江苏省南京市溧水县重点名校2024-2025学年初三下学期综合练习（二）数学试题试卷含解析

江苏省南京市溧水县重点名校2024-2025学年初三下学期综合练习（二）数学试题试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．内角和为540°的多边形是（）A． B． C． D．2．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为()A．m≤－1 B．m<－1 C．－1<m≤0 D．－1≤m<03．如果菱形的一边长是8，那么它的周长是（）A．16 B．32 C．163 D．3234．下列命题中，真命题是（）A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离5．下列计算正确的是()A． B． C． D．6．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（）A．（2，-3） B．（-3,3） C．（2,3） D．（-4,6）7．如图，在中，,,,点分别在上，于，则的面积为（）A． B． C． D．8．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（）A． B． C． D．9．已知一个正n边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有（）A．5条 B．6条 C．8条 D．9条10．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．不等式组的整数解是_____．12．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____．13．分解因式：________．14．某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，求银杏树和玉兰树的单价.设银杏树的单价为x元，可列方程为______.15．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1

的图象经过原点，则a的值为______．16．如图,在△ABC中,AB≠AC．D,E分别为边AB,AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)

17．某校体育室里有球类数量如下表：球类篮球排球足球数量354如果随机拿出一个球（每一个球被拿出来的可能性是一样的），那么拿出一个球是足球的可能性是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．19．（5分）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）20．（8分）观察下列多面体，并把下表补充完整.名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数61012棱数912面数58观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.21．（10分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A60≤x＜70170.17B

70≤x＜80

30

aC

80≤x＜90

b

0.45D

90≤x＜100

8

0.08请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中a=______，b=______；(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（10分）如图，在平行四边形中，的平分线与边相交于点．（1）求证；（2）若点与点重合，请直接写出四边形是哪种特殊的平行四边形．23．（12分）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，DF⊥AE于点F，求证：∠AEB＝∠CDF.24．（14分）如图，在中，，是边上的高线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，为的直径．（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的半径．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】试题分析：设它是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=140°，解得n=1．故选C．考点：多边形内角与外角．2、A【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m的不等式，就可以求出m的取值范围了.【详解】，解不等式①得：x<m，解不等式②得：x>-1，由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.3、B【解析】

根据菱形的四边相等，可得周长【详解】菱形的四边相等∴菱形的周长=4×8=32故选B．本题考查了菱形的性质，并灵活掌握及运用菱形的性质4、D【解析】

根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；故选：D．本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．5、A【解析】

原式各项计算得到结果，即可做出判断．【详解】A、原式=，正确；

B、原式不能合并，错误；

C、原式=，错误；

D、原式=2，错误．

故选A．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、A【解析】

设反比例函数y=（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．【详解】设反比例函数y=（k为常数，k≠0），∵反比例函数的图象经过点（-2，3），∴k=-2×3=-6，而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，∴点（2，-3）在反比例函数y=-的图象上．故选A．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．7、C【解析】

先利用三角函数求出BE=4m，同（1）的方法判断出∠1=∠3，进而得出△ACQ∽△CEP，得出比例式求出PE，最后用面积的差即可得出结论；【详解】∵，

∴CQ=4m，BP=5m，

在Rt△ABC中，sinB=，tanB=，

如图2，过点P作PE⊥BC于E，

在Rt△BPE中，PE=BP•sinB=5m×=3m，tanB=，

∴，

∴BE=4m，CE=BC-BE=8-4m，

同（1）的方法得，∠1=∠3，

∵∠ACQ=∠CEP，

∴△ACQ∽△CEP，

∴,∴，

∴m=，

∴PE=3m=，

∴S△ACP=S△ACB-S△PCB=BC×AC-BC×PE=BC（AC-PE）=×8×（6-）=，故选C.本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算方法，判断出△ACQ∽△CEP是解题的关键．8、B【解析】

连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案．【详解】解：连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝60°，∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，∴的长＝＝；故选B．本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．9、D【解析】

多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n﹣3，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴每个外角是60度，则多边形的边数为360°÷60°＝6，则该多边形有6个顶点，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6﹣3＝3条．∴这个多边形的对角线有（6×3）＝9条，故选：D．本题主要考查多边形内角和与外角和及多边形对角线，掌握求多边形边数的方法是解本题的关键．10、B【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、﹣1、0、1【解析】

求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出答案．【详解】，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，不等式组的整数解为-1,0，1.故答案为：-1,0，1.本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解，解题关键是注意解集范围从而得出整数解.12、（，）【解析】

连接AC，根据题意易证△AOC∽△COB，则，求得OC=2，即点C的坐标为（0，2），可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将C点坐标代入求解，最后将解析式化为顶点式即可.【详解】解：连接AC，∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，∴OA=1，OB=4，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵CO⊥AB，∴∠ABC+∠BCO=90°，∴∠CAB=∠BCO，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴，即=，解得OC=2，∴点C的坐标为（0，2），∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），把点C的坐标代入得，a（0+1）（0﹣4）=2，解得a=﹣，∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣（x2﹣3x﹣4）=﹣（x﹣）2+，∴此抛物线顶点的坐标为（，）．故答案为：（，）．本题主要考查相似三角形的判定与性质，抛物线的顶点式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，利用相似三角形的性质求得关键点的坐标.13、(a+1)(a-1)【解析】

根据平方差公式分解即可.【详解】(a+1)(a-1).故答案为：(a+1)(a-1).本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.14、【解析】

根据银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据“某小区购买了银杏树和玉兰树共1棵”列出方程即可．【详解】设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意，得：1．故答案为：1．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．15、-1【解析】

将（2，2）代入y=（a-1）x2-x+a2-1即可得出a的值．【详解】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1的图象经过原点，∴a2-1=2，∴a=±1，∵a-1≠2，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为-1．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象过原点，可得出x=2时，y=2．16、或【解析】因为，,，所以,欲使与相似，只需要与相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.【方法点睛】在解决本题目，直接处理与，无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过，与相似.这时，柳暗花明，迎刃而解.17、【解析】

先求出球的总数,再用足球数除以总数即为所求.【详解】解：一共有球3+5+4=12（个）,其中足球有4个,∴拿出一个球是足球的可能性=.本题考查了概率,属于简单题,熟悉概率概念,列出式子是解题关键.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）y=﹣x2﹣2x+1；（2）（﹣，）【解析】

（1）将A（-1，0），B（0，1），C（1，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+1，则可设P点的坐标为（x，-x2-2x+1），E点的坐标为（x，x+1），那么PE=（-x2-2x+1）-（x+1）=-（x+）2+，根据二次函数的性质可知当x=-时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=-代入-x2-2x+1，进而得到P点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1；（2）∵A（﹣1，0），B（0，1），∴OA=OB=1，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°．∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PE越大，△PDE的周长越大．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得，即直线AB的解析式为y=x+1．设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+1），E点的坐标为（x，x+1），则PE=（﹣x2﹣2x+1）﹣（x+1）=﹣x2﹣1x=﹣（x+）2+，所以当x=﹣时，PE最大，△PDE的周长也最大．当x=﹣时，﹣x2﹣2x+1=﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+1=，即点P坐标为（﹣，）时，△PDE的周长最大．本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中．19、至少涨到每股6.1元时才能卖出.【解析】

根据关系式：总售价-两次交易费≥总成本+1000列出不等式求解即可．【详解】解：设涨到每股x元时卖出，根据题意得1000x-（5000+1000x）×0.5%≥5000+1000，解这个不等式得x≥，即x≥6.1．答：至少涨到每股6.1元时才能卖出．本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据“总售价-两次交易费≥总成本+1000”列出不等关系式．20、8，15，18，6，7；【解析】分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+1）个面，1n个顶点和3n条棱，进而得出答案，利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．详解：填表如下：名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数a681011棱数b9111518面数c5678根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+1个面，共有1n个顶点，共有3n条棱；故a，b，c之间的关系：a+c-b=1．点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+1）个面，1n个顶点和3n条棱是解题关键．21、（1）0.3，45；（2）108°；（3）．【解析】

（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人）．故答案为0.3，45；（2）360°×0.3=108°．答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°．（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22、（1）见解析；(2)菱形.【解析