生物统计学 第2章 概率学习资料

第二章概率和概率分布1.事件与概率2.正态分布3.二项分布4.波松分布5.样本平均数的抽样分布和t分布2.1事件与概率确定现象非确定现象自然现象随机现象一、事件(共2类)必然现象（inevitablephenomena）:在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。随机现象（randomphenomena）:在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。

随机现象在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。

二、随机试验与随机事件

1、随机试验（randomtrial）通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或实验统称为试验（trial）。随机试验具有下列三个特性：（1）可多次重复（2）结果不止一个，事先知道可能结果（3）每次试验结果唯一，但之前不可确定例如新生儿性别。2、随机事件随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能发生，也可能不发生，称为随机事件（randomevent），简称事件(event），通常用A、B、C等来表示。（1）基本事件不能再分的事件称为基本事件（elementaryevent），也称为样本点（samplepoint）。（2）必然事件在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件（certainevent），用Ω(Omega)表示。（3）不可能事件在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件（impossibleevent），用ф(Phi)表示。设随机事件E的样本空间中只有有限个样本点，即Ω={ω1,ω2,ω3,……,ωn}，其中n为样本点总数，每个样本点ωi（i=1,2,3,……,n）出现是等可能的，并且每次试验有且有仅一个样本点发生，则称这类现象为古典概型（classicalprobabilitymodel）。若事件A包含m个样本点，则事件A的概率定义为=事件A包含的基本事件数/基本事件总数三、概率

例1.1设有K个不同的（可分辨）球，每个球都能以同样的概率1/l落到l个格子（l≥k）的每一个中，且每个格子可容纳任意多个球，试分别求如下两个事件A与B的概率。A：指定的k个格子中各有一个球；B：存在k个格子，其中各有一个球。生日问题：求k个同学没有两人生日相同的概率。提示一年有365格子3.1几何概型当随机试验的样本空间是某一可度量的区域，并且任意一点落在度量（长度、面积与体积）相同的子区域内饰等可能的，则事件A的概率定义为=构成事件A的子区域的度量/样本空间的度量这种概率模型称为几何概型（geometricprobabilitymodel）。例1.2（Buffon（蒲丰）投针问题）设平面上画有等距为α的一簇平行线。取一枚长l（l<α）的针随意扔到平面上，求针与平行线相交的概率。蒲丰(C．Buffon)投针实验是运用实验法研究几何概率的典型范例．1777年的一天，蒲丰邀请许多宾朋来家做客，并参观他的实验．他事先在白纸上画好了一条条等距离的平行线，然后将纸铺在桌上，又拿出一些质量均匀、长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便扔到纸上，蒲丰则在一旁计数．结果，共投了2122次，其中与任一平行线相交的有704次．蒲丰又做了一个简单的除法2212÷704≈3.142，最后他宣布，这就是圆周率π的近似值，还说投的次数越多越精确．蒲丰(C．Buffon)ααxθ0xθπα/2x=1/2sinθ图1.1Buffon投针的几何概率（a）（b）解：设x表示针的中心到最近一条平行线的距离，θ表示针与此直线间的交角（图1.1a），则（θ，x）完全决定针所落的位置。针所有可能的位置为：它可以用θ-x平面上的一个矩形来表示（图1.1b）。针与平行线相交的充分必要条件是x≤1/2sinθ，即图1.1b中的阴影部分，它的面积为因此，若把往平面上随意扔一枚针理解为Ω内任一点为等可能，且记针与任一平行线相交事件为A，则由上式可以利用投针试验计算π值，设随机投针n次，其中k次针线相交，当n成分大时，可以利用频率k/n作为概率p的估计值，从而求得π的估计值为π的奇特估计法

表2-1抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录试验者投掷次数发生正面朝上的次数频率（m/n）蒲丰404020480.5069k.皮尔逊1200060190.5016k.皮尔逊24000120120.5005

在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。即P（A）=p≈m/n

（n充分大）（2-1）0.5

（二）概率的古典定义对于某些随机事件，用不着进行多次重复试验来确定其概率，而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。有很多随机试验具有以下特征：

1、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；

2、各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；

3、试验的所有可能结果两两互不相容。

具有上述特征的随机试验，称为古典概型（classicalmodel）。对于古典概型，概率的定义如下：设样本空间由n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即

P（A）=m/n(2-2)

这样定义的概率称为古典概率(classicalprobability)或先验概率(priorprobability)。

【例2.1】在编号为1、2、3、…、10的10个彩球中随机抽取1个，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得一个编号≤4”；（2）B=“抽得一个编号是2的倍数”。（1）P(A)=mA/n=4/10=0.4（2）P(B)=mB/n=5/10=0.5【例2.2】在N个红球和黑球中，有M个是红的，从这些球中任意抽出n个，试求:

（1）其中恰有m个红球的概率是多少？

（2）若N=30，M=8，n=10，m=2，其概率是多少？

将N=30，M=8，n=10，m=2代入上式，得

即在30个红球和黑球中有8个红球，从这些球中随机抽出10个球，其中有2个红球的概率为6.95%。（三）概率的性质

1.对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；

2.必然事件的概率为1，即P（Ω）=1；

3.不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。三、小概率事件实际不可能性原理在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原理。0.05、0.01、0.