2024-2025学年高中数学第2章点直线平面之间的位置关系2.3.3直线与平面垂直的性质课时作业含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE12.3.3直线与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系肯定是(C)A．平行 B．异面C．垂直 D．不相交[解析]∵α∥β，b⊥β，∴b⊥α.又∵a∥α，∴b⊥a．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面(C)A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[解析]∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C．3．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(C)A．PA＝PB＞PC B．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC[解析]∵PM⊥平面ABC，MC⊂平面ABC，∴PM⊥MC，PM⊥AB．又∵M为AB中点，∠ACB＝90°，∴MA＝MB＝MC．∴PA＝PA＝PC．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(B)A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH[解析]因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．5．下列结论正确的是(A)①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α．A．①② B．①②③C．②③④ D．①②④[解析]由性质定理可得(1)(2)正确．6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(A)A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C．又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C．又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C．故选A．二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为4．[解析]如图，设AB的中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4．8．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是eq\f(\r(2),3)．[解析]如图，由已知得PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC．又PB⊥PC，PB＝PC，BC＝2，∴PB＝PC＝eq\r(2)．∴VP－ABC＝VA－PBC＝eq\f(1,3)PA·S△PBC＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3)．三、解答题9．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2)．证明：A1C⊥平面BB1D1D．[解析]∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝eq\r(2)，且AC＝2，∴AC2＝AAeq\o\al(2,1)＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．[证明](1)在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故AP⊥CD．因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE．(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB．又AB⊥AD，且AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE．B级素养提升一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(C)A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不肯定存在直线与m平行，不肯定存在直线与m垂直C．β内不肯定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不肯定存在直线与m垂直2．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下结论中，错误的结论是(D)A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°[解析]A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用解除法选D．3．如图所示，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC．其中正确的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴AC∩PA＝A，BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF，∴③正确．又AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，∴①正确．又AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB，∴②正确．若AE⊥BC，则由AE⊥PB，得AE⊥平面PBC，此时E、F重合，与已知冲突，∴④错误．故选C．二、填空题4．已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥P－ABC外接球的体积为eq\r(6)π．[解析]如图所示取PB的中点O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．∴OA＝eq\f(1,2)PB，OC＝eq\f(1,2)PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O为外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝eq\r(2)，PB＝eq\r(6)，∴外接球的半径R＝eq\f(\r(6),2)．∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×(eq\f(\r(6),2))3＝eq\r(6)π．5．(2024·全国卷Ⅰ文，16)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为eq\r(2)．[解析]如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．又PE＝PF＝eq\r(3)，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\r(3)2－12)＝eq\r(2)．三、解答题6．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G．求证：AE⊥SB．[解析]因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE．因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE．又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB．7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝eq\r(7)，PA＝eq\r(3)，∠ABC＝120°.G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；(3)若G满意PC⊥平面BGD，求eq\f(PG,GC)的值．[解析](1)设点O为AC、BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD垂直平分线段AC．所以O为AC的中点，BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC．(2)连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角．由题意得OG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(3),2)．在△ABC中，因为AB＝BC，∠ABC＝120°，AO＝CO，所以∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝60°，所以AO＝OC＝AB·sin60°＝eq\r(3)．在Rt△OCD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝2．在Rt△OGD中，tan∠OG