2025年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）正六边形的内角和为（）A．180° B．360° C．720° D．1440°3．（3分）截至2025年1月31日（上线21天），DeepSeek日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过豆包的日活跃用户数（）A．2.215×104 B．2.215×105 C．2.215×106 D．2.215×1074．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线a上，那么∠2等于（）A．45° B．50° C．55° D．60°5．（3分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若CO＝BO（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．16．（3分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米（）A．＝2 B．＝2 C．＝2 D．＝27．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BD，若∠B＝32°（）A．64° B．36° C．32° D．26°8．（3分）如果m+n＝1，那么代数式的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．39．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，PQ＝；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）当x＝时，的值最小．12．（3分）分解因式：mx2﹣9m＝．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，把它沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体的侧面积是．（结果保留π）14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，则k1+k2的值为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，E是AB边的中点，F是射线BC上的动点，连接BD，则B′D的最小值是．16．（3分）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+22+1×10+2．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，满十六进一十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…将十六进制数1A6转换为十进制数为，十六进制下A×B＝．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：﹣1．18．（4分）解不等式组：．19．（6分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F分别在AB，AD上，连接EF，并延长EF交CD的延长线于点G．（1）求证：AC⊥EF；（2）若BD＝4，，求菱形ABCD的面积．21．（8分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，5，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，对应的数字作为这个两位数的十位数．（1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数；（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率．22．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．若点O是△ABC的外心，∠ABC的平分线交圆O于点D，连接AD（1）尺规作图：作出圆O及角平分线BD（保留作图痕迹，不写作法）．请证明：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，延长DF交圆O于点M，连接CM．若AD＝CM23．（10分）如图，已知A（9，0），B（0，3）是平面直角坐标系中两点，点P在线段AB上，AB＝3BP．（1）反比例函数的图象交AB于P，D两点；（2）在（1）的条件下，点N为x轴正半轴上一动点，将线段DN绕点N逆时针旋转90°，点D的对应点M恰好落在此反比例函数图象上24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，B两点的一个动点，连接CE，交射线DA于点F．（1）如图，点E在线段AB上，①求证：△ABF∽△BCE；②连接DG，设四边形CDGB的面积为S，在点E运动的过程中，求k的最小值．（2）在点E运动的过程中，是否存在使D，F，G，C四点构成的四边形为轴对称图形，求出AE相应的长；若不存在25．（12分）抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴分别交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，点（1）求c的值；（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD＝DE；（3）若a＞0，过点C作直线l⊥y轴，线段MN在l上运动（点M在点N左侧，点M与点C不重合），过点M作MP⊥x轴交抛物线于点P，过点N作NQ⊥x轴交抛物线于点Q△PMN+4S△QMN＝2a时，求点M的坐标．

2025年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCD．BCADAAB一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形．故选：B．2．（3分）正六边形的内角和为（）A．180° B．360° C．720° D．1440°【解答】解：（6﹣2）×180°＝720°，故选：C．3．（3分）截至2025年1月31日（上线21天），DeepSeek日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过豆包的日活跃用户数（）A．2.215×104 B．2.215×105 C．2.215×106 D．2.215×107【解答】解：2215万＝22150000＝2.215×107．故选：D．4．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线a上，那么∠2等于（）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：∵a∥b，∴∠BAC＝∠1＝40°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝50°，∴∠2＝∠ACB＝50°．故选：B．5．（3分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若CO＝BO（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．1【解答】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，因为CO＝BO，所以|a﹣1|＝7，解得a＝﹣2或4，∵a＜7，∴a＝﹣2．故选：C．6．（3分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米（）A．＝2 B．＝2 C．＝2 D．＝2【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：﹣，故选：A．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BD，若∠B＝32°（）A．64° B．36° C．32° D．26°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠AOC＝2∠B＝64°，∴∠C＝90°﹣∠AOC＝26°．故选：D．8．（3分）如果m+n＝1，那么代数式的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵m+n＝1，∴＝•（n﹣m）（n+m）+＝﹣+＝＝＝﹣6．故选：A．9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c【解答】解：当m＞0时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴a+b＝c+d＝5，且b﹣a＞d﹣c；当m＜0时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＜d﹣c．故选：A．10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，PQ＝；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①在△AQD中，AQ+AD＞QD，∵，∴AQ+PQ＞QD，即AP＞QD，当Q点与A点重合时，∴AP≥QD．在△BCP中，BP+PC＞BC，∵BC＝AB，∴BP+PC＞AB，∴BP+PC＞AP+BP，∴PC＞AP，当P点与B点重合时PC＝AP＝3，∴PC≥AP．综上，当Q点与A点重合时；当P点与B点重合时，PC≥AP＞QD；当P、Q不与A，PC＞AP＞QD；∴CP与QD不可能相等，故①错误．②设AQ＝x，∵，AB＝3，∴，∴0≤x≤4.5．假设△AQD与△BCP相似，∵∠A＝∠B，∴，∴，整理得，2x2﹣6x+3＝0，解得：x5＝1，x2＝8.5，∵0≤x≤4.5，∴x＝1或3.5都符合题意，∴△AQD与△BCP可能相似，故②正确．③如图，过P作PE⊥BC于E，过C点作CG⊥AB于G点．设AQ＝x，则，∴0≤x≤2.8，∵∠B＝60°，∴，∴，∵∠A＝60°，，∴，∴，∵△ABC中，AB＝BC＝3，∴，，∴S四边形PCDQ＝S△ABC﹣S△PBC﹣S△ADQ＝＝，∵S随x的增大而增大，∴当x取最大值3.5时，S的值最大，∴，故③正确．④如图，作D点关于直线AB的对称点D1，作D4D2∥AB，且，连接CD7交AB于P点，将P点沿射线PA平移，连接DQ、D3Q，AD1，则，QD1＝QD，且四边形D4D2PQ是平行四边形，∴PD2＝QD6＝QD，则四边形PCDQ的周长＝CD+PQ+QD+PC＝2.5+7.5+PD2+PC＝5+CD2，此时四边形PCDQ的周长最小．连接AD2，∵∠D6AB＝∠DAB＝60°，且D1D2∥AB，∴∠AD2D2＝180°﹣∠D1AB＝120°，∵，∴，且∠D2AC＝90°，∴，在Rt△D2AC中，，∴四边形PCDQ的周长的最小值为，故④错误．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）当x＝3时，的值最小．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣2＝0，的最小值为0，故答案为：312．（3分）分解因式：mx2﹣9m＝m（x+3）（x﹣3）．【解答】解：原式＝m（x2﹣9）＝m（x+6）（x﹣3）．故答案为：m（x+3）（x﹣4）．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，把它沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体的侧面积是π．（结果保留π）【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝＝7，∵×CD×AB＝，∴CD＝＝，把Rt△ABC沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，DC为半径的圆，∴这个几何体的侧面积＝×2π××7π×π．故答案为π．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，则k1+k2的值为0．【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0上，∴k8＝ab；又∵点A与点B关于x轴的对称，∴B（a，﹣b）∵点B在双曲线y＝上，∴k2＝﹣ab；∴k8+k2＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：3．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，E是AB边的中点，F是射线BC上的动点，连接BD，则B′D的最小值是4．【解答】解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，E是AB边的中点，∴AE＝BE＝AB＝6，∴DE＝＝＝10，∵将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，∴B′E＝BE＝6，∵B′D+B′E≥DE，∴B′D+6≥10，∴B′D≥2，∴B′D的最小值是4，故答案为：4．16．（3分）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+22+1×10+2．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，满十六进一十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…将十六进制数1A6转换为十进制数为422，十六进制下A×B＝6E．【解答】解：1×162+10×16+6＝256+160+6＝422，即将十六进制数1A8转换为十进制数为422，A×B在十进制下的数为10×11＝110，∵110÷16＝6……14，∴十六进制下A×B＝6E，故答案为：422；3E．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：﹣1．【解答】解：﹣1＝＝＝．18．（4分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①，得x≤7，解不等式②，得x＜1，则不等式组的解集为x＜1．19．（6分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+7m﹣1＝0有实数根，∴b8﹣4ac＝4﹣7（2m﹣1）≥3，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝6，则（x﹣1）2＝5，解得：x1＝x2＝7．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F分别在AB，AD上，连接EF，并延长EF交CD的延长线于点G．（1）求证：AC⊥EF；（2）若BD＝4，，求菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝AD﹣DF，即AE＝AF，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥EF；（2）解：由（1）可知，AC⊥BD，∴EF∥BD，∴∠G＝∠CDO，∴tanG＝tan∠CDO＝＝，∴OC＝OD，∵BD＝4，∴OD＝BD＝2，∴OC＝7，∴AC＝2OC＝2，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝，即菱形ABCD的面积为4．21．（8分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，5，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，对应的数字作为这个两位数的十位数．（1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数；（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率．【解答】解：（1）列表如下：1488111141518641444548551545558881848588共有16种等可能的结果．（2）由表格可知，其算术平方根大于7且小于8的结果有：41，45，51，55，共8种，∴其算术平方根大于5且小于8的概率为．22．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．若点O是△ABC的外心，∠ABC的平分线交圆O于点D，连接AD（1）尺规作图：作出圆O及角平分线BD（保留作图痕迹，不写作法）．请证明：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，延长DF交圆O于点M，连接CM．若AD＝CM【解答】（1）解：如图，作线段BC，相交于点O，OB的长为半径画圆，交圆O于点D，则圆O和BD即为所求．证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD．∵∠ABD＝∠ACD，∠CBD＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD．（2）解：连接OD，∵AD＝CD，AD＝CM，∴CD＝CM，∴∠CDM＝∠CMD，∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴∠DCF+∠CDF＝90°，∴∠CMD+∠DCF＝90°，∵∠CMD＝∠CBD，∴∠CBD+∠DCF＝90°，∴∠∠BDC＝90°，∴BC为圆O的直径．∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠OBD，∴∠ABD＝∠ODB，∴OD∥AB，∴∠DEB+∠ODE＝180°．∵DE⊥BA，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°．∵OD为圆O的半径，∴DE为圆O的切线，∴直线DE与圆O有1个公共点．23．（10分）如图，已知A（9，0），B（0，3）是平面直角坐标系中两点，点P在线段AB上，AB＝3BP．（1）反比例函数的图象交AB于P，D两点；（2）在（1）的条件下，点N为x轴正半轴上一动点，将线段DN绕点N逆时针旋转90°，点D的对应点M恰好落在此反比例函数图象上【解答】解：（1）作PE⊥x轴于E，则PE∥OB，∴△PAE∽△BAO，∴，∵A（9，0），2），∴OA＝9，OB＝3，＝∴PE＝OB＝2＝6，∴OE＝9﹣3＝3，∴P（3，6），∵反比例函数的图象交AB于P，∴k＝3×2＝2，∴反比例函数为y＝，∵A（9，7），3），∴直线AB为y＝﹣x+3，解，得或，∴D（6，1）；（2）设M（a，），过D作DE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，∴∠MFN＝∠DEN＝90°，∵将线段DN绕点N逆时针旋转90°，∴∠DNM＝90°，∴∠MNF+∠DNE＝∠NMF+∠MNF＝90°，∴∠DNE＝∠NMF，∵BM＝DM，∴△MNF≌△NDE（AAS），∴FN＝DE＝1，NE＝MF＝，∵OF+FN+NE＝8，∴a+1+＝4，∴a＝2或a＝3，∴M（3，3）或（3．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，B两点的一个动点，连接CE，交射线DA于点F．（1）如图，点E在线段AB上，①求证：△ABF∽△BCE；②连接DG，设四边形CDGB的面积为S，在点E运动的过程中，求k的最小值．（2）在点E运动的过程中，是否存在使D，F，G，C四点构成的四边形为轴对称图形，求出AE相应的长；若不存在【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A＝∠EBC＝90°，∴∠BCE+∠CEB＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGE＝90°，∴∠EBG+∠GEB＝90°，∴∠BCE＝∠EBG，∴△ABF∽△BCE；（2）解：①取BC的中点，连接OG，连接BD，∴点G在以O为圆心，半径为2的圆弧上运动，∵AB＝3，AD＝7，∴BD＝＝5，平移DB与圆O相切于点H，∵S四边形CDGB＝S△CDB+S△DGB，∴当点G运动到点H时