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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年上海师大附中高二(下)期中数学试卷一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知事件A和B相互独立,且P(A)=25,P(B)=511A.211 B.311 C.12552.甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩(单位:厘米)如下:
甲组:244,245,245,246,248,251,251,253,254,255,257,263
乙组:239,241,243,245,245,247,248,249,251,252
则下列说法错误的是(
)A.甲组数据的第75百分位数是255
B.乙组数据的众数是245
C.从甲、乙两组各随机选取一个成员,两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为740
D.3.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是(
)A.f(x)在(−3,1)上是增函数 B.f(x)在(1,2)上是减函数
C.当x=2时,f(x)取得极小值 D.当x=4时,f(x)取得极小值4.已知偶函数f(x)(x∈R)的图象是一条连续不断的曲线,其导函数为f′(x),f(−3)=13,且当x>0时,xf′(x)+2f(x)>0,则不等式f(2x−1)>3(2x−1A.(−1,12) B.(−∞,12)∪(2,+∞)二、填空题:本题共12小题,每小题5分,共60分。5.已知函数f(x)在x=x0处可导,且Δx→0limf(x06.曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程是
.7.2名教师与3名学生站成一排照相,要求2名教师分别站在两侧,则不同的站法共有______种.8.二项式(3x−15x9.今年国际国内金价屡创新高,金价波动也被金融媒体竞相报道.现抽取2024年前11个月的每月1日的实物黄金价格数据如下表所示,则这组黄金价格数据的第75百分位数是______.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黄金价格(元/克)62461663069170871671473774376881510.某电子设备有两套相互独立的供电系统A和B,在时间T内系统A和系统B发生故障的概率分别为0.2和p.若在时间T内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94,则p=
.11.函数y=x2−4lnx
12.函数f(x)=2sinx−x,x∈[0,π]的最小值是______.13.记a,b,c,d,e,f为1,2,3,4,5,6的任意一个排列,则(a+b)(c+d)(e+f)为偶数的排列的个数共有______.14.若函数f(x)=ax2+cosx在x=0处取得极小值,则实数a15.已知函数f(x)=xlnx,x>0xex,x≤0,有下列命题:①f(x)的递增区间是(−1,0)和(1e,+∞);②f(x)有三个零点;③不等式f(x)≥−1e的解集为R;④关于16.已知关于x的方程x⋅ex−2−a(x+lnx)−2a=0在(0,1]上有两个不相等的实很,则实数三、解答题:本题共5小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)
已知函数f(x)=ax3−4x+b在x=2处取得极值,在点(0,f(0))处的切线方程为y=−4x+4.
(1)求函数f(x)的解析式及单调增区间;
(2)求函数f(x)在区间18.(本小题14分)
某商场开展一项促销活动,凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖,抽奖规则如下:在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球,其中红球2个,白球3个,黄球5个,顾客从箱子中摸出2个球,摸完后放回,根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况:A:1个红球1个白球,B:2个红球,C:2个白球,D:至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖,二等奖,三等奖,不中奖.
(1)求顾客摸到均为红球的概率;
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率.19.(本小题14分)
某中学高二年级举行了一次知识竞赛,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩x(单位:分,得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计,将成绩进行整理后,分为六组(如图):
(1)求m的值,并估计本次竞赛成绩的平均分.
(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为[70,80)和[80,90)的学生中共抽取6人,再从6人中选2人,求2人中有来自[80,90)组的学生的概率.
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数:x1,x2,x3,x4,x5,x6,已知这6个分数的平均数x−=85,标准差20.(本小题14分)
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件.已知每件产品的售价为40元时,该产品的一年销售量为500万件,经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元.
(1)求k的值;
(2)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式;
(3)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L(x)最大,并求出21.(本小题14分)
函数f(x)的导函数记为f′(x),若对f(x)的定义域A内任意x,存在实数λ,使得不等式f(x+λ)≥(λ+1)f′(x)成立,则称f(x)为A上的“T(λ)函数”.
(1)判断函数f(x)=cosx是否为[0,π2]上的“T(π2)函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=mex−x是(1,+∞)上的“T(1)函数”,求m的取值范围;
(3)若函数f(x)=x2−nx是[0,2]上的“T(2)函数”,且存在n,对任意x1参考答案1.C
2.A
3.D
4.D
5.9
6.x−y+1=0
7.12
8.−18
9.743
10.0.3
11.(0,12.−π
13.432
14.[115.①③④
16.(117.解:(1)根据函数f(x)=ax3−4x+b,那么导函数f′(x)=3ax2−4,
由于f(x)在x=2处取得极值,那么f′(2)=12a−4=0,即a=13,
此时函数f(x)=13x3−4x+b,那么导函数f′(x)=x2−4,
令f′(x)<0,得−2<x<2;令f′(x)>0,得x<−2或x>2,
因此f(x)在(−2,2)上单调递减,在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=2处取得极小值,则a=13,
又函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=−4x+4,
则f(0)=b=4,所以f(x)=13x3−4x+4,
单调递增区间为(−∞,−2)和(2,+∞).
(2)由(1)知,函数f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,
又f(0)=4,f(2)=−43,f(3)=1,
所以函数f(x)的最大值为4,最小值为−43.
18.解:(1)设事件B表示顾客摸到均为红球,
则顾客摸到均为红球的概率为:
P(B)=C22C102=145.
(2)将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况:
A:1个红球1个白球,B:2个红球,C:2个白球,D:至少一个黄球.
则P(A)=C21C31C102=215,
P(B)=C22C102=145,
P(C)=C32C102=115.
P(D)=1−C52C102=79,
∵四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖,二等奖,三等奖,不中奖,
∴顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率分别为145,115,215.
19.解:(1)根据题意可得10×(0.010+m+0.025+0.030+m+0.005)=1,解得m=0.015,
所以平均数估计为x−=10×(0.010×45+0.015×55+0.025×65+0.030×75+0.015×85+0.005×95)=69分;
(2)若从样本成绩为[70,80)和[80,90)的学生中共抽取6人,
且成绩在[70,80)的人数为6×0.30.3+0.15=4人,
在[70,80)的人数为6×0.150.3+0.15=2人,
即从[70,80)的学生中取4人,从[80,90)中取2人,
设这6名学生分别为1,2,3,4,5,6,2人中有来自[80,90)组的学生的概率为P,
则基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共有15种基本事件,
符合条件的有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共9种,
故21.解:(1)因为f(x)=cosx,所以f′(x)=−sinx.
因为当x∈[0,π2]时,cos(x+π2)−(π2+1)(−sinx)=π2sinx≥0,
即x∈[0,π2]时,cos(x+π2)≥(π2+1)(−sinx).
所以对任意x∈[0,π2]恒成立,所以f(x)=cosx是x∈[0,π2]上的“T(π2)函数”.
(2)f′(x)=mex−1,
根据“T(1)函数”的定义,问题转化成mex+1−x−1≥2(mex−1)在(1,+∞)上恒成立,
所以m(e−2)≥x−1ex在(1,+∞)上恒成立.
设φ(x)=x−1ex,x>1,则φ′(x)=2−xex,x>1,
当1<x<2时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增;当x>2时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减,
所以φ(x)max=φ(2)
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