2025年山东济宁高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年高考模拟考试数学试题2025.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知是关于的方程的一个根，则（）A．2 B．3 C．5 D．3．已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（）A． B．1 C． D．24．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知为等比数列，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．8．已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（）A．若，互斥，则B．若，相互独立，则C．若，相互独立，则D．若，则10．已知函数，则下列结论正确的是（）A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期C．在上为增函数 D．11．已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（）A． B．点的轨迹长度为C．线段长度的最小值为 D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数则的值为.13．已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为.14．箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)证明：；(2)若的面积为，证明为等边三角形.16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，.(1)证明：平面平面；(2)若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值.17．已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上，(1)求的方程；(2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值.18．已知函数，.(1)讨论零点的个数；(2)若，求实数的取值范围.19．将所有正整数按照如下规律形成数阵：第1行

1

2

3

……

7

8

9第2行

10

11

12

……

97

98

99第3行

100

101

102

……

997

998

999第4行

1000

1001

1002

……

9997

9998

9999…………(1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置；(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为.（i）求，，；（ii）求.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】先求出集合，再根据补集和交集运算即可.【详解】或，，，.故选：C.2．D【分析】将代入化简整理有，即解出，最后求复数的模即可.【详解】将代入有：，化简整理有，即，解得，所以，故选：D.3．B【分析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有即可得，再求高，进而得圆锥的体积即可求解.【详解】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有，又，所以，故选：B.4．A【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.【详解】是由与复合而成，在中，，，所以在上单调递减.因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为.二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，则对称轴需满足，解得.故选：A.5．C【分析】由等比中项的性质及充分条件和必要条件的定义可得结果.【详解】由题意知，为等比数列，当时，得，所以，故充分性成立；当时，，解得，又同号，所以，故必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C.6．D【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为的形式，然后根据的取值范围求出的取值范围，再结合图象与性质，找出函数在给定区间上有且仅有个零点时的取值范围．【详解】对进行化简：令，即，则．根据正弦函数的性质，所以或，解得或．因为且，当时，，；当时，，．如图函数和大致图像，由于函数在区间上有且仅有个零点，则需满足，解不等式组得到可得．所以实数的取值范围是．故选：D．7．C【分析】由题意得直线过圆心，即得，利用基本不等式即可求解.【详解】由得，所以圆心为，又圆关于直线对称，则直线过圆心，即，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以，故选：C.8．A【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解.【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点，所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，，由椭圆的对称性可得，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形是矩形，所以，，所以点在圆上，则，解得，代入椭圆方程，又，可得：，设（），则上式可化为，化简可得，即，因为，所以，解得.所以椭圆的离心率为.故选：A.9．ACD【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断.【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式.已知，，则，所以选项正确.对于选项，若，相互独立，则与也相互独立.因为，所以，所以选项错误.对于选项，若，相互独立，则.根据概率的加法公式，将，，代入可得：，所以选项正确.对于选项，已知，，则.，.根据条件概率公式，所以选项正确.故选：ACD.10．ABD【分析】利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D.【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；对于B，，所以的一个周期是，故B正确；对于C，令，当时，在上单调递减，且，在上单调递增，则在上单调递减，所以在上单调递减函数，故C错误；对于D，因为，令，则，求导得，由于，所以，单调递增.当时，取得最大值；当时，取得最小值.因为，所以，即，故D正确.故选：ABD.11．ACD【分析】根据平面平面，可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，建立空间直角坐标，利用数量积公式计算，依次判断可选项可求得结果.【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，正方体的内切球的球心为正方体的中心，半径，平面的法向量：，，设，由，即，令，则，，所以.对于选项A，，因为平面，所以，而，所以，即，A正确.对于选项B，因为平面，平面平面，所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.设平面与正方体的中心的距离，设平面的法向量为，，，设，由，可得，令，则.，∴点到平面的距离为，∴圆的半径为，∴圆的周长，即点的轨迹长度为，B错误.对于选项C，，点在球面上，线段长度的最小值为，C选项正确.对于选项D，设与夹角为，，.在平面直角坐标系中，，，，，，，所以，令，，，所以的最小值为，D选项正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点的轨迹为平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，结合条件计算圆的半径，结合点与圆的位置关系求解计算.12．【分析】由分段函数先求，再求即可.【详解】由题意有，所以，故答案为：.13．【分析】设点，由抛物线的定义有，两点间的距离公式有，即，只需的最大值即可.【详解】由题意得，设点，则，由抛物线的定义有，，所以，又，由，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，所以，当时，，得点，所以，故答案为：.14．【分析】利用条件概率和乘法公式分类讨论，最后利用全概率公式即可求解.【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则，当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种，第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为，所以当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球，所以，所以，当时，不满足题意，所以综上.故答案为：.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用正弦定理角换边即可；（2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理即可得到，则得其为等边三角形.【详解】（1）由正弦定理得，即，所以，所以，所以，由正弦定理得．（2）因为，所以，因为，所以为锐角，所以．由余弦定理得，又，代人化简得，所以，所以为等边三角形．16．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定得平面，从而有，再利用面面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，根据线面角定义得，再求出相关法向量即可得到，面面角余弦值.【详解】（1）设为的中点，连接，因为为的中点，所以，又，所以，所以与必相交．因为，所以，又，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面`．（2）设，分别为的中点，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以，以为坐标原点，$OA，OG，OP$所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．由（1）知平面，所以即为直线与平面所成的角，所以，设，则，所以．因为平面，所以平面的法向量为．设平面的法向量为，又，所以，取，所以平面与平面夹角的余弦值为.17．(1)(2)证明见解析，直线的倾斜角为定值【分析】（1）由题意即可得即，又点在双曲线上，即可解出；（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，得韦达定理，又的平分线与轴垂直，得，即得，代入韦达定理即可得证.【详解】（1）由题意有，又点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的方程为；（2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设所以，所以，由韦达定理有：，又因为的平分线与轴垂直，所以，即，所以，即，所以，即，所以或，当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意，所以，设倾斜角为，即，，即直线的倾斜角为定值.

18．(1)答案见解析；(2).【分析】（1）令，则，设，利用导数研究其单调性和最值，从而得到其零点个数；（2）首先分析得时成立，再分离参数得，对恒成立，利用导数研究右边的最值即可.【详解】（1）时，，令，则，所以，时，在上单调递减，时，在上单调递增，又时，时，，时，，时，，所以，①当时，无零点，②或时，有1个零点，③当时，有2个零点.（2）当时，由得，所以，等价于对恒成立．即对恒成立，令，则，当，当，在内单调递减，在内单调递增，，又对恒成立所以，时成立，当时，，显然成立．当时，等价于或，即或对于，取，得，与矛盾，故不成立，对于，即，对恒成立，令，则，在内单调递减，，所以，，综上，实数的取值范围是.19．(1)是数阵第4行，第3097个数．(2)（i），，；（ii）.【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置；（2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到；（ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项.【详解】（1）设，因为，，所以，所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数，所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项，所以，，故，所以，是数阵第4行，第3097个数．（2）（i）当时，显然．当时，第2行2位数有90个，其中只有12