2024-2025学年山东省青岛市高一下学期期中学业水平检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛市高一下学期期中学业水平检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z=1−i对应的点的坐标是(

)A.(1,1) B.(1,−1) C.(−1,1) D.(−1,−1)2.已知a=(2,3)，b=(x,−6)，且a与b共线，则x的值为(

)A.−1 B.−2 C.−3 D.−43.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π4，B=π3，b=A.22 B.1 C.24.某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭B位于观赏亭A的东北方向且它们之间的距离为10m，观赏亭B位于观赏亭C的北偏西15∘方向且它们之间的距离为20m，则观赏亭A与观赏亭C之间的距离为(

)A.10m B.102m C.105.已知单位向量a，b满足(a+2b)⋅(a−b)=−A.13b B.12b C.6.要得到函数y=cos(2x+π4)的图象，只需将A.向左平移π8个单位B.向左平移3π8个单位C.向右平移π4个单位D.7.分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的散洛三角形中，已知AB=1，P为AC上一点，则PA⋅(PB+PC)的最小值为A.7 B.52−7 8.记△ABC的外心为点O，AB=2，AC=3，A=π3，若AO=xAB+yA.12 B.1 C.32 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则(

)

A.A=2 B.φ=π3

C.f(π6)=0 10.已知ω=−12+32i，复数A.|ω|=1 B.ω⋅ω=1 C.1+ω+ω2=11.记单位向量e1，e2的夹角为θ(0<θ<π)，若向量a=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy(OA.|(x,y)π3|=|(x,y)π4|

B.若x1y2−x2y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在等腰三角形ABC中，A=π2，则向量AB与BC的夹角为

．13.已知2i−3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根，则实数p=

14.已知△ABC满足|AB|=|AC|=3，若λ∈[0,1]，|λBC−BA|+|(1−λ)CB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知z=i4+(1−i(1)求z，z(2)若z，z1在复平面内对应的向量分别为a，b，且(λa+b16.(本小题15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3a=2c(1)求C;(2)若c=7，且△ABC的面积为3317.(本小题15分)

如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米.设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系式为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π(1)求d与时间t(单位：分钟)之间的关系式;(2)某时刻t0(单位：分钟)时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为115米，再经过2π318.(本小题17分)

如图，在等边三角形ABC中，AB=2，AD=DC，BE=2EC，线段AE与BD交于点(1)求AE(2)求cos(3)若M为△ABC所在平面内一动点，求MA⋅MB19.(本小题17分)1831年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化;在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论．记maxa,b表示实数a，b中的最大者.已知z1，z2∈C(1)若z1+z2(2)证明：|(3)求4x2参考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.A

6.B

7.B

8.D

9.AC

10.ABD

11.BD

12.3π413.12

14.9415.解：(1)因为z=i4+(1−i)2=1−2i，所以z=1+2i，

因为z⋅z1=4+3i，

所以z1=4+3i1+2i=(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−i；

(2)由题可知a=(1,2)16.解：(1)因为3a=2csinA，由正弦定理得：3sinA=2sinCsinA，

又0<A<π，所以sinA≠0，所以sinC=32，

又因为0<C<π，所以C=π3或2π3；

(2)因为S△ABC=12absinC=332，所以ab=6;

若C=π317.解：(1)由题意，得函数的周期为T=2πω=π，可得ω=2．

由题意半径为2米，筒车轴心O距水面的高度为1米，可得A=2，K=1，

可得d=2sin(2t+φ)+1．

依题意，可知当t=0时，d=0，即0=2sinφ+1，可得sinφ=−12，

由−π2<φ<π2，可得φ=−π6．

∴d=2sin(2t−π6)+1；

(2)由题意得，d=2sin(2t0−π18.解：(1)以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，

由AB=2，AD=DC，BE=2EC，可得A(−1,0)，C(1,0)，B(0,3)，

由BE=2EC可得：E(23,33)，

所以AE=(53,33)，BD=(0,−3)，

则AE⋅BD=(53,33)⋅(0,−3)=−1；

19.解：(1)因为z