=1000(1-\frac{x}{100})$，$0\leqx\leq100$，则$_{10}p_{30}$为（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{6}$

D.$\frac{6}{7}$

答案：B。根据生存概率的定义$_{n}p_{x}=\frac{l_{x+n}}{l_{x}}$，已知$l_{x}=1000(1-\frac{x}{100})$，则$l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=700$，$l_{40}=1000(1-\frac{40}{100})=600$，所以$_{10}p_{30}=\frac{l_{40}}{l_{30}}=\frac{600}{750}=\frac{4}{5}$。

5.设利率$i=0.05$，则$v$的值为（）

A.$\frac{1}{1.05}$

B.$1.05$

C.$0.95$

D.$\frac{1}{0.95}$

答案：A。根据贴现因子的定义$v=\frac{1}{1+i}$，已知$i=0.05$，则$v=\frac{1}{1+0.05}=\frac{1}{1.05}$。

6.已知年金在每年年初支付1元，共支付$n$年，利率为$i$，则该期初年金的现值为（）

A.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{d}$

B.$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{i}$

C.$\ddot{s}_{\overline{n}|i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{d}$

D.$s_{\overline{n}|i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$

答案：A。期初年金现值公式为$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{d}$，其中$d=\frac{i}{1+i}$是贴现率；$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{i}$是期末年金现值公式；$\ddot{s}_{\overline{n}|i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{d}$是期初年金终值公式；$s_{\overline{n}|i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$是期末年金终值公式。

7.在一个二项分布的风险模型中，理赔次数$N$服从参数为$n=100$，$p=0.1$的二项分布，每次理赔额为常数$c=2$，则总理赔额$S$的均值为（）

A.10

B.20

C.30

D.40

答案：B。已知$N\simB(n,p)$，$n=100$，$p=0.1$，则$E(N)=np=100\times0.1=10$。又因为每次理赔额$X_i=c=2$，总理赔额$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，所以$E(S)=E(N)\timesc=10\times2=20$。

8.已知某险种的纯保费为200元，费用附加率为20%，则该险种的毛保费为（）

A.220元

B.240元

C.260元

D.280元

答案：B。毛保费=纯保费×(1+费用附加率)，已知纯保费为200元，费用附加率为20%，则毛保费为$200\times(1+0.2)=240$元。

9.设$X$是一个随机变量，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$E(X)$为（）

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{2}{3}$

C.$\frac{3}{4}$

D.$\frac{4}{5}$

答案：B。根据数学期望的定义$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$，对于本题$E(X)=\int_{0}^{1}x\times2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}$。

10.在生存分析中，死亡力函数$\mu_{x}$与生存函数$S(x)$的关系为（）

A.$\mu_{x}=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}$

B.$\mu_{x}=\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}$

C.$\mu_{x}=-S^{\prime}(x)$

D.$\mu_{x}=S^{\prime}(x)$

答案：A。根据死亡力函数的定义$\mu_{x}=-\frac{d}{dx}\lnS(x)=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}$。

11.已知某投资项目的现金流为：第1年末流入100元，第2年末流入200元，第3年末流入300元，利率为$i=0.1$，则该现金流的现值为（）

A.$\frac{100}{1.1}+\frac{200}{1.1^{2}}+\frac{300}{1.1^{3}}$

B.$100\times1.1+200\times1.1^{2}+300\times1.1^{3}$

C.$\frac{100}{1.1^{3}}+\frac{200}{1.1^{2}}+\frac{300}{1.1}$

D.$100+200\times1.1+300\times1.1^{2}$

答案：A。现金流现值是将各期现金流按照利率贴现到当前时刻，第$n$年末的现金流$C_n$的现值为$\frac{C_n}{(1+i)^n}$，所以该现金流的现值为$\frac{100}{1.1}+\frac{200}{1.1^{2}}+\frac{300}{1.1^{3}}$。

12.若风险模型中理赔次数$N$服从几何分布，$P(N=k)=(1-p)p^{k}$，$k=0,1,2,\cdots$，每次理赔额$X_i$独立同分布，$E(X_i)=\mu$，则总理赔额$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的均值为（）

A.$\frac{\mup}{1-p}$

B.$\frac{\mu}{1-p}$

C.$\frac{\mu}{p}$

D.$\mup$

答案：B。已知$N$服从几何分布，$E(N)=\frac{p}{1-p}$，又因为$E(S)=E(N)\timesE(X_i)$，$E(X_i)=\mu$，所以$E(S)=\frac{\mu}{1-p}$。

13.在寿险中，已知$A_{x}=0.3$，则$\overline{A}_{x}$（连续型终身寿险趸缴纯保费）与$A_{x}$的关系是（）

A.$\overline{A}_{x}\gtA_{x}$

B.$\overline{A}_{x}\ltA_{x}$

C.$\overline{A}_{x}=A_{x}$

D.无法确定

答案：A。连续型终身寿险趸缴纯保费$\overline{A}_{x}$与离散型终身寿险趸缴纯保费$A_{x}$相比，由于连续型模型中死亡给付在死亡时刻立即支付，而离散型模型中死亡给付在年末支付，所以$\overline{A}_{x}\gtA_{x}$。

14.设$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(X\leq\mu)$为（）

A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8

答案：A。正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$关于$x=\mu$对称，所以$P(X\leq\mu)=0.5$。

15.已知某险种的损失额$X$服从对数正态分布，即$\lnX\simN(\mu,\sigma^{2})$，若$\mu=2$，$\sigma=1$，则$E(X)$为（）

A.$e^{2+\frac{1}{2}}$

B.$e^{2+1}$

C.$e^{2-\frac{1}{2}}$

D.$e^{2-1}$

答案：A。若$\lnX\simN(\mu,\sigma^{2})$，则$E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}$，已知$\mu=2$，$\sigma=1$，所以$E(X)=e^{2+\frac{1}{2}}$。

判断题

1.精算师在保险产品定价时，只需要考虑纯保费，不需要考虑费用附加。（×）

解释：保险产品定价需要考虑纯保费和费用附加，毛保费=纯保费+费用附加，费用附加用于覆盖保险公司的运营成本等。

2.风险模型中，理赔次数和每次理赔额一定是相互独立的。（×）

解释：在实际风险模型中，理赔次数和每次理赔额不一定相互独立，例如某些情况下，理赔次数较多可能意味着每次理赔额有不同的分布特征。

3.生存函数$S(x)$是单调递增函数。（×）

解释：生存函数$S(x)=P(T\gtx)$表示个体生存到年龄$x$的概率，随着年龄$x$的增加，生存概率是单调递减的，所以$S(x)$是单调递减函数。

4.复利情况下，利率$i$越大，相同本金在相同期限后的终值越大。（√）

解释：复利终值公式为$F=P(1+i)^n$，其中$P$为本金，$i$为利率，$n$为期限，当$P$和$n$固定时，$i$越大，$F$越大。

5.若随机变量$X$服从均匀分布$U(a,b)$，则$E(X)=\frac{a+b}{2}$。（√）

解释：对于均匀分布$U(a,b)$，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{b-a},a\ltx\ltb$，根据数学期望公式$E(X)=\int_{a}^{b}x\times\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}$。

6.在复合泊松分布中，理赔次数服从泊松分布，每次理赔额必须为常数。（×）

解释：在复合泊松分布中，理赔次数服从泊松分布，每次理赔额是独立同分布的随机变量，不一定为常数。

7.寿险中的趸缴纯保费是指在保险合同签订时一次性缴纳的纯保费。（√）

解释：趸缴纯保费就是在保险合同开始时一次性支付的用于补偿保险金给付的纯保费。

8.死亡力$\mu_{x}$可以大于1。（√）

解释：死亡力$\mu_{x}$是一个瞬时死亡率的概念，它可以大于1，其取值没有上限限制。

9.若$X$和$Y$是两个独立的随机变量，则$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$。（√）

解释：根据方差的性质，对于两个独立的随机变量$X$和$Y$，有$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$。

10.期末年金是指在每个支付期期末进行支付的年金。（√）

解释：这是期末年金的定义，与之相对的是期初年金，在每个支付期期初支付。

简答题

1.简述精算师在保险公司风险管理中的主要作用。

答：精算师在保险公司风险管理中起着至关重要的作用，主要体现在以下几个方面：

-风险评估：精算师运用专业的统计和数学方法，对保险业务中的各种风险进行量化评估。例如，通过分析历史数据，评估保险标的的损失概率和损失程度，为保险产品定价提供依据。

-产品定价：根据风险评估结果，精算师确定合理的保险费率。既要保证费率能够覆盖预期的损失和费用，又要具有市场竞争力，以吸引客户。

-准备金计算：准确计算各种准备金，如未到期责任准备金、未决赔款准备金等。准备金是保险公司应对未来赔付的资金储备，精算师需要考虑多种因素，确保准备金充足，以保障公司的财务稳定性。

-资产负债管理：协调保险公司的资产和负债，使资产的期限、收益等特征与负债相匹配。通过合理的资产配置，降低利率风险、市场风险等对公司财务状况的影响。

-风险管理策略制定：根据公司的风险承受能力和经营目标，制定风险管理策略。例如，决定是否进行再保险安排，以及再保险的方式和规模，以分散风险。

-风险预警：持续监测保险业务的风险状况，当风险指标超出预定范围时，及时发出预警信号，以便公司管理层采取相应的措施。

2.说明生存函数$S(x)$、死亡力$\mu_{x}$和概率密度函数$f(x)$之间的关系。

答：生存函数$S(x)$、死亡力$\mu_{x}$和概率密度函数$f(x)$是生存分析中的重要概念，它们之间存在着紧密的关系：

-生存函数$S(x)=P(T\gtx)$，表示个体生存到年龄$x$的概率。

-概率密度函数$f(x)$是生存时间$T$的概率密度，$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$，其中$F(x)=P(T\leqx)=1-S(x)$。

-死亡力$\mu_{x}=-\frac{d}{dx}\lnS(x)=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}$，它反映了在年龄$x$时的瞬时死亡率。

-由$\mu_{x}=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}$可得$S^{\prime}(x)=-S(x)\mu_{x}$，通过积分可以从死亡力得到生存函数：$S(x)=S(0)e^{-\int_{0}^{x}\mu_{t}dt}$，通常$S(0)=1$。

-概率密度函数$f(x)$与死亡力$\mu_{x}$的关系为$f(x)=\mu_{x}S(x)$。

3.简述复合泊松分布的特点。

答：复合泊松分布是精算学中常用的一种概率分布，用于描述总理赔额等随机变量，具有以下特点：

-理赔次数的分布：理赔次数$N$服从泊松分布，即$P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$，其中$\lambda$是泊松分布的参数，表示单位时间内理赔次数的期望。

-理赔额的独立性：每次理赔额$X_i$是独立同分布的随机变量，且与理赔次数$N$相互独立。

-可加性：如果有多个相互独立的复合泊松分布，它们的和仍然是复合泊松分布。设$S_1=\sum_{i=1}^{N_1}X_{1i}$和$S_2=\sum_{i=1}^{N_2}X_{2i}$是两个独立的复合泊松分布，其中$N_1$和$N_2$分别服从参数为$\lambda_1$和$\lambda_2$的泊松分布，那么$S=S_1+S_2$服从参数为$\lambda_1+\lambda_2$的复合泊松分布。

-矩的计算：复合泊松分布的均值$E(S)=\lambdaE(X)$，方差$Var(S)=\lambdaE(X^2)$，其中$E(X)$和$E(X^2)$分别是每次理赔额的一阶矩和二阶矩。

-近似性：当理赔次数较多且每次理赔额较小时，复合泊松分布可以用正态分布近似，这为实际计算提供了便利。

4.解释保险产品定价中的纯保费和毛保费的概念，并说明它们之间的关系。

答：

-纯保费：纯保费是指仅用于支付保险事故发生时的保险金给付的保费部分。它是根据保险标的的风险状况，通过精算方法计算得出的。例如，在人寿保险中，纯保费是基于被保险人的死亡概率、生存概率等因素计算出来的，以确保在长期内保险公司收取的纯保费能够足够支付死亡保险金等赔付。纯保费的计算主要考虑了保险事故发生的概率和损失程度。

-毛保费：毛保费是保险公司实际向投保人收取的保费。它不仅包括纯保费，还包括了费用附加部分。费用附加用于覆盖保险公司的各种运营成本，如销售费用、管理费用、理赔费用、利润等。

-两者关系：毛保费=纯保费+费用附加。费用附加通常以一定的比例或固定金额的形式加到纯保费上，这个比例称为费用附加率。例如，如果纯保费为$P$，费用附加率为$r$，则毛保费$G=P(1+r)$。

5.说明利率对寿险产品定价的影响。

答：利率对寿险产品定价有着重要的影响，主要体现在以下几个方面：

-纯保费计算：在寿险精算中，纯保费的计算涉及到对未来保险金给付的贴现。利率越高，未来保险金给付的现值越低，从而纯保费也会降低。例如，对于终身寿险的趸缴纯保费$A_{x}=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}_{k|}q_{x}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$是贴现因子，$i$为利率。当$i$增大时，$v$减小，$A_{x}$也会减小。

-准备金计算：寿险准备金是保险公司为了履行未来保险责任而提取的资金。利率的变化会影响准备金的计算。较高的利率会使未来负债的现值降低，从而减少准备金的提取；反之，较低的利率会增加准备金的需求。

-产品类型选择：不同的寿险产品对利率的敏感性不同。例如，传统的固定利率寿险产品，其预定利率在产品设计时就已确定，利率波动会影响产品的吸引力。当市场利率上升时，固定利率寿险产品的收益率相对较低，可能会导致销售困难；而投资连结保险等新型寿险产品，其收益与市场投资收益率挂钩，对利率的变化更为敏感。

-利润情况：利率的波动会影响保险公司的投资收益和负债成本。如果实际利率高于预定利率，保险公司的投资收益增加，可能会获得额外的利润；但如果实际利率低于预定利率，保险公司的负债成本相对增加，可能会面临利润下降甚至亏损的风险。

计算题

1.已知某风险模型中理赔次数$N$服从参数为$\lambda=5$的泊松分布，每次理赔额$X_i$独立同分布，且$X_i$的概率分布为$P(X_i=1)=0.6$，$P(X_i=2)=0.3$，$P(X_i=3)=0.1$。求总理赔额$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的均值和方差。

解：

首先求每次理赔额$X_i$的均值和二阶矩：

$E(X_i)=1\times0.6+2\times0.3+3\times0.1=0.6+0.6+0.3=1.5$

$E(X_i^2)=1^{2}\times0.6+2^{2}\times0.3+3^{2}\times0.1=0.6+1.2+0.9=2.7$

对于复合泊松分布，总理赔额$S$的均值$E(S)=\lambdaE(X)$，已知$\lambda=5$，$E(X_i)=1.5$，所以$E(S)=5\times1.5=7.5$。

总理赔额$S$的方差$Var(S)=\lambdaE(X^2)$，已知$\lambda=5$，$E(X_i^2)=2.7$，所以$Var(S)=5\times2.7=13.5$。

2.在寿险中，已知生存函数$S(x)=1-\frac{x}{100}$，$0\leqx\leq100$。求：

(1)$_{20}p_{30}$；

(2)$_{10|5}q_{30}$。

解：

(1)根据生存概率的定义$_{n}p_{x}=\frac{S(x+n)}{S(x)}$，已知$S(x)=1-\frac{x}{100}$，则$S(30)=1-\frac{30}{100}=0.7$，$S(50)=1-\frac{50}{100}=0.5$。

所以$_{20}p_{30}=\frac{S(50)}{S(30)}=\frac{0.5}{0.7}=\frac{5}{7}$。

(2)根据条件概率公式$_{m|n}q_{x}=_{m}p_{x}-_{m+n}p_{x}$。

先求$_{10}p_{30}=\frac{S(40)}{S(30)}$，$S(40)=1-\frac{40}{100}=0.6$，所以$_{10}p_{30}=\frac{0.6}{0.7}=\frac{6}{7}$。

再求$_{15}p_{30}=\frac{S(45)}{S(30)}$，$S(45)=1-\frac{45}{100}=0.5