新疆喀什市2024-2025学年高三下学期4月三校联考数学试卷 （原卷版+解析版）

喀什市2024-2025学年第二学期高三4月模拟测试数学时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，R，则（）A. B. C. D.03.在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（）A. B.1 C.2 D.34.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.已知则（）A. B. C. D.6.若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则样本数据的平均数与方差分别为（）A.3，4 B.2，4 C.3， D.2，7已知，，且，则（）A.3 B.2 C. D.8.直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（）A B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（）A.抛物线C的准线方程为 B.F的坐标为C.若，则 D.10已知函数，则（）A. B.C. D.11.已知数列满足：，，则（）A.若，则 B.若，则C.若，为等比数列 D.若，第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，的夹角为，则______.13.五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到的概率为_____；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为_____.14.若将半径为1，6，9的三个球放入一个正方体的容器中，则该容器的棱长的最小值为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为等比数列，是，等差中项．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．16.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．17.如图，P为圆台的上底面的圆心，为圆台下底面的圆心，为下底面直径.是下底面圆的内接正三角形，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．18.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点.（1）若离心率时，求的渐近线方程；（2）若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若.①求的最小值；②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

喀什市2024-2025学年第二学期高三4月模拟测试数学时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集运算求解.【详解】，，.故选：C.2.已知，R，则（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数模的计算公式求解.【详解】由，即，，解得.故选：B.3.在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解.【详解】如图，，，，.故选：C.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程.【详解】由题可得，则，所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，即.故选：A.5.已知则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数的商数关系，结合两角和与差的正弦公式求解.【详解】由，得，又，得，即，可得，，.故选：B.6.若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则样本数据的平均数与方差分别为（）A.3，4 B.2，4 C.3， D.2，【答案】D【解析】【分析】根据平均数，方差公式化简计算可得.【详解】样本数据的平均数，因为，所以样本数据的方差.故选：D.7.已知，，且，则（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】将条件式两边取对数，比较可得，求出答案.【详解】由，可得，又，，解得.故选：A.8.直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合，求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】设椭圆的半焦距为，则，所以直线的方程为，即，所以直线的斜率为，过作的垂线，则为的中点，，，则，又，所以是的中点，所以直线的斜率，，则，.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（）A.抛物线C的准线方程为 B.F的坐标为C.若，则 D.【答案】BC【解析】【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断.【详解】对于A，B，由抛物线方程，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确；对于C，将代入，得，则，故C正确；对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，由，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，由选项C知，且，，故D正确.故选：BCD11.已知数列满足：，，则（）A.若，则 B.若，则C.若，为等比数列 D.若，【答案】ABD【解析】【分析】对A，由递推关系结合判断；对B，C，D，根据递推关系可得，得是以1为公差的等差数列，依次判断各个选项即可.【详解】对于A，由，，则，，可得，故A正确；对于B，C，D，由，则，，，是以1为公差的等差数列，故C错误；若，，则，即，故B正确；若，则，，，故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，的夹角为，则______.【答案】1【解析】【分析】利用数量积的定义直接求解.【详解】依题意，.故答案为：113.五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到的概率为_____；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为_____.【答案】①.##0.6②.##0.5【解析】【分析】设事件表示“选到”，事件表示“选到”，然后结合条件概率公式代入计算，即可得到结果.【详解】设事件表示“选到”，事件表示“选到”，则甲从中选3个.甲选到的概率为，乙选了活动，他再选择活动的概率为:故答案为:.14.若将半径为1，6，9的三个球放入一个正方体的容器中，则该容器的棱长的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】由正方体结构特征和题设要求分析确认球心位置及其球与正方体的位置特征，再作出正方体体对角面和球的截面图，列出关于正方体棱长的等量关系即可求解.【详解】因为不共线三点可唯一确定一个平面，而过三个球球心截三个球所得球的截面面积最大，所以由正方体结构特征可知要使该容器的棱长达到最小，则两大球相切，且三个球球心均在正方体体对角面内，两个大球均分别与与自己同侧的正方体角落所在的三个面相切，如图为截正方体体对角面和两个大球所得截面，则，假设最小球球心在上，且小球与该侧正方体的三个面均相切，则，所以求该容器的棱长的最小值只需考虑两个大球即可，延长和相交于点B，设该正方体容器棱长为a，则，所以，化简解得.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为等比数列，是，的等差中项．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公比为，利用等差中项和等比数列通项公式建立关系求出，得解；（2）利用错位相减法求解.【小问1详解】设的公比为，因为为，的等差中项，所以，即，则，解得，所以.【小问2详解】设的前项和为，又，，①，②①②得，所以.16.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出，得解；（2）根据三角形面积公式，正弦定理可得，结合，进而求出面积的取值范围.【小问1详解】因为，则，又，所以，则，又，所以，因为，解得．【小问2详解】因为是锐角三角形，又，所以，所以，因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是.17.如图，P为圆台的上底面的圆心，为圆台下底面的圆心，为下底面直径.是下底面圆的内接正三角形，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据勾股定理证明，，由线面垂直的判定定理得证；（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面的一个法向量，利用向量法求出二面角.【小问1详解】由题设，在圆O中，直径，又是下底面圆的内接正三角形，故可得，所以，因为，可得，故同理，可得，又，平面，所以平面.【小问2详解】过O作交于点N，因为平面，以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，故，设二面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角，所以.18.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点.（1）若离心率时，求的渐近线方程；（2）若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，求出，进而求出渐近线方程；（2）由为等腰三角形对底边进行分类讨论，求出点的轨迹并与双曲线联立即可解得的坐标；（3）设点，根据双曲线对称性可得，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，由数量积的坐标表示可得，即求出结果.【小问1详解】由题意得，则，，所以渐近线方程为.【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；当以为底时，若点P在第一象限时，，所以这样的点不存在；当以为底时，，设，其中，则有，解得，即；综上，点的坐标为.【小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则直线的斜率，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，得，显然，其中，则①，②，，则，又，，则，即，将①②代入有，即，化简得，所以，代入到，得，所以，且，解得，又因为，则，所以.19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若.①求的最小值；②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）单调增区间为，减区间为；（2）①1；②证明见解析【解析】【分析】（1）求导，判断导数正负，求出单调区间；（2）①求出的解析式，求导判断；②根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】定义域为，而，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以，的单调增区间为，减区间为.【小问2详解】①，，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以.②由（1）和①可得和的最小值为.当时，考虑解的个数，的解的个数；设，，由（1）得，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个