空间向量与立体几何动点问题边长缺失问题最值与范围问题高三三轮冲刺高频考点复习讲义（原卷版）

空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题高频考点分析高频考点分析1.动点的表示方法：（1）若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标.=1\*GB3①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量.=2\*GB3②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量.=3\*GB3③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量.（2）若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点、，动点在直线上运动，则,所以，由此可表示出点坐标或直接利用表示出目标向量.2.边长缺失问题（1）设所求边长为；（2）将代入求直线向量与平面的法向量；（3）翻译题目所给条件，得到关于的方程，求解的.※题目所给附加条件可以是位置关系、空间角度大小或空间距离等.3.最值与范围问题（1）明晰是动点还是边长缺失引起的最值问题，设出动点或边长；（2）利用设出的动点或边长，表示直线向量与平面的法向量；（3）翻译题目所求的几何量，进而根据解析式的形式选择恰当的方法求最值.4.代数法求最值的常见方法（1）单调性法（2）二次函数法（3）三角函数法（4）换元法（5）基本不等式法（6）分离常数法（7）判别式法

真题真题速递1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．

实战演练实战演练一：动点问题1．（2425高三下·天津·阶段练习）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD．(1)证明：平面CDE；(2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；(3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2．（2425高三下·山西晋中·阶段练习）如图，正方体的棱长为3，M为CD的中点，点N在线段上（不含端点）.(1)若平面，求证：N为的中点；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段CN的长度.

3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.(1)求三棱锥的体积；(2)若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角正切值为？若存在，求点到平面的距离；若不存在，请说明理由.4．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离．

5．（2025·山西太原·一模）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形．(1)求证：；(2)若，点是线段上一点，二面角的余弦值为，求的长．6．（2025·吉林长春·模拟预测）斜三棱柱各棱长为为棱上的一点.(1)求证：；(2)若平面平面，且二面角的余弦值为，求的长.

实战演练实战演练二：边长缺失问题1．（2425高三下·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，是棱上一点，且二面角为直二面角．(1)证明：是中点；(2)若，且二面角的余弦值为，求的长．2．（2425高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点．(1)求证：为棱的中点；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．

3．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，.(1)求证：；(2)若，当平面平面时，求的长.4．（2025·北京东城·一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面.(1)证明：平面；(2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

5．（2425高三下·江苏盐城·阶段练习）直三棱柱，已知∠ABC为直角，，，线段上有一点M，线段存在一点N，使得面MAB．(1)求CN长；(2)若二面角所成角余弦值为时，求AB长．6．（2425高三下·江苏·开学考试）如图，在三棱锥中，为棱上一点，，且，．(1)证明：平面；(2)求四面体的外接球的体积；(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．

实战演练实战演练三：最值与范围问题1．（2025·宁夏·一模）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，O为底面ABCD的中心，．(1)求证：平面ABCD；(2)设M为的中点，CM交于点P，点Q满足．（i）求直线AP与平面所成角的正弦值；（ⅱ）求平面与平面APQ夹角的余弦值的取值范围，并说明t取何值时，平面平面APQ．2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．

3．（2425高二上·辽宁·期末）如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使.(1)当时，求平面与平面夹角的余弦值；(2)设直线与平面所成角为，求的最大值.4．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.(1)求证：；(2)求证：平面平面；(3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

5．（2425高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在四棱锥中，，，，是边长为2的等边三角形，且平面平面，点E是棱上的一点.(1)若，求证