第三单元圆柱·体积篇【二十大考点】-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第三单元圆柱·体积篇【二十大考点】专题解读本专题是第三单元圆柱·体积篇。本部分内容包括圆柱体积的生活实际应用，比在圆柱中的三种应用方式，圆柱与长方体、正方体的拼切转化问题，等积转化问题，排水法在圆柱中的三种应用，不规则圆柱体和组合立体图形的体积等，总体来说，考点较多，内容难度较大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题，一共划分为二十个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】圆柱的体积和容积其一：求体积和容积 4【考点二】圆柱的体积和容积其二：反求底面积或高 5【考点三】圆柱的体积和容积其三：根据立体图或展开图求体积 6【考点四】圆柱的体积和容积其四：生活与实际应用 9【考点五】比在圆柱体积中的三种应用 10【考点六】圆柱体积的扩倍与缩倍问题 11【考点七】圆柱的四种旋转构成法在体积中的应用 12【考点八】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用 15【考点九】圆柱与长方体的拼切转化问题 17【考点十】等积变形问题其一：基础型 18【考点十一】等积变形问题其二：提高型 19【考点十二】等积变形问题其三：拓展型（不规则立体图形的等积变形） 20【考点十三】长方体中的最大圆柱 22【考点十四】正方体中的最大圆柱 23【考点十五】排水法求不规则物体的体积其一：基础性问题 24【考点十六】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高 25【考点十七】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题 27【考点十八】不规则圆柱体的体积其一 28【考点十九】不规则圆柱体的体积其二 29【考点二十】组合立体图形的体积 30典型例题【考点一】圆柱的体积和容积其一：求体积和容积。【方法点拨】1.意义：一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。2.计算公式：如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。3.体积及容积单位进率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。注意：体积和容积单位常常是体积问题中的常考点和易错点，熟练掌握体积容积单位进率与换算方法是其关键。【典型例题1】圆柱的体积。一个圆柱的底面半径是2cm，高是3cm，它的侧面积是()cm2，体积是()cm3。【对应练习1】一个圆柱的底面半径是2厘米，高是8厘米，这个圆柱的侧面积是()平方厘米，体积是()立方厘米。【对应练习2】一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，它的表面积是()dm2，体积是()dm3。【对应练习3】一个圆柱体的底面直径4分米，高0.5分米，它的表面积是()平方分米；它的体积是()立方分米。【典型例题2】圆柱的容积。一个杯子的内直径为8cm，高为10cm，一袋牛奶有498mL，这个杯子能装下这袋牛奶吗？先算杯子的底面积，列式为()，再算出杯子的容积，列式为()，结果为()。这个杯子()装下这袋奶。【对应练习1】如图，这个圆柱形水桶可以装()mL水。【对应练习2】王师傅用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是20cm，高是25cm。至少需要铁皮()cm2，水桶的容积是()L。【对应练习3】有关资料显示，每人每天正常饮水量约为1L，乐乐的圆柱形水杯底面直径是6cm，深9cm，她每天大约需要喝()杯水。【考点二】圆柱的体积和容积其二：反求底面积或高。【方法点拨】根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即：①S底=V柱÷h②h=V柱÷S底【典型例题】一个圆柱的体积是32立方厘米，高是4厘米，底面积是()平方厘米。【对应练习1】一个圆柱的体积是25.12立方米，它的高为2米，那么它的底面半径是()米。【对应练习2】一个圆柱的体积是90cm3，底面积是15cm2，它的高是()cm。【对应练习3】一个深2米的圆柱形水池可以装25.12吨水（每立方米水的质量是1吨）。这个水池的占地面积是()，底面半径是()。【考点三】圆柱的体积和容积其三：根据立体图或展开图求体积。【方法点拨】圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。【典型例题1】看立体图形求体积。计算下面各圆柱的体积。（单位：厘米）【对应练习1】计算下面图形的表面积和体积。（单位：米）【对应练习2】求圆柱的表面积和体积。（单位：厘米）

【对应练习3】求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）（1）

（2）【典型例题2】看展开图求体积。1．制作一个无盖圆柱体水桶，并在水桶的侧面画上喜欢的图案或题上最喜欢的格言。有以下几种型号的铁皮可供搭配选择，你选择的材料是()号和()号。（1）制作这样的水桶需要多少铁皮？（2）这个水桶可以装水多少升？2．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）

（1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？（2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？【对应练习1】请你从以下型号的材料中选出两个制作一个无盖的圆柱形小水桶，并计算出这个水桶的容积。（接口处忽略不计）【对应练习2】如用图阴影部分做一个圆柱体，这个圆柱体的容积是多少毫升？（π＝3.14）【对应练习3】社团手工课是学生最喜欢的课程之一，小明想用如图所示的一张长为16.56分米的长方形纸片做成一个无盖圆柱体，阴影部分的纸片刚好能做一个无盖圆柱体，请你帮小明算一算做成的无盖圆柱体的容积大约是多少？【考点四】圆柱的体积和容积其四：生活与实际应用。【方法点拨】圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。【典型例题】1．一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是1米，高是2米。如果每立方米玉米约重750千克，这个粮囤能装多少吨玉米？2．一根圆柱形木料底面直径是0.4米，长5米。如果做一张课桌用去木料0.02立方米。这根木料最多能做多少张课桌？（不考虑损耗）【对应练习1】一个圆柱形水池，从里面量周长18.84米，高8米。（1）在这个水池的底面和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（2）如果每立方米的水重1吨，这个水池可以装多少吨水？【对应练习2】人民大会堂壮观巍峨，建筑平面呈“山”字形，两翼略低，中部稍高，四面开门。人民大会堂正门面对天安门广场，正门门额上镶嵌着中华人民共和国国徽，正门迎面有十二根浅灰色大理石门柱，正门柱每根直径2米，高25米。建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米？【对应练习3】一个圆柱形水池，测得底面周长是25.12米，池深3米，池上装有6个进水管，每个管每小时可以注入水6.28立方米，六管齐开，几小时可以注满水池？【考点五】比在圆柱体积中的三种应用。【方法点拨】1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。【典型例题1】已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是()。【典型例题2】已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是()。【典型例题3】两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少?【对应练习1】两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少?【对应练习2】两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少？【对应练习3】如果两个圆柱的底面半径比是，高的比是，那么它们的侧面积比是()，底面积比是()，体积比是()。【考点六】圆柱体积的扩倍与缩倍问题。【方法点拨】圆柱的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即：当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）；当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。【典型例题1】圆柱体积的扩倍问题。一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大()倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大()倍。【对应练习1】一个圆柱的高扩大2倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大()倍；如果圆柱的高不变，底面半径扩大4倍，则圆柱的体积扩大()倍。【对应练习2】圆柱体的底面半径和高都扩大2倍，它的体积扩大()倍。A．2 B．4 C．8【对应练习3】圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的()。A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．12倍【典型例题2】圆柱体积的缩倍问题。圆柱的高不变，底面半径缩小为原来的，圆柱的体积()。A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变【对应练习1】一个圆柱的底面半径缩小为原来的，高不变，则体积缩小为原来的()。A． B． C．【对应练习2】圆柱的底面积缩小为原来的，高扩大为原来的2倍，它的体积就()。A．缩小为原来的 B．扩大8倍 C．缩小为原来的【对应练习3】圆柱的底面半径缩小为原来的，高扩大到原来的2倍，它的体积()。A．缩小为原来的 B．扩大到原来的4倍 C．缩小为原来的【考点七】圆柱的四种旋转构成法在体积中的应用。【方法点拨】在旋转时，以谁为轴谁就是高，而另一条边就是底面半径。第一种旋转方法：以宽为轴进行旋转。以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。第二种旋转方法：以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。第三种旋转方法：以两条长中点的连线为轴进行旋转。以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。第四种旋转方法：以两条宽中点的连线为轴进行旋转。以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。【典型例题】下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。它们的体积各是多少？【对应练习1】把同一个长方形分别以长和宽所在直线为轴旋转一周（如下图），形成的圆柱是什么样子？（1）先下表补充完整。方法底面半径高表面积体积一2cm1cm（

）cm2（

）cm3二1cm2cm（

）cm2（

）cm3（2）观上表，你发现用不同的方法旋转得到的圆柱，体积和表面积有什么不同？【对应练习2】下面这个长方形的长是10厘米，宽是2厘米，分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。①以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是多少平方厘米？②以长为轴旋转一周后得到的圆柱的体积是多少立方厘米？【对应练习3】一块长方形硬纸板，长20厘米，宽12厘米，现绕着它的一条对称轴旋转180度，转过部分的体积最大是多少？【考点八】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。【方法点拨】1.高的变化引起的表面积变化：高的变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。2.横切引起的表面积变化：横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面。3.竖切引起的表面积变化：竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。【典型例题1】“横切”与“竖切”。康康把一块橡皮泥揉成圆柱形，切成三块（如图1），表面积增加了50.24平方厘米；切成四块（如图2），表面积增加了48平方厘米。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？【典型例题2】高的变化。如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？【对应练习1】把一根2米长的圆柱体钢材从中间截成两段后，表面积增加了0.6平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这根钢材重多少千克？【对应练习2】一根圆柱形木料，长8米，高减少2厘米，表面积减少18.84平方厘米，这根木料的体积是多少？【对应练习3】把一个圆柱形木块按两种方式锯开。如果沿底面直径纵向锯成4块（下图左），表面积会增加192平方厘米；如果横向锯两次形成3个小圆柱（下图右），表面积会增加50.24平方厘米，原来这个圆柱形木块的体积是多少立方厘米呢？【考点九】圆柱与长方体的拼切转化问题。【方法点拨】将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。【典型例题】将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14）【对应练习1】将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体后表面积增加了6平方厘米，已知长方体的高是3厘米，这个圆柱的体积是多大？【对应练习2】把底面半径是6厘米，高10厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。（1）切拼前后体积是否发生变化？请说明理由。（2）切拼前后表面积是否发生变化？如果发生变化，请计算出增加或减少的数量。【对应练习3】如图，把一个圆柱等分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了300平方厘米、已知长方体的高是20厘米。长方体的体积是多少？【考点十】等积变形问题其一：基础型。【方法点拨】圆柱与长方体、正方体的等积变形问题，关键是体积不变，再根据体积不变去解决问题。【典型例题】将下面的长方体铁块熔铸成一个圆柱，这个圆柱的高是多少分米？（单位：分米）【对应练习1】把一块长方体钢坯铸造成一根直径为8分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。【对应练习2】下图中的圆柱与长方体的体积相等。这个圆柱的高是多少分米？（单位：）【对应练习3】把一个长、宽、高分别为4厘米、4厘米、6厘米的长方体铁块，熔铸为一个底面半径为2厘米的圆柱，圆柱的高是多少？（不计损耗，π取3）【考点十一】等积变形问题其二：提高型。【方法点拨】圆柱与长方体、正方体的等积变形问题，关键是体积不变，再根据体积不变去解决问题。【典型例题】甲圆柱形瓶子中有2厘米深的水。乙长方体瓶子里水深6.28厘米。将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？（如图）【对应练习1】甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？【对应练习2】下图中，圆柱形（甲）瓶子里有2厘米深的水。长方体（乙）瓶子有水深6.28厘米。如果将乙瓶中的水倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？【对应练习3】将一个底面周长是18.84厘米、高是10厘米的圆柱形量杯里装满水，再倒入一个长12厘米、宽5厘米的长方体容器中，水面高是多少厘米？【考点十二】等积变形问题其三：拓展型（不规则立体图形的等积变形）。【方法点拨】等积变形问题的关键是找到体积不变量，再根据体积不变去解决问题。【典型例题】一瓶装满的矿泉水，小强喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高12厘米，内直径是6厘米。小强喝了多少水？【对应练习1】如图，一个底面半径为10厘米的瓶子。正放时，瓶内液面高为12厘米，倒放时，空余部分高2厘米。这个瓶子的容积是多少立方厘米？【对应练习2】一瓶550毫升的满瓶矿泉水，小明喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分是圆柱形，高10厘米，内直径是6厘米。还剩多少毫升水？【对应练习3】有一饮料瓶的容积是1.5升，现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度是15厘米，倒放时空余部分高度为5厘米，问瓶内现有饮料多少升？【考点十三】长方体中的最大圆柱。【方法点拨】在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，再根据情况选择圆柱的高来计算圆柱的体积。【典型例题】一根长方体的方木，横截面是边长为6分米的正方形，长是10分米。把这根木料加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？（取3.14）【对应练习1】把一个长4dm、宽2.5dm、高3dm的长方体，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？【对应练习2】在一个长、宽、高分别是2dm、2dm、5dm的长方体盒子中，正好能放下一个圆柱，形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余的空间是多少立方分米？【对应练习3】汪师傅把一块长40cm、宽30cm、高20cm的长方体木料加工成一个圆柱体，聪聪利用所学的知识提了建议，加工后的圆柱体体积最大，加工后的体积是多少？【考点十四】正方体中的最大圆柱。【方法点拨】把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。【典型例题】为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？代入数据计算即可。【对应练习1】有块正方体的木料，它的棱长是4dm，把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱体积比原来正方体体积少了百分之几？【对应练习2】有块正方体的木料，它的棱长是4dm。把这块木料加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？【对应练习3】丽丽和妈妈学做蛋糕，做出一个棱长为10cm的正方体蛋糕，现在要把它削成一个最大的圆柱形蛋糕。你能算出这个圆柱形蛋糕的体积是多少立方厘米吗？【考点十五】排水法求不规则物体的体积其一：基础性问题。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高。【典型例题】一个底面半径是20厘米、高是30厘米的圆柱形鱼缸里装有一些水，向鱼缸里放入一块鹅卵石（完全浸入水中），水面上升了1.5厘米。这块鹅卵石的体积是多少立方厘米？【对应练习1】如图，在一个装有部分水的圆柱形容器中，放入一块石头，结果溢出15毫升的水，这块石头的体积是多少立方厘米？【对应练习2】一个圆柱从里面量半径是5厘米，水面高度是6厘米，把一个铁块放入容器中，水面的高度是10厘米，容器里水的体积是多少？铁块的体积是多少？【对应练习3】在一个底面直径是10cm的圆柱形容器里加入若干水，水深8cm。把一个苹果完全浸没在水中，水没有溢出，这时水深增加到10cm。这个苹果的体积是多少立方厘米？【考点十六】排水法求不规则物体的体积其二：求水深或物高。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高【典型例题】有一只底面半径为3dm的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形边长为2dm的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内的水面下降了5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数）【对应练习1】将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升2.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升多少厘米？（水没有溢出）

【对应练习2】在一个长方体容器内盛满水，从里面量测得它的长是10cm、宽10cm、高20cm，容器内完全浸没了一个底面半径是4cm，高5cm的圆柱体铁块，如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降多少cm？【对应练习3】在一个底面半径为的圆柱形水桶里，有一段底面半径为的圆柱形钢材浸没在水中。把钢材从水桶中取出后，桶里水的高度下降了，这段钢材有多长？【考点十七】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题。【方法点拨】溢水问题，由于物体放入容器中有水溢出，所以物体的体积应由水上升部分