2003级离散数学IIA卷答案学习资料

(45分)综合题(3分)试举出分别满足以下各条件的群的例子：1）G是无限群，除去单位元外，每个元素的周期都为0；eg:整数加法群2）G是无限群，G中每个元素的周期都有限；eg:{xn－1=0在复数域的所有根,其中n=1,2,3……}，复数乘法3）G是无限群，G中除单位元外，既有周期有限的元素，也有周期为0的元素。eg:非零实数乘法群；每个例子1分(2分)任意的群G中，方程x2=x有几个解？一个(2分)指数是2的子群是否一定是正规子群？是(4分)试求四次对称群S4关于Klein四元群H={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}的指数，并写出包含(13)的H的左陪集和包含(12)的H的右陪集。6(2分)；{(13),(1432),(24),(1234)};{(12),(34),(1324),(1423)}这两个每个1分(2分)具有如下定义的代数系统(G,*),C不是群。G={1,10}，*是模11的乘法；G={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法；G=Q，*是普通的乘法；G=Q，*是普通的加法。答案C6.(2分)任何一个具有多个等幂元的半群，它A。A.不能构成群；B.不一定构成群；C.必能构成群；D.能构成交换群。答案A(2分)设G={1,5,7,11}，(G,*)为群，其中*为模12的乘法，则7的周期为多少？(G,*)有几个真子群？2；4(1分)确定n次置换σ＝12…n–1nnn-1…21的奇偶性。n=4k,4k+1时σ为偶置换，n=4k+2,4k+3时为σ奇置换。或者，σ的奇偶性与└n/2┘相同――n/2取地板运算只答奇置换或偶置换不得分(3分)写出I/18I的所有理想。{0};{0,9};{0,6,12};{0,3,6,9,12,15};{0,2,4,6,8,10,12,14,16};{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17};共6个，写对n个时，得┌n/2┐分――n/2取天棚运算写错时不扣分或者扣1分(2分)R11中4/5等于多少？3(3分)循环群是否一定是交换群？G1是3元群，G1是否一定是交换群？G2是6元群，G2是否一定是交换群？是；是；不是（或不一定）每个1分(2分)无零因子的有限环是否一定是体？不是（或不一定）(2分)设a,b是群G的元素，a的周期为2，b的周期为3，且ab=ba，问ab的周期是多少？6(2分)写出第72个分圆多项式。x24－x12＋1(2分)写出GF(64)的全部子域。R2,GF(4),GF(8),GF(64)(2分)设B是8元布尔代数，B有多少个子代数？5(3分)给出所有的5元格（画出Hasse图即可），并说明哪些是模格，哪些是分配格，哪些是有余格。五个点构成的链(1)(2)(3)(4)(5)(1)有余格(2)模格，有余格(3)模格，分配格(4)模格，分配格(5)模格，分配格全对得3分，酌情给1分或2分(2分)在R5中用综合除法计算多项式x+2除3x5-2x4+4x3-5x+1的商式和余式。商式3x4+2x3余式1(4分)写出布尔代数的Huntington公理。H1：a·b=b·a，a+b=b+a.H2：a·(b+c)=(a·b)+(a·c),a+(b·c)=(a+b)·(a+c)。H3：B中有元素0和元素1,使得对任意a∈B,有a·1=a,a+0=a。H4：对任意a∈B，有a’∈B，使得a·a’=0,a+a’=1。每条1分。(7分)令M是除去0，1以外的全体实数作成的集合，G为M的以下六个变换作成的集合：σ1(x)=x,σ2(x)=1/x,σ3(x)=1－x,σ4(x)=1/(1－x),σ5(x)=(x－1)/x,σ6(x)=x/(x－1).G在变换的乘法下是否作成群？如果不是，请给出原因，若是，给出以上每个元素的逆元。是群。（不必证明）(5分)回答不是群的，一律给1分。σ4(x)和σ5(x)互为逆，其余的逆均是自身。(5分)环R中，若乘法满足等幂律，证明：若|R|>2，则R不是整区。证明：反证法。假设R是整环，则R无零因子。因为|R|>2，故R中有互异的元素a,b(均不为0)。由a2=a得(a2-a)b=a(ab-b)=0因R是整区，无零因子，a不为0，于是由上得ab–b=0;ab–b2=0,(a-b)b=0但b不为0，于是有a=b,矛盾。因此，R不是整区。证毕。(8分)设(R*,×)是一切非零实数在数的乘法下作成的群，(R,+)是实数加法群，证明二者不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有σ：1®0，-1®a，a≠0。从而，σ(1)=σ((-1)·(-1))=σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a≠0矛盾。故，原假设不对，（R*，·）与（R，+）不可能同构。（酌情给分）(10分)已知在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同，证明其周期或为0或为质数。证明：设a∈R，a≠0，且a的周期为n，故na=0。(1)

若n=0，则得证。（得5分）(2)

否则，只需证n是质数。用反证法。设n不是质数，则n=n1n2，且n1≠1，n2≠1。故1<n1<n，1<n2<n。（得3分）显然，n1a，n2a∈R，由a的周期为n知，n1a≠0，n2a≠0。而(n1a)(n2a)=(n1n2)(aa)=(na)a=0a=0，故n1a，n2a为零因子，与R无零因子矛盾。因此，原假设不对，n是质数。(10分)证明f(x)=x5+3x2+5在有理域R0上不可约.证明：若f(x)在R0上可约,则f(x)在R2上可约。因此，只需证明f(x)在R2上不可约，则可知f(x)在R0上不可约。而在R2上，f(x)=x5+x2+1。(分析，5次多项式若可约，有如下可能：（1）可分为5个一次质因式乘积（2）可分为3个一次质因式和1个二次质因式乘积（3）可分为2个一次质因式和1个三次质因式乘积（4）可分为1个一次质因式和1个四次质因式乘积（5）可分为1个二次质因式和1个三次质因式乘积（1）-（4）都有一次质因式，（5）有二次质因式，因此，只需证明5次多项式无一次质因式和二次质因式，即可证明其不可约)证明无一次质因式。（5分）由R2={0,1}，f(0)=f(1)=1知，f(x)在R2上无根，即无一次因式。证明无二次质因式。（5分）在R2上二次因式只有：x2,x2+1,x2+x,x2+x+1。其中只有x2+x+