2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论练习含解析新人教B版必修2

PAGE1-1．2．1平面的基本性质与推论对应学生用书P25学问点一用图形符号语言表示点线面之间的位置关系1．用符号表示下列语句，并画出图形．(1)点A在平面α外，点B在平面α内，直线l经过点A，B；(2)平面α和β的交线是a，直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q．解(1)A∉α，B∈α，A∈l，B∈l．图形如图1．(2)α∩β＝a，P∉a，Q∉a，P∈α，Q∈β，P∈b，Q∈b．图形如图2．学问点二共线问题2．如图所示，在三棱锥A－BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．求证：M，N，K三点共线．证明因为M＝PQ∩CB，所以M∈直线PQ．因为PQ⊂平面PQR，所以M∈平面PQR．又因为M∈直线CB，而CB⊂平面BCD，所以M∈平面BCD，从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上．同理可证，K，N也在l上，所以M，N，K三点共线．学问点三共面问题3．过已知直线a外一点P，与直线a上的四个点A，B，C，D分别画四条直线，求证：这四条直线在同一平面内．证明∵点P在直线a外，∴过直线a及点P作一平面α．∵A，B，C，D均在a上，∴A，B，C，D均在α内．∵直线PA，PB，PC，PD上各有两点在α内，∴由基本性质1可知，直线PA，PB，PC，PD均在平面α内，即这四条直线在同一平面内．学问点四线共点问题4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，假如EF与HG交于点M，则()A．M肯定在直线AC上B．M肯定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上答案A解析因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M是平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M肯定在直线AC上．对应学生用书P26一、选择题1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合答案C解析若直线l∩α＝A，明显有l⊄α，A∈l，但A∈α．2．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案C解析A中PQ∥RS，B中PQ∥RS，D中PQ与RS相交，故选C．3．给出以下三个命题：①若四点不共面，则它们中的随意三个点肯定不共线；②若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；③若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中正确的命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案C解析①正确，否则，若四点中有三点共线，则四点肯定共面；②正确；③错误，可借助三棱锥的三条侧棱理解，故①②正确．4．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行答案C解析如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，明显直线AA1与A1D1，AD相交，与BC异面．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案D解析由立体几何公理2得出其截面图如图，取C1D1的中点S，BB1中点M，DD1中点为N，易证PQ∥MN∥RS且共面．故选D．二、填空题6．若A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的关系是________，依据为________．答案相交基本性质3解析∵A∈α，∴面ABC与α肯定相交，依据是若两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线，即基本性质3．7．不共面的四个定点到平面的距离相等，这样的平面共有________个．答案7解析以三棱锥S－ABC的顶点为例：第一类是平面两侧为一个点与三个点，即三棱锥的中截面A1B1C1所在的平面，有4个；其次类是平面两侧都是两个点，每个位置都是空间四边形相邻两边中点所在的平面EFGH，有3个．所以满意题意的平面共有4＋3＝7个．8．下列命题：①四条边相等的四边形能够确定一个平面；②四边形的对角线相交于一点；③梯形的对角线交于一点；④正方体各面所在的平面分空间成27部分．其中全部正确命题的序号为________．答案③④解析四条边相等的四边形可能是空间四边形，故①不正确；空间四边形的对角线是异面直线，故②不正确；梯形是平面图形，对角线交于一点，故③正确；分上、中、下三部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分，故④正确．三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)分别连接EF，A1B，D1C．∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF綊eq\f(1,2)A1B．又A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1D1CB为平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面．(2)∵EF綊eq\f(1,2)CD1，∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，如图．∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D．又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD．∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．10．已知：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为8cm，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点．(1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线；(2)设过M，N，P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长．解(1)如图，设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AB1交于MP．设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线．设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线．(2)∵正方体的棱长为8cm．M，P分别为AB，BB1的中点，∴B1R＝BM＝4cm．在△RA1N中，eq\f(B1Q,A1N)＝eq\f(RB1,RA1