2025年春九年级数学中考复习 相似三角形综合解答题 考前冲刺专题训练

2025年春九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》考前冲刺专题训练（附答案）1．如图，四边形ABCD为边长为2的正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于点F，交AC于点H，交CD于点G．(1)求证：DG⋅AB=DF⋅BG；(2)若G是CD的中点，求GFCE(3)连接CF，求∠CFB的度数．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t(1)AP=，AQ=（用含t的代数式表示）(2)当t为何值时，△APQ∽(3)在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得PC=PQ，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．3．如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H．①求证：AH⋅CH=DH⋅GH；②若AG=2,FG=6，求GH的长．4．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

图1

图2(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=35°,∠B=75°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)如图2，在△ABC中，AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是等腰三角形，AD=AC，求(3)在△ABC中，∠A=40∘，若CD是△ABC的完美分割线，且5．如图，在矩形ABCD中，AD=3，DC=10，点E是边AB上一点，EB=9，连接DE，EC．点M和点P分别是边BC和线段BE上的动点，连接PM．(1)求证：△DAE∽△EBC；(2)如图1，若PM=PB+CM，S△PBM=15(3)如图2，将△DAE绕点D逆时针旋转，使点E的对应点E′在边DC上，点A的对应点A′在线段DP上，DP交EC于点N，若PM=CM，求证：6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC上一点，以OA为半径的⊙O与边AB相交于点D(1)如图1，当⊙O过点C时，取BC边中点E，连接DE，求证：DE是⊙O的切线；(2)如图2，若ADDB=45，7．如图1，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，点D从A点出发向终点B运动，过点D作DG⊥AB交折线AC−CB于点G，设AD=x．(1)BD=______；（用含x的代数式表示）(2)连接BG，设△BDG的面积为y，求y与x的函数表达式，并指出当x取何值时，y有最大值；(3)如图2，当点G在边AC上时，作点G关于点C的对称点M，取AD的中点N，当GN∥DM时，求AD的长．8．（1）如图1，AC为四边形ABCD的对角线，∠BAC=120°，∠ACD=30°，E，F，G分别为AD,BC,AC的中点，连接EF,FG,EG．判断△EFG的形状，并说明理由；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=3，CD=32，点E，F分别在AD,BC上，且AE=12AD，（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=43，CD=46，∠A+∠D=225°，点E，F分别在AD,BC上，且AE=14AD9．综合与实践某数学兴趣小组在探索正方形的中心与等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：如图，O是正方形ABCD的中心，等腰直角三角形OEF的直角顶点E在CB的延长线上，OE与AB交于点G．规律探究（1）如图1，若BE=12BC（2如图2，若∠OEC=30°，求BGOF拓展延伸（3）如图3，设正方形ABCD的面积为S1，以O，E，F，C为顶点的四边形面积为S2，若S2

10．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC=∠BCP．(1)求证：∠BAC=2∠ACD；(2)过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC=6，AE=2时，求⊙O的半径．11．如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AD，DC边上的点，且BE⊥AF交AF于点G．(1)如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：AE=DF；(2)如图②，若四边形ABCD是矩形，BM平分∠ABC分别交AD，AF于点M,H，当点E为AM的三等分点，且AB=9,BC=12时，求HM的长．12．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．易得线段DG=BE（数量关系），DG⊥BE（位置关系）．(1)[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是；位置关系是；(2)[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB，AG=2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．13．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点(1)求证：△DOE∽△ABC；(2)求证：∠ODF=∠BDE；(3)连接OC，若OC=2，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若S1S214．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，连接BE，以BE为直径作⊙O，与对角线AC的另一交点为F，连接BF，EF．(1)判断△BEF的形状，并加以证明：(2)若正方形的边长为6，BE与AC的交点为M，将△EFM沿EF翻折，M的对称点是M′①当M′刚好落在AD上时，求CE②直线EM'与AD的交点为G，则DG的最大值为______．15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点F是BD上一动点（不与点D重合），FD的延长线交AC于点E，连接AF交BD于点G．已知AD=6，BD=8．(1)∠ADC=_____．(2)当EF∥AB时，求(3)设AE=x，DG=y，①求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的范围；②设△AGC的面积为S1，△AEF的面积为S2，求16．在△ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，过点D作DM∥EF交AC于点M．(1)如图1，若EF=2，求AB的长；(2)点G在BE上，且∠BDG=∠C．①如图2，求证：△DEG∽△ECF；②如图3，从线段CE上取一点H，连接FH，使∠CFH=∠B．若BG=1，求EH的长．17．如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一点，连接AD，AG，DG．(1)求证：∠AGD=∠ADC；(2)如图2，延长AG,DC相交于点F，连接CG．①已知AD=25，GF=4，求AG②记DG与AB的交点为P，若AB=10,CD=8，当AG=AP时，求FGDG18．如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上任意一点，以CP为斜边在CP的左侧构造等腰直角△PCE．求证：点E在线段BC的垂直平分线上．小亮的思路是：如图1，连接AC交BD于点O，再通过构造相似三角形来解决这个问题．小颗的思路是：如图2，过点E作BC的垂线MN，N为垂足，MN交BD于点O，再通过构造全等三角形来解决这个问题：请回答下列问题：(1)①如图1，∠ACE与∠PCD的数量关系是_________；②如图2，与∠PEM相等的角是________；(2)请你选择其中一种思路，写出完整的证明过程；(3)连接AE，将线段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若正方形的边长为4，BP的长为32，请直接写出四边形AEFD19．如图三角形ABC中，点D在线段BC上，点E在线段AB上，连接AD、CE交于点F．(1)如图1，AD⊥BC，∠DAC=30°，CE平分∠ACB．若AC=EC=6．求BE的长．(2)如图2，△ACD是等边三角形．延长CE至点H，连接AH，连接DH交AB于点G．若∠AGH=∠HCD，AE=AF．猜想FC、HE、HD之间的数量关系并证明．(3)如图3，AD⊥BC，CE⊥AB，且∠ABC=45°，CD=3，AEBE=25．点P、Q是平面内直线BC上方的动点且总有∠BPC=12∠BEC，BQ=DF20．综合与实践：【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，求证四边形ABCD为正方形．【实践探究】（2）小兰受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小陵深入研究小兰提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∴∠BCD=∠GFD，又∵∠BGC=∠DGF，∴△BGC∽△DGF∴BGDG∴DG⋅BC=BG⋅DF，∵AB=BC，∴DG⋅AB=DF⋅BG．（2）∵∠BCG=∠DFG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠FDG，∵∠BCD=∠DCE，BC=DC，∴△BCG≌△DCEASA∴CG=CE，∵CD=2，G是CD的中点，∴CE=1，∴DE=5∵∠FDG=∠CDE，∠DFG=∠DCE=90°，∴△DFG∽△DCE，∴GFCE（3）连接BD，如图所示，由（1）知△BGC∽△DGF，∴BGDG则BG∵∠BGD=∠CGF∴△BGD∽△CGF∴∠BDG=∠CFG=45°∴∠CFB=45°2．（1）解：依题意得：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，∴AB=A∴AP=5−t，AQ=t，故答案为：5−t；t．（2）∵∠A=∠A，∴当APAB=AQ即5－∴t=20（3）过点P作PD⊥AC于D，如图：

∴AP=5−t，AQ=t，则CQ=4−t，∵PC=PQ，∴CD=DQ=4−t∵PD⊥AC，BC⊥AC，∴△ABC∽∴APAB=解得：t=203．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,CD∥AB，∴∠D=∠FAD,∠DCE=∠F，∵E是AD的中点，∴DE=AE，∴△CDE≌△FAEAAS∴CE=EF，∵AE∥BC,∴∴AF=AB；（2）①证明：∵AG=2,FG=6,∴AF=FG+AG=6+2=8,∴AB=AF=8∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8，∵∠DCE=∠F,∠FCG=∠FCD,∴∠F=∠FCG,∴CG=FG=6，∵CD∥AF,∴△DCH∽△AGH,∴AH∴AH⋅CH=DH⋅GH；②解：由①得△DCH∽△AGH，∴CDAG=∴GH=1.2．4．（1）解：在△ABC中，∠A=35°,∠B=75°，则∠ACB=180°−35°−75°=70°．∵CD为角平分线，∴∠ACD=∠BCD=∴∠A=∠ACD,∴△ACD是等腰三角形．∵∠BCD=∠A,∠B=∠B,∴△BCD∽△BAC,∴CD为△ABC的完美分割线；（2）由题意，得△BCD∽△BAC，则BDBC即BD2∴BD⋅BD+2∴BD=3∴3解得CD=6（3）如图1，当AD=CD时，∠A=∠ACD=40°,∴∠BDC=80°．∵△BCD∽△BAC,∴∠BDC=∠ACB=80°；

图1如图2，当AD=AC时，∠ACD=∠ADC.∵∠A=40°,∴∠ACD=1∵△BCD∽△BAC,∴∠BCD=∠A=40°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=110°；当AC=CD时，这种情况不存在．综上，∠ACB的度数为80°或110°．

图25．（1）证明：如图，在矩形ABCD中，AD=3，DC=10，EB=9，∴BC=3，AE=1，∴AD∵∠A=∠B=90°，∴△DAE∽△EBC．（2）解：如图，设CM=x，BP=y，则PM=x+y，则BM=3−x，EP=9−y，∵在Rt△PBM中，x+y∴xy=9∵S△PBM∴12∴3y−xy=15，∴3y−9∴3x+3y=39∴x+y=13∴EP+BM=9−y+3−x=12−x−y=12−13（3）证明：∵∠ADE=∠A′D∴∠ADE=∠APD，∵△DAE∽△EBC∴，∠ADE=∠BEC，∴∠BEC=∠APD，∵∠DAP=∠CBE=90°，AD=BC，∴△DAP≌△CBEAAS则AP=BE=9，∴PB=AE=1，∵PM=CM，∴PM∴PM=5∴BM=4∴CM∵DC∥∴△DCN∽△PEN，∴CNEN∴CM∴CN又∵∠NCM=∠ECB，∴△CNM∽△CEB，∴∠CNM=∠CEB，∴NM∥AB．6．（1）证明：如图，连接OD，CD，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵点E是BC中点，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD，∴∠ODE=∠OCE=90°，∵OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，延长BC交⊙O于点H，连接AH，DG，∵∠ACB=90°，∴AC⊥HG，∴CH=CG，∴AH=AG，∴∠AGC=∠AHC，∵∠AHC+∠ADG=180°，∠BDG+∠ADG=180°，∴∠BDG=∠AHC，∴∠BDG=∠AGC，∴∠ADG=∠AGB，∵∠DAG=∠GAB，∴△ADG∽△AGB，则ADAG∴AG由ADDB=4设AD=4x，BD=5x，AC=42∴AB=9x，则AG=AD⋅ABBC=ACG=A∴BG=7x−2x=5x，∴AG7．（1）解：∵AB=8，AD=x，∴BD=AB−AD=8−x，故答案为：8−x（2）解：如图，作CH⊥AB，垂足分别为H，∵AC=BC=5，AB=8，∴AH=BH=4，在Rt△ACH中，CH=①当点G在AC上时，即0≤x≤4时，∵GD⊥AB，∴GD∥CH，∴△AGD∽△ACH，∴GDCH=∴GD=3∴y=8−x⋅34x⋅∵−3∴当0≤x≤4时，y随x的增大而增大，即当x=4时，y有最大值是6，②当点G在BC上时，即4<x≤8时，如图作GD⊥AB，垂足分别为D，∴GD∥CH，∴△BGD∽△BCH，∴GDCH=∴GD=3∴y=8−x∵3∴当4<x≤8时，y随x的增大而减小，综上所述当x=4时，y有最大值是6；（3）解：如图，作CH⊥AB，垂足分别为H，由（2）可知△AGD∽△ACH，∴AG∴∴AG=5∴CG=5−5∵点G于点M关于点C的对称，∴CG=CM=5−5∴GM=10−5∵点N是AD的中点，且GN∥DM，∴AN∴AG=GM，∴5∴x=8即AD的长为838．解：（1）△EFG是直角三角形；理由如下：∵点E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，∴GF、GE分别为△ABC、△ACD的中位线，∴FG∥AB，EG∥∴∠BAC=∠FGC，∠AGE=∠ACD，∵∠BAC=120°，∠ACD=30°，∴∠FGC=120°，∠AGE=30°，∴∠AGF=180°−∠FGC=180°−120°=60°，∠AGE=30°，∴∠FGE=∠AGF+∠AGE=60°+30°=90°，∴△EFG是直角三角形；（2）如图，连接AC，在AC上截取AL=13AC，连接EL,FL∵AB=3,CD=32，AE=13AD∴FC=2∴LC∵∠LCF=∠ACB，∴△LCF∽△ACB，∴LF∴LF=2∵ALAC=∴△ALE∽△ACD，∴LE∴LE=1∵LF−LE<EF≤LF+LE，∴2−2∴EF的取值范围是2−2（3）如图，连接AC，在AC上截取AK=14AC，连接KE,KF，作EH⊥FK交FK∵AB=43，CD=46，AE=14∴KC=34AC∵KCAC=∴△KCF∽△ACB，∴KFAB=∴KF=3∵AKAC=∴△AKE∽△ACD，∴KECD=∴KE=1∵∠BAD+∠D=225°，∴∠B+∠BCD=360°−∠A+∠D∵∠AKF=∠KFC+∠ACB=∠B+∠ACB，∴∠EKF=∠AKF+∠AKE=∠B+∠ACB+∠ACD=∠B+∠BCD=135°，∴∠HKE=180°−∠EKF=180°−135°=45°，∵∠H=90°，∴∠HEK=∠HKE=45°，∴HE=HK，∴KE=H∴HE=HK=3∴HF=HK+KF=3∴EF=H∴EF的值是51．9．解：（1）如图所示，过点O作OH⊥BC于点H∵O是正方形ABCD的中心∴BH=CH=∵BE=∴BE=BH∴BE∵四边形ABCD是正方形∴∠ABE=∠ABC=90°=∠OHE∵∠GEB=∠OEH∴△GEB∽△OEH∴BE设GB=a，则OH=BH=BE=2a∴EH=BE+BH=4a∵OH⊥BC∴EF=OE=∴BGEF（2）如图所示，过点O作OM⊥BC于点M∵O是正方形ABCD的中心∴设BM=CM=∵∠OEC=30°∴OE=2OM=2b∴EM=∴EB=EM−BM=同（1）可证△GEB∽△OEM∴BE∴3∴GB=∵△OEF是等腰直角三角形，∠OEF=90°∴OE=EF=2b∴OF=∴BGOF（3）如图所示，连接OC，FC，过点O作OM⊥EC，FN⊥EC分别交BC于点M，N∵O是正方形ABCD的中心∴设BM=CM=∴BC=BM+CM=2x∴S设EB=y∴EM=EB+BM=y+x，EC=EB+BC=y+2x∵∠OEF=∠OME=90°∴∠OEM+∠FEN=∠OEM+∠EOM∴∠FEN=∠EOM又∵∠OME=∠ENF=90°，OE=FE∴△OEM≌△EFN∴OM=EN=x，FN=EM=y+x∴S====∵S∴1整理得，y∴y−2x解得y=2x或y=−6x（舍去）∴BE=2x∴BEBC10．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵PA是⊙O的切线，∴∠CAP=90°，∴∠APC+∠ACD=90°，设∠APC=∠BCP=α，则∠ACD=90°−α，∴∠ACB=∠BCP−∠ACP=α−90°−α∴∠BAC=90°−∠ACB=90°−2α−90°∴∠BAC=2∠ACD．（2）解：如图，延长DO交BC于点F，由（1）得，∠BAC=2∠ACD，又∵∠AOD=2∠ACD，∴∠BAC=∠AOD，∴AB∥∴∠DFC=∠ABC=90°，∴OF⊥BC，∴CF=1∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，即∠FDC=∠ECD，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，在△CFD和△DEC中，∠CFD=∠DEC∠FDC=∠ECD∴△CFD≌△DECAAS∴DE=CF=3，∴AD=A∵∠AED=∠ADC=90°，∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC，∴AD∴AC=A∴OA=1∴⊙O的半径为13411．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA,∠BAE=∠ADF=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵BE⊥AF，∴∠AEB+∠DAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF；（2）解：如解图，过点H作HI⊥AD于点I，∵四边形ABCD是矩形，BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM=∠AMB=45°，∠BAE=∠AIH=90°，∴MI=HI,AM=AB=9，∠AEB+∠ABE=90°，∵BE⊥AF，∴∠AEB+∠IAH=90°，∴∠ABE=∠IAH，∴△ABE∽△IAH，∴AB设MI=HI=a，则AI=9−a,HM=2∵点E为AM的三等分点，∴分以下两种情况：①当AE=13AM时，AE=3解得a=9∴HM=9②当AE=23AM时，AE=6解得a=18∴HM=18综上所述，HM的长为924或12．（1）解：如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠BAE=∠DAG∴△ABE≌△ADGSAS∴BE=DG，∠ABE=∠ADG，∵∠AQB+∠ABE=90°，∴∠AQB+∠ADG=90°，∵∠AQB=∠DQH，∴∠DQH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE=DG，BE⊥DG；（2）解：DG=2BE，DG⊥BE，理由如下：如图，延长BE交AD于K，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD=∠EAG，∴∠BAD−∠EAD=∠EAG−∠EAD，即∠BAE=∠DAG，∵AD=2AB，AG=2AE，∴AB∴△ABE∽△ADG，∴BEDG=∴DG=2BE，∵∠AKB+∠ABE=90°，∴∠AKB+∠ADG=90°，∵∠AKB=∠DKH，∴∠DKH+∠ADG=90°，∴∠DHE=90°，∴DG⊥BE．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，∵OD∥∴∠DOE=∠ABC，又∵∠DEO=∠ACB=90°，∴△DOE∽△ABC．（2）证明：由（1）得，△DOE∽△ABC，∴∠ODE=∠BAC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC，∴∠ODE−∠CDE=∠BDC−∠CDE，∴∠ODF=∠BDE．（3）解：如图，∵OC=2，∴OD=OB=OC=2，AB=2OC=4，∵S∴S∵△DOE∽△ABC，∴S△DOES∴S△ABC=4又∵OB=1∴S∵S∴S∴S∴OB∴OE=n∴BC=2OE=4n14．（1）解：△BEF是等腰直角三角形，证明如下：∵BE是⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠BFE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠BEF=∠ACB=45°，∴△BEF是等腰直角三角形；（2）解：①由折叠的性质可得∠M′EF=∠MEF=45°∴∠M∴∠M∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠BCD=90°，如图所示，过点M作MH⊥CD于H，则∠D=∠MHE=90°，∴∠MEH+∠EMH=90°，∴∠DEM∴△DEM∴DE=MH，∵MH⊥CH，∴△MCH是等腰直角三角形，∴MH=CH=DE，设MH=CH=DE=x，则DM同理可证明∠DEM∵∠D=∠BCD=90°，∴△DEM∴CEDM′解得x2解得x=9−35或x=9+3经检验，x=9−35∴CE=6−x=35②设CE=m，则DE=6−m，同理可证明△DEG∽△CBE，∴DGCE=DE∴DG=−∴当m−3=0，即m=3时，DG有最大值，最大值为3215．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，故答案为：90°；（2）解：方法一：∵AB=AC，∠ADC=90°，∴CD=BD=8，∠B=∠C，∴AC=A∵AB∥EF，D是∴E是AC中点，∴AE=EC=5，∵AD∵∠B=∠F，∴∠C=∠F，又∠GAC=∠EAF，∴△GAC∽∴AG∴AG⋅AF=AC⋅AE=10×5=50；方法二：∵AB∥∴∠B=∠BDF，∴AD∴AD即BD=∴AF=BD=8，∵AB∥∴∠BAF=∠F，∵AB=AC，∠ADC=90°，∴CD=BD=8，∠B=∠C，∴AC=ABC=2BD=16，∵∠B=∠F，∴∠BAF=∠C，∵∠B=∠B，∴△GBA∽△ABC，∴AG∴AG∴AG=25∴AG⋅AF=8×25（3）解：①在Rt△ADGAG==36+∵∠B=∠F，∠BGA=∠FDG，∴△AGB∽∴AGDG∴GF=8−y∴AF=AG+GF==8y+36由（2）知AG⋅AF=AC⋅AE∴36+y整理得：y=5∵y>0，∴54解得：x>18∵AE≤AC，∴x≤10∴自变量x的范围是185故y=5方法二：如图，过D作DH⊥AC于H，在Rt△ADC12∴12解得：DH=24∴AH=解得：DH=18∴HE=x−18∵∠AGD=∠F+∠FDG，∠DEH=∠C+∠CDE，又∵∠B=∠C，∠FDG=∠CDE，∴∠AGD=∠AED，∵∠ADG=∠DHE=90°，∴△ADG∽∴DGHE∴解得：y=5取值范围求法见方法一，故y=5②∵△AGC∽∴S====25令1x∴S1∴当t=110时，16．（1）证明：如图1：∵D,E分别为AB,BC的中点，∴DE∥AC，∵DM∥∴∠AFE=∠AMD，DEFM是平行四边形，∴DM=EF=2，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴AD=DM=2，∴AB=2AD=2×2=4．（2）①证明：如图2：∵D,E分别为AB,BC的中点，∴DE∥∴∠BDE=∠A，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽②解：如图3：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∴△BDG∽∴BDBE=BG∵∠AFE=∠A，∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−∠AFE−∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽∴EHEF∴EF∵DE∥∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG⋅BE=EH⋅EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．17．（1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴AD∴∠AGD=∠ADC．（2）解：①∵∠AGD=∠ADC，∠DAG=∠FAD，∴△DAG∽△FAD，∴AG即AG2解得：AG=−2+26②连接OD,BD,BC，∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴DE=CE=1∵OA=OB=OD=5，∴OE=5∴BE=OB−OE=2，∴BC=B∵AP=AG，∴∠AGP=∠APG=∠DBA=∠DPB，∴DP=DB，又∵AB⊥CD，∴PE=BE=2，DC平分∠BDP，∴AG=AP=AB−PE−BE=10−2−2=6，CG=∴CG=BC=25∵四边形ADCG是圆的内接四边形，∴∠AGC+∠ADC=180°，∠DCG+∠DAG=180°，∵∠AGC+∠CGF=180°，∠DCG+∠GCF=180°，∴∠CGF=∠ADC，∠GCF=∠DAG，由（1）可知∠AGD=∠ADC，∴∠CGF=∠AGD，∴△CGF∽△AGD，∴FG18．（1）解①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∵△PCE是以CP为斜边得到等腰直角三角形，∴∠PCE=45°，∴∠ACD−∠ACP=∠PCE−∠ACP=45°−∠ACP，∴∠ACE=∠PCD；②∵MN⊥BC，∴∠ENC=90°，∴∠ECN+∠CEN=90°∵△PCE是以CP为斜边得到等腰直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠PEM+∠CEN=90°，∴∠PEM=∠ECN，故答案为：∠ECN；（2）解：选择小亮的思路，证明如下：如图所示，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴OD=OC=OB，∠DOC=∠BOC=90°，∴CD=O∵△PCE是以CP为斜边得到等腰直角三角形，∴∠PEC=90°，∴PC=P∴CDOC又∵∠OCE=∠DCP，∴△OCE∽△DCP，∴∠COE=∠CDP=45°，∴∠BOE=∠BOC−∠COE=45°=∠COE，∴OE是∠BOC的角平分线，又∵OB=OC，∴OE垂直平分BC，∴点E在线段BC的垂直平分线上；选择小颖的思路，证明如下：如图所示，过点P作PH⊥OM于H，∵MN⊥BC，∴∠PHE=∠CNE=90°，∵∵△PCE是以CP为斜边得到等腰直角三角形，∴PE=CE，又∵∠PEM=∠ECN，∴△PEH≌△ECNAAS∴PH=EN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=∠ADB=45°，∴∠MOD=90°−∠ODM=45°，∴∠HPO=90°−45°=45°=∠HOP，∴OH=PH=EN，∴OH+OE=EN+OE，∴HE=CN=ON；∵∠NOB=90°−∠NBO=45°=∠NBO，∴BN=ON=CN，又∵MN⊥BC，∴MN垂直平分BC，∴点E在线段BC的垂直平分线上；（3）解；如图所示，连接AC交BD于O，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠AOB=∠AOD=90°，∴AD=O由旋转的性质可得EA=EF，∴∠EAF=45°，∴∠OAE=∠DAF=45°−∠OAF，∴△OAE∽△DAF，∴∠ADF=∠AOE，DFOE由（2）的结论可知∠BOE=45°，∴∠ADF=∠AOE=90°+45°=135°，∴∠CDF=∠ADF−∠ADC=45°；在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=∴DP=BD−BP=2由（2）可知△OCE∽△DCP，∴OEDP∴OE=2∴DF=2如图所示，过点F作FH⊥AD交AD延长线与H，则∠FDH=45°，∴∠HFD=90°−45°=45°=∠HDF，∴DH=FH=2∴AH=AD+DH=5，∴AF=A∴AE=EF=2∴S四边形19．（1）解：如图，过点E作EI⊥BC于点I，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠DAC=30°,∴∠ACD=60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE=30°，∵AC=EC=6，∴∠AEC=∠EAC=12180°−∠ACE∴∠B=∠AEC−∠ECB=75°−30°=45°，∴∠BEI=90°−∠B=45°，∴BI=BE=3，∴BE=2（2）解：猜想：FC=HD+HE，证明如下：在FC上取点K，使得HK=HA，连接AK，在HR上截取HR=HD，∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠DAC=∠ADC=60°，AD=AC=DC，设∠ACF=α，则∠AGH=∠HCD=60°−α，∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF=∠DAC+∠ACD=60°+α，∴∠AEH=180°−∠AEF=120°−α，∴∠GHE=∠AEH−∠AGH=120°−α−60°−α∴△HDR是等边三角形，∴HD=DR，∠HDR=∠HRD=60°，∴∠HDR=∠ADC=60°，∴∠HDA=∠RDC，∴△DHA≌△DRCSAS∴∠DHA=∠DRC=