全国初中数学竞赛各省市试题汇编

初中数学竞赛题汇编

江苏省南通市2013年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）（2013•南通）下列各数中，小于-3的数是（）

A.2B.1C.-2D.-4

考点：有理数大小比较

分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0,负数都小于0,正数都大于负数，两个

负数，其绝对值大的反而小）比较即可.

解答：解：/、2>-3,故本选项错误；

B,1>-3,故本选项错误；

C、V|-2|=2,|-3|=3,

二-2>-3,故本选项错误；

D、'：\-4\=4,|-3|=3,

A-4<-3,故本选项正确；

故选D

点评：本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：理数的大小比较法则是：正数都大

于0,负数都小于0,正数都大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小.

2.（3分）（2013•南通）某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学

记数法表示为（）

A.8.5xl04B.8.5xl05C.0.85xl04D.0.85xl05

考点：科学记数法一表示较大的数

分析：科学记数法的表示形式为"10〃的形式，其中上同<10,〃为整数.确定〃的值是易

错点，由于85000有5位，所以可以确定〃=5-1=4.

解答：解：85000=8.5x1()4.

故选4

点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定。与〃值是关键.

3.（3分）（2013•南通）下列计算，正确的是（）

.436.32「34/3\26

A.x-x=xBD.x-x=xC.=xD.^xy）=xy

考点：同底数募的除法；合并同类项；同底数塞的乘法；嘉的乘方与积的乘方

专题：计算题.

分析：/、本选项不能合并，错误；

2、利用同底数募的除法法则计算得到结果，即可做出判断；

C、利用同底数暮的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；

。、利用积的乘方与幕的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断.

解答：解：/、本选项不能合并，错误；

B、x6^-x3=x3,本选项错误；

C、x«x3=x4,本选项正确；

D、（孙D2=x2y6,本选项错误.

故选C.

点评：此题考查了同底数嘉的乘除法，塞的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练

掌握运算法则是解本题的关键.

4.（3分）（2013•南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数

考点：中心对称图形；轴对称图形

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后解答即可.

解答：解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；

第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；

第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；

第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；

第五个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；

综上所述，第三个和第五个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个.

故选用

点评：本题考查了轴对称图形与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重

合.

5.（3分）（2013•南通）有3c/，6cm,Scm,9cMy的四条线段，任选其中的三条线段组成一

个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

考点：三角形三边关系

分析：从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系,

舍去即可.

解答：解：四条木棒的所有组合：3,6,8和3,6,9和6,8,9和3,8,9；

只有3,6,8和6,8,9；3,8,9能组成三角形.

故选：C.

点评：此题主要考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意

两边之差〈第三边；注意情况的多解和取舍.

x+2

6.（3分）（2013•南通）函数飞K中，自变量X的取值范围是（)

A.x>lB.x>lC.x>-2D.x>-2

考点：函数自变量的取值范围

分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求

出X的范围.

解答：解：根据题意得：x-1>0,

解得：x>1.

故选/.

点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑:

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

7.(3分)(2013•南通)如图，用尺规作出/O2尸作图痕迹前是()

A.以点8为圆心，为半径的圆B.以点8为圆心，DC为半径的圆

C.以点E为圆心，为半径的圆D.以点E为圆心，DC为半径的圆

考点：作图一基本作图

分析：根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可.

解答：解：作尸的作法，由图可知，

①以点。为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线分别为点C,D；

②以点8为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线80、MB分别为点E,F；

③以点£为圆心，以CD为半径画圆，交射前于点N,连接瓦V即可得出则

ZOBF=ZAOB.

故选D

点评：本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键.

8.（3分）（2013•南通）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4c/w,

底面周长是6万57,则扇形的半径为（）

考点：圆锥的计算

分析：首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的母线长

就是扇形的半径.

解答：解：..,底面周长是6%

二底面的半径为3cm,

..,圆锥的高为4cm,

圆锥的母线长为：依+4。

...扇形的半径为5cm,

故选反

点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一个直角

三角形.

9.（3分）（2013•南通）小李与小陆从/地出发，骑自行车沿同一条路行驶到8地，他们离

出发地的距离S（单位：km）和行驶时间”单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根

据图中提供的信息，有下列说法：

（1）他们都行驶了20初?；

（2）小陆全程共用了1.5〃；

（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；

（4）小李在途中停留了0.5/z.

其中正确的有（）

sCkm)

A.4个D.1个

考点：一次函数的应用

专题：压轴题.

分析：首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得他们都行驶了20批；小陆从0.5时出

发，2时到达目的地，全程共用了：2-0.5=1.5/z；小李与小陆相遇后，他们距离目的

地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据

速度=路程+时间可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5小时后停留了0.5小

时，然后根据此信息分别对4种说法进行判断.

解答：解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20Q?，故原说法正确；

（2）根据图象可得：小陆全程共用了：2-05=1.5力，故原说法正确；

（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆

用1个小时到2地，小李用1.5个小时到3地，所以小李的速度小于小陆的速度，故

原说法正确；

（4）根据图象可得：表示小李的S-t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，

而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1-0.5R.5小时，故原说法正确.

故选

点评：此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.同学们要注意分析其中的

“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势.

10.（3分）（2013•南通）如图.R/ANBC内接于。O,8c为直径，AB=4,AC=3,。是靠的

中点，CD与AB的交点、为E,则变等于（）

DE

A.4B.3.5C.3D.2.8

考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.

专题：压轴题.

分析：利用垂径定理的推论得出。AF=BF,进而得出。尸的长和

再利用相似三角形的性质求出即可.

解答：解：连接。O,交AB于点F,

是定的中点，

J.DOLAB,AF=BF,

VAB=4f

：.AF=BF=2,

・•・八?是△力5C的中位线，AC//DO,

•・,5C为直径，AB=4,AC=3,

:.BC=5,

:.DO=25,

:・DF=25-1.5=1,

U：AC//DO,

：.△DEFs/\CEA,

.CE=AC

"DEDF，

•*•CE_—3—-o3,

DE1

故选c.

点评：此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出△。所

s^CEA是解题关键.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

11.（3分）（2013•南通）若反比例函数尸K的图象经过点/（1,2）,则依2.

x

考点：反比例函数图象上点的坐标特征

专题：压轴题.

分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点可得41x2=2.

解答：解：：反比例函数尸工的图象经过点/（1,2）,

X

；・k=lx2=2,

故答案为：2.

点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点

Cx,y）的横纵坐标的积是定值左，即盯=人.

12.（3分）（2013•南通）如图，直线48,CD相交于点。，OELAB,ZBOD=20°,贝l]/COE

等于70度.

考点：垂线；对顶角、邻补角

分析：根据对顶角相等求出//OC,根据垂直求出//OE,相减即可求出答案.

解答：解：VZBOD=20°,

：.ZAOC=ZBOD=20°,

'：OE±AB,

：.ZAOE=90°,

：.ZCOE=90°-20°=70°,

故答案为：70.

点评：本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出N4OE和//OC的大小.

13.（3分）（2013•南通）一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这

个几何体是球体.

考点：由三视图判断几何体

分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

解答：解：球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故答案为：球体.

点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考

查.

14.（3分）（2013•南通）如图，在比A48C中，CO是斜边上的中线，已知CD=2,/C=3,

则sinB的值是

考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线

分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出的长度，然后根据锐角三角函数

的定义求出sinB即可.

解答：解：：尺以/台。中，CD是斜边上的中线，CD=2,

：.AC=2CD=4,

则sinB=8=2

AB4

故答案为：3.

4

点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜

边上的中线定理和锐角三角函数的定义.

15.(3分)(2013•南通)已知一组数据5,8,10,x,9的众数是8,那么这组数据的方差

是2.8.

考点：方差；众数

分析：根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根

据方差公式进行计算即可.

解答：解：：一组数据5,8,10,无，9的众数是8,

•\x是8,

,这组数据的平均数是(5+8+10+8+9)+5=8,

.••这组数据的方差是：

1[(5-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(8-8)2+(9-8)勺=2.8.

5

故答案为：2.8.

点评：此题考查了众数、平均数和方差，掌握众数、平均数和方差的定义及计算公式是此题

的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数.一般地设〃个数据，X1，必，…的

s222

平均数为X，则方差5」](xi-X)+-X)+...+(xn-x)].

16.(3分)(2013•南通)如图，经过点8(-2,0)的直线片依+6与直线y=4x+2相交于点

A(-1,-2),则不等式4x+2<fcr+6<0的解集为-2<x<-I.

考点：一次函数与一元一次不等式

分析：由图象得到直线产依+6与直线产4x+2的交点/的坐标(-1,-2)及直线广位+6

与x轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x

轴下方的部分对应的x的取值即为所求.

解答：解：•.•经过点5(-2,0)的直线尸而+6与直线y=4x+2相交于点4(-1,-2),

二・直线产而+b与直线y=4x+2的交点Z的坐标为(-1,-2),直线产上x+6与x轴的

交点坐标为8（-2,0）,

又•.,当x<-1时，4x+2<kx+b,

当x>-2时，kx+b<0,

不等式4x+2<kx+b<0的解集为-2<x<-1.

故答案为-2<x<-1.

点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函

数>=办+6的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是

确定直线厂奴+6在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

17.（3分）（2013•南通）如图，在％BCD中，AB=6cm,AD=9cm,/R4D的平分线交8c

于点E,交DC的延长线于点尸，BGLAE,垂足为G,BG=^cm,则EF+CF的长为5

cm.

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质

专题：压轴题.

分析：首先，由于4E1平分NB4D,那么由可得内错角

ZBEA,等量代换后可证得即△/BE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线

合一”的性质得出/£=2/G,而在放△/BG中，由勾股定理可求得NG的值，即可求

得/£的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出斯，FC的长，即可得

出答案.

解答：解：平分/A4D,

ZDAE=ZBAE；

又,：ADUBC,

：./BEA=NDAE=NBAE,

：.AB=BE=6cm,

EC=9-6=3(cm),

U：BGLAE,垂足为G,

：.AE=2AG.

在MZXABG中，ZAGB=90°,AB=6cm,BG=4近cm,

AG=7AB2-BG2=2(C，

.,.AE=2AG=4cm；

:EC〃AD,

•EF「EC_FC_3_1

,,亚丽75"西丽万了

.EF_1FC_1

■*EF+4-3,FC+6下

解得：EF=2(cm),FC=3Cem),

：.EF+CF的长为5cm.

故答案为：5.

点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程

度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中.

18.（3分）（2013•南通）已知x=2加+〃+2和x=m+2〃时，多项式尤?+4x+6的值相等，且切-

〃+2加，则当x=3Cm+n+1）时，多项式d+4x+6的值等于3.

考点：二次函数的性质

专题：压轴题.

分析：先将x=2冽+〃+2和X=/M+2〃时，多项式d+4x+6的值相等理解为x=2冽+〃+2和x=n?+2〃

时，二次函数y=f+4x+6的值相等，则抛物线的对称轴为直线—的嗖建，又二次函

数y=f+4x+6的对称轴为直线x=-2,得出3/%+2=-2,化简得加+片-2,即可求

2

出当x=3（m+w+l）=3（-2+1）=-3时，X2+4X+6的值.

解答：解：,.•%=2加+〃+2和时，多项式f+4x+6的值相等，

.•.二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=2"n+j+"2n=3irrt~y2,

又•二次函数尸2+以+6的对称轴为直线尤=-2,

I/3n+2=_2,

2

.,.3〃z+3〃+2=-4,m+n=-2,

当x=3Qm+n+1）=3（-2+1）=-3时，

x?+4x+6=（-3）2+4X（-3）+6=3.

故答案为3.

点评：本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等.将％=2〃什〃+2和产切+2〃时，

多项式d+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2«时,二次函数尸d+©+6的值

相等是解题的关键.

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

19.（11分）（2013•南通）（1）计算：遍・后（兀-5.3）°-|-3b

2

（2）先化简，再求代数式的值：（1——L）♦里孕吐L,其中机=1.

2

"2m-4

考点：分式的化简求值；零指数幕；二次根式的混合运算

分析：（1）本题涉及零指数累、绝对值、二次根式化简三个考点.在计算时，需要针对每

个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；

（2）先通分，然后进行四则运算，最后将加=1代入.

解答：解：（1）V6-V2-（兀-5.3）°~|-3|

-3

=V3-3；

2

r1\•ID+21TtI1

（1-3）丁—2—-

/21r/-4

=_nH_-_2__-__1•__（_i_r_H-_2_）___（__m_-__2__）_

时2（irH-1）2

「IT|-2

nH-1

当机=1时，原式=-

2

点评：(1)主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类

题目的关键是熟练掌握零指数累、绝对值、二次根式等考点的运算；

(2)解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算.

20.(9分)(2013•南通)在平面直角坐标系xOy中，已知4(-1,5),B(4,2),C(-1,

0)三点.

(1)点N关于原点O的对称点4的坐标为(1,-5),点B关于x轴的对称点夕的坐

标为(4,-2),点C关于丁轴的对称点C的坐标为(1,0).

(2)求(1)中的△48。的面积.

考点：关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标

分析：(1)关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x轴对称的两点的横

坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相

同；

(2)根据点4(1,-5),B'(4,-2),C(1,0)在平面直角坐标系中的位置，

可以求得4c=5,B'D=3,所以由三角形的面积公式进行解答.

解答：解：(1)VA(-1,5),

.••点/关于原点。的对称点4的坐标为(1，-5).

,:B(4,2),

.••点8关于x轴的对称点9的坐标为(4,-2).

VC(-1,0),

.••点C关于y轴的对称点C的坐标为(1,0).

故答案分别是：(1,-5),(4,-2),(1,0).

(2)如图,-：A'(1,-5),B'(4,-2),C(1,0).

：.A'C'=\-5-0|=5,B'D=\4-1|=3,

...SA©B，C，=L'C”'D=L<5X3=7.5,即(1)中的△N'8'C'的面积是7.5.

22

点评：本题考查了关于原点、X轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积.解答（2）题时,

充分体现了“数形结合”数学思想的优势.

21.（8分）（2013•南通）某水果批发市场将一批苹果分为B,C,。四个等级，统计后

将结果制成条形图，已知/等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%.

回答下列问题：

（1）这批苹果总重量为4000彼;

（2）请将条形图补充完整；

（3）若用扇形图表示统计结果，则。等级苹果所对应扇形的圆心角为90度.

考点：条形统计图；扇形统计图

分析：（1）根据/等级苹果的重量肥等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%,求得这批

苹果总重量；

（2）求得C等级苹果的重量，补全统计图；

（3）求得。等级苹果的百分比，然后计算其所占的圆心角度数.

解答：解：（1）1200-30%=4000（kg）.

故这批苹果总重量为4000馆；

(2)4000-1200-1600-200=1000(kg),

将条形图补充为：

（3）工毁X360°=90°.

4000

故C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度.

故答案为：4000,90.

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中

得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇

形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22.（10分）（2013•南通）在不透明的袋子中有四张标着数字1,2,3,4的卡片，小明、

小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏.

小明画出树状图如图所示:

第一次

第二^

小华列出表格如下:

第一次1234

第二次

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)①(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

回答下列问题:

（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是，随机抽出一张卡片后不放回（填“放

回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；

（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为（3,2）；

（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为谁获胜的可能性大？为什么？

考点：列表法与树状图法

分析：（1）根据小明画出的树形图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以

判断;

（2）根据横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次可以得到答案；

（3）根据树状图和统计表分别求得其获胜的概率，比较后即可得到答案.

解答：解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，

•••小明的实验是一个不放回实验，

（2）观察表格发现其横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次，

（3）理由如下：

•••根据小明的游戏规则，共有12种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，

.•.概率为：-1=2.

123

•.•根据小华的游戏规则，共有16种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，

.•.概率为：_1=1,

162

.•.-2--^--1--

33

二小明获胜的可能性大.

故答案为不放回；（3,2）.

点评：本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可

能出现的结果数％再找出其中某一事件所出现的可能数"7,然后根据概率的定义可

计算出这个事件的概率=匹.

:用>0

23.（8分）（2013•南通）若关于x的不等式组，23恰有三个整数解,

、3x+5a+4>4(x+1)+3a

求实数。的取值范围.

考点：一元一次不等式组的整数解

分析：首先利用。表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定。的值.

解答：解：解工+史1>0,得%>-2；

235

解3%+5。+4>4(x+1)+3a,得x〈2a,

不等式组的解集为-2<X<2°.

5

W总>0

:关于x的不等式组<23恰有三个整数解，

X.3x+5a+4>4(x+l)+3a

：.2<2a<3,

解得1<°W.

2

点评：本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同

大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

24.(8分)(2013•南通)如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且/BAD=/CAE.

求证：四边形BCDE是矩形.

考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质

专题：证明题.

分析：求出/A4―/C4D,证△比推出BE=CD,得出平行四

边形BCDE,根据平行线性质得出/BEZ)+/CDE=18O。，求出/BE。，根据矩形的判

定求出即可.

解答：证明：VZBAD=ZCAE,

：.ZBAD-ZBAC=ZCAE-ZBAC,

：.ZBAE=ZCAD,

;在△B4E1和△C4。中

AE=AD

,ZBAE=ZCAD

LAB=AC

/.ABAE^/\CAD(SAS),

；./BEA=NCDA,BE=CD,

;DE=BC,

：.四边形BCDE是平行四边形,

;AE=AD,

：.ZAED=ZADE,

ZBEA=ZCDA,

：.ZBED=ZCDE,

四边形BCDE是平行四边形,

J.BE//CD,

/CDE+NBED=18Q°,

：.ZBED=ZCDE=90°,

二四边形8CDE是矩形.

点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质

和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平

行四边形是矩形.

25.（8分）（2013•南通）如图，ZX/BC内接于。。，N3是。。的直径，ZBAC=2ZB,QO

的切线4P与。。的延长线相交于点尸，若PA=*^cm,求/C的长.

考点：切线的性质

分析：根据直径求出乙4。2=90。，求出/2=30。，NA4c=60。，得出A4OC是等边三角形，

得出//OC=60。，OA=AC,

在瓦△（?/尸中，求出CM,即可求出答案.

解答：解：是。。直径，

ZACB=9Q°,

'：ZBAC=2ZB,

：.Z5=30°,NA4c=60。，

OA=OC,

：./\AOC是等边二角形，

ZAOC=60°,AC=OA,

:我是。O切线，

ZOAP=9Q°,

在瓦△O4P中，PA=6\13cm,ZAOP=60°,

：.OA=—!A_=^^=6,

tan60°V3

：.AC=OA=6.

点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定的应

用，主要考查学生的推理能力.

26.（8分）（2013•南通）某公司营销/、8两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售4种产品所获利润共万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系在

x=l时，y=1.4；当x=3时，y=3.6.

信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系尸0.3x.

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进/、2两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售工、2两种产

品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

考点：二次函数的应用

分析：（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；

（2）设购进/产品〃7吨，购进8产品（10-切）吨，销售/、8两种产品获得的利

润之和为沙元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到少与m的函数关

系式，再根据二次函数的最值问题解答.

解答：解：（1）当x=l时，尸1.4；当x=3时，y=3.6,

.（a+b=l.4

l9a+3b=3.6

解得产一°，1,

[b=l.5

所以，二次函数解析式为尸-0.1X2+I.5X；

（2）设购进/产品冽吨，购进2产品（10-加）吨，销售/、8两种产品获得的利

润之和为沙元，

则W=-0.1〃，+1.5机+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（.m-6）2+6.6,

：-0.K0,

当根=6时，少有最大值6.6,

,购进/产品6吨，购进2产品4吨，销售/、8两种产品获得的利润之和最大，最

大利润是6.6万元.

点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的

最值问题，比较简单，（2）整理得到所获利润与购进N产品的吨数的关系式是解题的

关键.

27.（13分）（2013•南通）如图，在及△4BC中，ZACB=90°,AC=^3,BC=3,ZXDE尸是

边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△£>£尸沿NC方向平移，使点。在线段

AC±,DE//AB,设△。斯与△NBC重叠部分的周长为7.

（1）求证：点E到NC的距离为一个常数；

（2）若ND二，当a=2时，求7的值；

4

（3）若点。运动到/C的中点处，请用含a的代数式表示T.

考点：相似形综合题

分析：（1）解直角三角形，求得点E到/C的距离等于17,这是一个定值；

2

（2）如答图2所示，作辅助线，将四边形MOEN分成一个等边三角形和一个平行四

边形，求出其周长；

（3）可能存在三种情形，需要分类讨论：

①若0<°辿，△£>£尸在△/8C内部，如答图3所示；

2

②若丫5<把旧，点E在△N8C内部，点尸在△N8C外部，在如答图4所示；

2

③若泥<a<3,点E、尸均在△NBC外部，如答图5所示.

解答：解：（1）由题意得：口〃/=•区=卫个巧，

ACM

：.ZA=60°.

'JDE//AB,

ZCDE=ZA=60°.

如答图1所示，过点E作EHLAC于点H,

答图1

则EH=DEsinZCDE=a-->L2=^a.

22

.•.点E到AC的距离为一个常数.

（2）若4D=工,当a=2时，如答图2所示.

4

A

答图2

设AB与DF、跖分别交于点必N.

/\DEF为等边三角形，，ZMDE=6Q°,

由(1)知/CD£=60。，

/4DAM80。-ZMDE-ZCDE=6Q°,

又：ZA=60°,

.,.△ADM为等边三角形，

：.DM=AD=^.

4

过点M作MG〃/C,交于点G,则/DMG=/4D任60。,

.♦.△DMG为等边三角形，

：.DG=MG=DM=^.

4

/.GE=DE-DG=2-工J.

44

VZMGD=ZE=60°,C.MG//NE,

又,：DE〃AB,

四边形MGEN为平行四边形.

：.NE=MG=-,MN=GE=1.

44

T=DE+DM+MN+NE=2+1+1+1-=H.

4444

(3)若点。运动到NC的中点处，分情况讨论如下：

①若0<°且1在△/8C内部，如答图3所示：

2

A

答图4

设与DF、跖分别交于点必N,过点M作MG〃/。交于点G.

与(2)同理，可知均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形.

/.DA^DG=NE=AD=^,MN=GE=DE-DG=a-返

22

T=DE+DM+MN+NE=a+^+(a-

2

③若如<a<3,点、E、尸均在△NBC外部，如答图5所示:

设AB与DF、斯分别交于点M、N,BC与DE、斯分别交于点尸、Q.

在中，CZ>=1NCD尸=60°,/DPC=30°,

_2

PC=CD-tan60°&^xJ^=&.

22

VZEPQ=ZDPC=3O°,ZE=60°,：,ZPQE=90°.

由⑴知，点me的距离为多*浮亳

：.QE=PQ-tan3Q0=（近q-卫）-近，PE=2QE=a-聪.

-22322~

由②可知，四边形MDEN的周长为2°+1

2_

，7=四边形MDEN的周长-PE-QE+PQ=（2a+近）-（a-眄）-（L-近）+

-222

苧-力等+2«逐

综上所述，若点。运动到NC的中点处，7的关系式为:

3a（0<a<9）

T=2a岑哼<a（《）

%+]a+2«--|（«<a<3）

点评：本题考查了运动型综合题，新颖之处在于所求是重叠部分的周长而非面积.难点在于

第（3）问，根据题意，可能的情形有三种，需要分类讨论，避免漏解.

28.（13分）（2013•南通）如图，直线尸质+6（6>0）与抛物线产」x2相交于点43,为），

8

B（X2,竺）两点，与x轴正半轴相交于点。，与V轴相交于点C,设△OCD的面积为S,

且上S+32=0.

（1）求6的值;

（2）求证：点（力，”）在反比例函数尸画的图象上;

（3）求证：x\*OB+y29OA=Q.

考点：二次函数综合题

专题：压轴题.

分析：（1）先求出直线广位+6与x轴正半轴交点。的坐标及与歹轴交点。的坐标，得到△

卜2

OCD的面积S=-邑，再根据左S+32=0,及6>0即可求出6的值；

2k

（2）先由y=kx+8,得x=-再将x=———^代入y=—x2,整理得/-（16+8A:2）^+64=0,

kk-8

然后由已知条件直线尸fcr+8与抛物线产2x2相交于点/（xi，yi）,B（如y2）两点，

8

知力，”是方程J-（16+8后）>+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系

得到％少2=64,即点（%，处）在反比例函数尸型的图象上；

22

（3）先由勾股定理，得出O/=xj+y；，OB=x^+y2,AB=（XJ-X2）2+（%-»）

2,由（2）得为6=64,又易得修・历=-64,贝IJ042+052=452,根据勾股定理的逆定

理得出//。8=90。.再过点/作轴于点£,过点8作8x轴于点尸，根据两

角对应相等的两三角形相似证明△/£OsZ\oEg,由相似三角形对应边成比例得到

里即可证明尤广08+乃・。4=0.

BOBF

解答：（1）解：•••直线尸船+6。>0）与x轴正半轴相交于点。，与>轴相交于点C,

.,.令x=0,得尸6；令y=0,x=--

：.AOCD的面积5=1（-也）5=-也;

2k2k

vm32=o,

卜2

：.k(-E-)+32=0,

2k

解得4±8,

'：b>0,

6=8；

（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=fcc+8,即x=£_§,

将X=T代入凸2,得工（口）2,

k-8-8k

整理，得丁-（16+8〃）产64=0.

二•直线>=而+8与抛物线y=ax2相交于点/3，歹1），B（必，>2）两点,

8

•二乃，歹2是方程9-（16+8必）y+64=0的两个根，

••・歹1>2=64,

•••点（力，为）在反比例函数厂型的图象上；

(3)证明：由勾股定理，得

22

"=x；+y；,O5=x2+y2,炖2=(修-M)+(力-歹2)\

由(2)得乃•72=64,

同理，将y=kx+S代入y=~^29

得kx+S=—x2,即f-8Ax-64=0,

8

.*.Xi*X2=-64,

2

.,.^5=x2+x2+y2+y2_2x^x2-2ji«j2=x2+x2+y2+y2(

又■.Q2+032=xj+y；+x"；,

/.OA2+OB2=AB2,

.♦.△048是直角三角形，ZAOB=90°.

如图，过点N作NE_Lx轴于点E,过点8作8b，x轴于点尸.

ZAOB=90°,

：.ZAOE=90°-ZBOF=ZOBF,

又：ZAEO=ZOFB=90°,

：.△AEOS^OFB,

■OA^OE

,•而丽’

*.*OE=-Xi,BF=y29

.OA^-X1

..而y2

,\x\*OB+y2*OA=0.

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点

的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的

关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中.求

出△OCQ的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到乃，”是方

程歹2-（16+8左之）＞+64=0的两个根，进而得出力・及=64是解第（2）问的关键；根据

函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出N

405=90。，是解第（3）问的关键.

2012年广东省初中数学竞赛初赛试题

考