高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念人教版

1/282/28举世瞩目标长江三峡溢流坝，其断面形状是依据流体力学原理设计，如图所表示，上端一段是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧，建造这么大坝自然要依据它体积备料，计算它体积就

需要尽可能准确地计算出它

断面面积.该断面最上面抛

物线所围那一块面积怎样

计算呢?3/28

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14/28变式训练1、预计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成曲边梯形面积.【解析】将区间[0，1]等分5份，如图(1)，全部小矩形面积之和(记为S1)，显然为过剩预计值，S＝(0.23

＋0.43

＋0.63

＋0.83

＋13)×0.2＝0.36.如图(2)，全部小矩形面积之和(记为s1)，显然为不足预计值，s＝(03

＋0.23

＋0.43

＋0.63

＋0.83)×0.2＝0.16，所以该曲边梯形面积介于0.16与0.36之间.15/282.变速运动旅程计算例2、一辆汽车在笔直公路上变速行驶，汽车在时刻t速度为v(t)＝10t2(单位:km/h).试预计这辆汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶旅程.【方法指导】将变速直线运动旅程问题转化为匀速直线运动旅程问题，经过求矩形面积即可处理.16/28【解析】将区间[0，2]等分10份，则过剩预计值为S＝10(0.22

＋0.42

＋…＋1.82

＋22)×0.2＝30.8，不足预计值为s＝10(02

＋0.22

＋…＋1.82)×0.2＝22.8.所以预计这辆汽车在这段时间内行驶旅程介于22.8km与30.8km之间.17/28变式训练2、某物体在笔直道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t速度为v(t)＝7－t2，试预计这个物体在0≤t≤1这段时间内行驶旅程.【解析】将区间[0，1]等分5份，则过剩预计值为S＝(7－02

＋7－0.22

＋7－0.42

＋7－0.62

＋7－0.82)×0.2＝6.76，不足预计值为s＝(7－0.22

＋7－0.42

＋7－0.62

＋7－0.82

＋7－12)×0.2＝6.56，所以预计该物体在这段时间内行驶旅程介于6.56与6.76之间.18/28

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23/28(3)性质3对于有限个函数(两个以上)也成立.性质4对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立.对于定积分性质4能够用如图所表示图形直观地表示出来，即S曲边梯形AMNB＝S曲边梯形AMPC

＋S曲线梯形CPNB.利用定积分求曲边梯形面积

实质是“化整为零、积零为整”

过程.24/28已知甲、乙两车从同一起点同时

出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲、乙两车速度曲线分别为v甲、v乙(如图所表示).则对于图中给定t0和t1，以下判断中一定正确是(

).A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面25/28【解析】在t0时刻，两车速度相等且之前甲车速度一直大于乙车速度，故甲车在乙车前面.因为旅程关于时间函数是速度关于时间函数积分，由积分几何意义，知速度曲线与t轴及t＝t1所围成

面积