2024-2025学年上海师大附中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海师大附中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知事件A和B相互独立，且P(A)=25,P(B)=511A.211 B.311 C.12552.甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩(单位：厘米)如下：

甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263

乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252

则下列说法错误的是(

)A.甲组数据的第75百分位数是255

B.乙组数据的众数是245

C.从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为740

D.3.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(

)A.f(x)在(−3,1)上是增函数 B.f(x)在(1,2)上是减函数

C.当x=2时，f(x)取得极小值 D.当x=4时，f(x)取得极小值4.已知偶函数f(x)(x∈R)的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为f′(x)，f(−3)=13，且当x>0时，xf′(x)+2f(x)>0，则不等式f(2x−1)>3(2x−1A.(−1,12) B.(−∞,12)∪(2,+∞)二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.已知函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(x06.曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程是

．7.2名教师与3名学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有______种.8.二项式(3x−15x9.今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道.现抽取2024年前11个月的每月1日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第75百分位数是______．月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黄金价格(元/克)62461663069170871671473774376881510.某电子设备有两套相互独立的供电系统A和B，在时间T内系统A和系统B发生故障的概率分别为0.2和p.若在时间T内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则p=

．11.函数y=x2−4lnx

12.函数f(x)=2sinx−x，x∈[0,π]的最小值是______．13.记a，b，c，d，e，f为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则(a+b)(c+d)(e+f)为偶数的排列的个数共有______．14.若函数f(x)=ax2+cosx在x=0处取得极小值，则实数a15.已知函数f(x)=xlnx,x>0xex,x≤0，有下列命题：①f(x)的递增区间是(−1,0)和(1e,+∞)；②f(x)有三个零点；③不等式f(x)≥−1e的解集为R；④关于16.已知关于x的方程x⋅ex−2−a(x+lnx)−2a=0在(0,1]上有两个不相等的实很，则实数三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=ax3−4x+b在x=2处取得极值，在点(0,f(0))处的切线方程为y=−4x+4．

(1)求函数f(x)的解析式及单调增区间；

(2)求函数f(x)在区间18.(本小题14分)

某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．

(1)求顾客摸到均为红球的概率；

(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率．19.(本小题14分)

某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组(如图)：

(1)求m的值，并估计本次竞赛成绩的平均分．

(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为[70,80)和[80,90)的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自[80,90)组的学生的概率．

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：x1，x2，x3，x4，x5，x6，已知这6个分数的平均数x−=85，标准差20.(本小题14分)

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．

(1)求k的值；

(2)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式；

(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大，并求出21.(本小题14分)

函数f(x)的导函数记为f′(x)，若对f(x)的定义域A内任意x，存在实数λ，使得不等式f(x+λ)≥(λ+1)f′(x)成立，则称f(x)为A上的“T(λ)函数”．

(1)判断函数f(x)=cosx是否为[0,π2]上的“T(π2)函数”，并说明理由；

(2)若函数f(x)=mex−x是(1,+∞)上的“T(1)函数”，求m的取值范围；

(3)若函数f(x)=x2−nx是[0,2]上的“T(2)函数”，且存在n，对任意x1参考答案1.C

2.A

3.D

4.D

5.9

6.x−y+1=0

7.12

8.−18

9.743

10.0.3

11.(0,12.−π

13.432

14.[115.①③④

16.(117.解：(1)根据函数f(x)=ax3−4x+b，那么导函数f′(x)=3ax2−4，

由于f(x)在x=2处取得极值，那么f′(2)=12a−4=0，即a=13，

此时函数f(x)=13x3−4x+b，那么导函数f′(x)=x2−4，

令f′(x)<0，得−2<x<2；令f′(x)>0，得x<−2或x>2，

因此f(x)在(−2,2)上单调递减，在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递增，

所以函数f(x)在x=2处取得极小值，则a=13，

又函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=−4x+4，

则f(0)=b=4，所以f(x)=13x3−4x+4，

单调递增区间为(−∞,−2)和(2,+∞)．

(2)由(1)知，函数f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，

又f(0)=4,f(2)=−43,f(3)=1，

所以函数f(x)的最大值为4，最小值为−43．

18.解：(1)设事件B表示顾客摸到均为红球，

则顾客摸到均为红球的概率为：

P(B)=C22C102=145．

(2)将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：

A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球．

则P(A)=C21C31C102=215，

P(B)=C22C102=145，

P(C)=C32C102=115．

P(D)=1−C52C102=79，

∵四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖，

∴顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率分别为145，115，215．

19.解：(1)根据题意可得10×(0.010+m+0.025+0.030+m+0.005)=1，解得m=0.015，

所以平均数估计为x−=10×(0.010×45+0.015×55+0.025×65+0.030×75+0.015×85+0.005×95)=69分；

(2)若从样本成绩为[70,80)和[80,90)的学生中共抽取6人，

且成绩在[70,80)的人数为6×0.30.3+0.15=4人，

在[70,80)的人数为6×0.150.3+0.15=2人，

即从[70,80)的学生中取4人，从[80,90)中取2人，

设这6名学生分别为1，2，3，4，5，6，2人中有来自[80,90)组的学生的概率为P，

则基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15种基本事件，

符合条件的有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9种，

故21.解：(1)因为f(x)=cosx，所以f′(x)=−sinx．

因为当x∈[0,π2]时，cos(x+π2)−(π2+1)(−sinx)=π2sinx≥0，

即x∈[0,π2]时，cos(x+π2)≥(π2+1)(−sinx)．

所以对任意x∈[0,π2]恒成立，所以f(x)=cosx是x∈[0,π2]上的“T(π2)函数”．

(2)f′(x)=mex−1，

根据“T(1)函数”的定义，问题转化成mex+1−x−1≥2(mex−1)在(1,+∞)上恒成立，

所以m(e−2)≥x−1ex在(1,+∞)上恒成立．

设φ(x)=x−1ex，x>1，则φ′(x)=2−xex，x>1，

当1<x<2时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当x>2时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，

所以φ(x)max=φ(2)