海南省部分中学2024-2025学年高一下学期期中模拟考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页海南省部分中学2024-2025学年高一年级下学期期中模拟考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．3．已知复数是关于的一元二次方程的一个复数根，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．设，则（

）A． B． C． D．5．如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（

）A． B． C． D．206．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（

）A． B．4 C． D．87．某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（

）A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小8．某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（

）学习时间／分钟60708090100110120人数9101412852A．75分钟 B．90分钟 C．95分钟 D．100分钟二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若=，则C．已知，，若，则D．若G是的重心，则10．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（

）A．复数的虚部为B．C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界11．已知正方体的棱长为1，E为楼上一动点，平面，则（

）A．异面直线和所成角是B．当点E与点重合时，平面被正方体所截的截面形状都可能为正五边形C．当点E与点重合时，四面体外接球的体积为D．直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围是三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，在中，是上靠近的一个三等分点，，，则可以用，表示为。13．设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是。14．如图，是边长为1的正三角形．曲线，，是分别以，，为圆心，，，为半径画的圆弧，称曲线为螺旋线旋转一圈，然后又以为圆心，为半径画弧，…，如此下去，可以得到一个优美的螺旋线.那么曲线的长度为，画到第八圈，得到的螺旋线的总长度为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中.(1)当时，求向量和的夹角的余弦值；(2)当时，求的取值范围.16．已知复数，在复平面上对应的点分别为，.(1)求；(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.17．设复数.(1)若是纯虚数，求；(2)若，在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，设是的夹角，求.18．如图，正四棱锥中，，，E为SC中点.(1)求证：平面BDE；(2)求该正四棱锥的外接球的表面积；(3)求三棱锥的表面积和体积.19．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，过A，，E三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；(3)若点P是侧面内的动点，且，当最小时，求长度的最小值.答案解析试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页1．A【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果．【详解】在上的投影向量为．故选：A．2．C【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案.【详解】，故，，故，因为三点共线，故，解得.故选：C3．B【分析】根据给定条件，利用实系数方程的虚根特征，结合韦达定理求出，进而求得答案.【详解】由复数是关于的一元二次方程的一个复数根，得该方程的另一个复数根为，则，，所以复数在复平面内对应的点为位于第二象限.故选：B4．C【分析】根据复数的除法运算及复数的模长公式即可求解.【详解】，所以.故选：.5．C【分析】利用割补法求解几何体体积即可.【详解】如图，把几何体补全为长方体，则，，

所以该几何体体积为.故选：C.6．B【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解.【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，

故的面积为，故选：B．7．D【分析】结合题中数据，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可.【详解】由图可知，型号空调月销售量的极差为，型号空调月销售量的极差为，故A正确；型号空调月平均销售量为，型号空调月平均销售量为，故B正确；将型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50，由，则型号空调月销售量的上四分位数为42，将型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45，由，则型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确；型号空调月销售量的方差为，型号空调月销售量的方差为，故D错误.故选：D.8．C【分析】应用百分位数定义计算求解.【详解】因为，所以第75百分位数是所有数据从小到大排列的第45项和第46项的平均数，由表中数据可知，第45项为90，第46项为100，所以第75百分位数是分钟．故选：C.9．BD【分析】当时，可判断A；由相等向量的概念可判断B；由向量的数量积的定义可判断C；延长交于，利用向量的平行四边形法则与重心的性质可得，判断D.【详解】对于A，若时，与的方向可能既不相同也不相反，即与不共线，故A错误；对于B，若=，则，故B正确；对于C，，，若，则，又，所以，故C错误；对于D，若G是的重心，延长交于，，由平行四边法则可知，由重心的性质可知，所以，故D正确.故选：BD.10．BCD【分析】对于A，由复数的代数式可判断；对于B，利用复数的乘方运算求解可判断；对于C，结合向量的运算法则，即可求解可判断；对于D，结合复数的几何意义，即可求解判断．【详解】对于A：对于复数的虚部为，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为，故C正确;对于D：对于D，设复数，若复数满足条件，则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确.故选：BCD.11．AD【分析】根据异面直线所成角的概念构造异面直线所成的角，再求角的大小，可判断A的真假；判断截面的形状，可判断B的真假；明确四面体外接球的半径，求出其体积，判断C的真假；把直线与平面所成角的正弦值转化成直线与平面的垂线所成角的余弦值，在中求的范围，判断D的真假.【详解】对于选项A：连接，，则，可知（或其补角）即为异面直线和所成的角，因为，可知为等边三角形，所以，故A正确；

对于选项B：当点与点重合时，因为平面，则平面平面，所以截面可以是三角形和六边形，故截面不可能是正五边形，故B错误；对于选项C：当点与点重合时，四面体外接球就是正方体的外接球，设外接球半径为，则，所以四面体外接球的体积为：，故C错误；对于选项D：如图，连接，直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面的垂线所成角的余弦值，则，因为，所以，即，所以，故D正确.故选：AD.12．【分析】由条件可得，结合向量的线性运算法则求结论.【详解】因为是上靠近的一个三等分点，所以，又，，所以，故答案为：.13．/【分析】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数.【详解】已知向量，对应的复数分别为，.根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：.故答案为：.14．【分析】根据题意结合扇形弧长公式求曲线的长度，分析可知第n个的圆弧的半径为，圆弧长为，结合等差数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：，所以曲线的长度为，又因为圆弧的半径依次为，圆心角均为，即第n个的圆弧的半径为，圆弧长为，所以第八圈得到的螺旋线的总长度为.故答案为：；.15．(1)(2)【分析】（1）当时，求得，，进而求得和，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）根据向量的线性运算法则，得到，结合向量数量积的运算律，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：当时，可得，同理可得，因为，所以，则，而，所以，即向量和的夹角的余弦值为.（2）解：由，可得，因为，可，即，所以的取值范围为.16．(1)(2)【分析】（1）由坐标确定复数的代数形式，再结合乘法运算及模长公式即可求解；（2）由第四象限实部虚部需满足的条件构造不等式求解即可.【详解】（1），在复平面上对应的点分别为，，，，，.（2），，解得，实数的取值范围为17．(1)(2)【分析】（1）利用复数的除法运算求得，再由纯虚数的概念可得，即可求出；（2）利用复数的几何意义可求得，再由向量夹角的坐标运算可得结果.【详解】（1）易知，若是纯虚数，可得，解得，所以.（2），所以在复平面内对应点的坐标分别为和，所以，因此；即.18．(1)证明见解析；(2)；(3)，【分析】（1）连接，交于点，连接，推导出，即可证明平面．（2）取正方形的中心，连接，则球心在上，根据已知条件求出的长，设外接球的半径为，在根据勾股定理列方程求出，再由球的表面积公式即可计算外接球的表面积（3）三棱锥的表面积，易证平面，所以.【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，四棱锥为正四棱锥，四边形是正方形，是中点，是中点，是的中位线，，平面，平面，平面．（2）因为四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且各侧棱长均为4，取正方形的中心，连接，，则点为的中点，因为正方形边长为2，所以，所以，因为，所以，因为，所以球心在线段，如图，设四棱锥外接球的半径为，则，在中，，即，解得：，所以该四棱锥外接球的表面积为.（3）由（1）知，，，，，由四棱锥为正四棱锥得：，为中点，，，即，．所以，，，，所以三棱锥的表面积.又，又四边形是正方形，所以，，都在平面内，平面，.19．(1)答案见解析(2)(3)【分析】（1）设中点为，再证明即可知这个多边形为；（2）设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；（3）取的中点，的中点，连接、、、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小.【详解】（1）设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且，故四边形为平行四边形，则.又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形.

（2）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，设，连接，由为的中点，