九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时 正切教学设计 （新版）北师大版

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切教学设计（新版）北师大版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路嗨，亲爱的同学们！今天咱们要一起探索一个充满魅力的数学世界——直角三角形的边角关系，特别是正切函数。想象一下，我们就像是一群探险家，手牵手，一起走进这个充满奥秘的数学迷宫。我会用最生动、最有趣的方式，带领你们领略正切的奇妙。准备好了吗？让我们一起踏上这场数学之旅吧！🚀💡📚二、核心素养目标分析在本节课中，我们将培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过正切函数的学习，学生能够抽象出直角三角形的边角关系，培养逻辑推理能力，学会用数学模型描述实际问题，并在解决几何问题时进行准确的数学运算。同时，增强学生对数学知识的兴趣和应用意识，提升解决问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点，

①正切函数的定义及其在直角三角形中的应用；

②正切函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性等；

③利用正切函数解决实际问题，如求角度、解直角三角形等。

2.教学难点，

①正切函数概念的理解与抽象，特别是将几何关系转化为代数表达；

②正切函数图像的绘制，理解图像与函数性质之间的关系；

③在复杂情境中运用正切函数解决问题，如处理非标准角或非直角三角形的情况。四、教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统的讲解，帮助学生理解和掌握正切函数的基本概念和性质。

2.实例分析法：结合具体实例，让学生通过观察和分析，加深对正切函数应用的理解。

3.探究式学习：引导学生提出问题，通过小组讨论和合作探究，培养解决问题的能力。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示正切函数的图像和性质，直观形象地展示数学概念。

2.互动软件：使用数学软件或在线平台，让学生通过交互式操作，探索正切函数的性质。

3.直观教具：使用直角三角形模型，让学生动手操作，直观感受正切函数的定义和应用。五、教学流程1.导入新课

-详细内容：首先，我会以一个生活中的实际问题引入，比如：“同学们，你们有没有想过，如何用数学来描述一个物体的高度？比如，我们想知道旗杆的高度，但我们只能测量到旗杆底部到地面的距离和从某个角度看到的旗杆顶端与地面的夹角。今天，我们就来学习如何利用直角三角形的边角关系来解决这个问题。”

-用时：5分钟

2.新课讲授

-详细内容：

①讲解正切函数的定义：我会通过展示直角三角形的模型，引导学生观察并总结出正切函数的定义，即对边与邻边的比值。

②展示正切函数的性质：通过PPT展示正切函数的周期性、奇偶性和单调性，并结合实例进行讲解。

③举例说明正切函数的应用：通过几个简单的例子，如计算直角三角形的角度和边长，让学生理解正切函数在实际问题中的应用。

-用时：15分钟

3.实践活动

-详细内容：

①绘制正切函数图像：让学生在坐标纸上绘制正切函数的图像，观察其变化规律。

②利用计算器计算正切值：提供一些角度值，让学生使用计算器计算对应的正切值，并填写表格。

③解决实际问题：给出一个实际问题，如计算旗杆的高度，让学生运用所学知识进行解答。

-用时：10分钟

4.学生小组讨论

-详细内容：

①讨论正切函数的周期性：让学生讨论正切函数的周期性，并举例说明。

②分析正切函数的单调性：引导学生分析正切函数在不同区间内的单调性，并举例说明。

③探讨正切函数的应用：让学生讨论正切函数在生活中的应用，如建筑设计、工程测量等。

-用时：10分钟

5.总结回顾

-详细内容：在课程结束前，我会对今天所学内容进行总结，强调正切函数的定义、性质和应用。同时，我会提出一些思考题，如“正切函数在哪些情况下会发生变化？”和“如何利用正切函数解决实际问题？”来引导学生进行反思。

-用时：5分钟

总计用时：45分钟六、教学资源拓展1.拓展资源：

-直角三角形的边角关系拓展：除了正切函数，还可以引入余弦函数和正弦函数，让学生了解直角三角形中三个角的正弦、余弦和正切之间的关系，以及它们在不同几何问题中的应用。

-三角函数的图像拓展：通过展示正弦、余弦和正切函数的图像，让学生观察并总结出函数图像的对称性、周期性和单调性等特征。

-三角函数的实际应用拓展：提供一些实际案例，如建筑设计中的角度计算、工程测量中的高度测量等，让学生了解三角函数在现实生活中的应用。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《数学之美》等书籍，了解数学在各个领域的应用，激发学生对数学的兴趣。

-在线学习资源：鼓励学生利用网络资源，如数学教育网站、视频教程等，进行自主学习和探究。

-实践项目：组织学生参与数学竞赛或科学实验项目，如制作一个简易的三角函数演示器，通过实践加深对三角函数的理解。

-小组合作学习：鼓励学生组成学习小组，共同探讨三角函数的奥秘，通过讨论和合作提高解决问题的能力。

-家庭作业拓展：布置一些开放性的家庭作业，如设计一个利用三角函数解决实际问题的方案，培养学生的创新思维和问题解决能力。

-教学软件使用：介绍一些数学教学软件，如GeoGebra、Mathematica等，让学生通过软件操作，直观地探索三角函数的性质和图像。

-数学历史学习：引导学生了解三角函数的发展历史，了解古代数学家对三角函数的研究和贡献，培养学生的历史意识和文化素养。

-课外阅读推荐：推荐一些与三角函数相关的科普书籍或文章，如《数学家的故事》、《三角学的奥秘》等，拓宽学生的知识面。七、内容逻辑关系①本文重点知识点：

-正切函数的定义：对边与邻边的比值。

-正切函数的性质：周期性、奇偶性、单调性。

②关键词：

-对边

-邻边

-周期性

-奇偶性

-单调性

③重要句子：

-“在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值称为该角的正切。”

-“正切函数是周期函数，周期为π。”

-“正切函数在第一和第三象限内是增函数。”

①本文重点知识点：

-正切函数的图像：理解图像的基本形状和特征。

-正切函数图像的绘制方法：如何利用函数的性质绘制图像。

②关键词：

-函数图像

-绘制方法

-增函数

-减函数

③重要句子：

-“正切函数的图像是一条连续的曲线，具有无限多个垂直渐近线。”

-“绘制正切函数图像时，要注意其周期性和单调性。”

-“在坐标轴上，正切函数的图像呈现出周期性的波动。”

①本文重点知识点：

-正切函数的应用：如何利用正切函数解决实际问题。

-应用实例：设计一些与实际生活相关的数学问题，让学生应用所学知识解决。

②关键词：

-应用

-实际问题

-解决方案

-应用实例

③重要句子：

-“正切函数在工程测量、建筑设计等领域有广泛的应用。”

-“通过应用正切函数，我们可以计算直角三角形中未知的角度或边长。”

-“解决实际问题时，要善于将实际问题转化为数学模型，并运用数学知识进行求解。”八、课后作业1.作业题目：已知直角三角形中，∠A为锐角，且∠A的正切值为3，若该直角三角形的斜边长度为5，求该直角三角形的面积。

解答：设直角三角形的两直角边分别为a和b，则根据正切函数的定义，有a/b=3。又因为斜边长度为5，根据勾股定理，有a^2+b^2=5^2。将a=3b代入勾股定理中，得到(3b)^2+b^2=25，解得b=2，a=6。因此，三角形的面积为(1/2)*a*b=(1/2)*6*2=6。

2.作业题目：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A的正切值为2/3，斜边AB的长度为10，求直角三角形ABC的周长。

解答：设直角三角形的两直角边分别为a和b，则根据正切函数的定义，有a/b=2/3。又因为斜边AB的长度为10，根据勾股定理，有a^2+b^2=10^2。将a=(2/3)b代入勾股定理中，得到(2/3)b)^2+b^2=100，解得b=6，a=4。因此，三角形的周长为a+b+AB=4+6+10=20。

3.作业题目：在直角三角形中，已知一个锐角的正切值为√3，求该锐角的大小。

解答：正切值为√3的锐角是60°，因为在直角三角形中，当∠A=60°时，对边与邻边的比值即为√3。

4.作业题目：在直角三角形中，已知一个锐角的余弦值为1/2，求该锐角的大小。

解答：余弦值为1/2的锐角是60°，因为在直角三角形中，当∠A=60°时，邻边与斜边的比值即为1/2。

5.作业题目：在直角三角形中，已知一个锐角的正弦值为√3/2，求该锐角的大小。

解答：正弦值为√3/2的锐角是60°，因为在直角三角形中，当∠A=60°时，对边与斜边的比值即为√3/2。教学评价1.课堂评价：

-提问：通过课堂提问，了解学生对正切函数定义、性质和应用的理解程度。例如，提问“谁能告诉我正切函数的定义是什么？”或者“你们知道正切函数的周期性吗？”来检验学生的掌握情况。

-观察：在课堂上观察学生的参与度、互动情况和学习态度，如是否积极举手发言、是否能正确解答问题等。

-测试：通过课堂小测验或即时练习，快速评估学生对正切函数知识的掌握。例如，给出几个简单的问题，让学生在规定时间内解答，如“求30°角的正切值”。

-及时反馈：对于学生在课堂上出现的问题，及时给予个别指导或全班讲解，确保所有学生都能跟上教学进度。

2.作业评价：

-批改：对学生的作业进行详细批改，包括正误判断、解题过程和答案的准确性。

-点评：在作业批改中给出具体、有针对性的点评，如“解题思路清晰，但计算过程中有误”或“能够灵活运用正切函数解决问题，值得表扬”。

-反馈：及时将作业批改结果反馈给学生，鼓励他们在下一次作业中改进不足。

-鼓励：对于作业完成得好的学生，给予口头或书面的表扬，增强他们的学习动力。

-综合评价：通过作业的表现，综合评价学生的学习态度、知识掌握和应用能力。

3.形成性评价：

-小组讨论评价：在小组讨论环节，评价学生在讨论中的参与度、表达能力和合作精神。

-实践活动评价：通过实践活动，评价学生将理论知识应用于实践的能力和创新能力。

-学生自评与互评：鼓励学生进行自我评价和互相评价，提高他们的反思能力和团队协作能力。

4.总结性评价：

-期中/期末测试：通过期中或期末的综合性测试，全面评估学生对正切函数知识掌握的深度和广度。

-成长记录：记录学生在整个学习过程中的进步，包括作业、测试和课堂表现等，为学生的成长提供依据。教学反思与总结今天这节课，我们学习了直角三角形的边角关系，特别是正切函数。回顾一下，我觉得有几个方面做得还不错，也有一些地方可以改进。

首先，我觉得课堂氛围挺活跃的。我尝试用生活中的例子引入课题，比如旗杆的高度问题，这样让学生感觉数学不再是抽象的符号游戏，而是可以解决实际问题的工具。看到学生们对这个问题感兴趣，我挺高兴的。

然后，我在讲解正切函数的定义和性质时，尽量用简洁明了的语言，配合直观的图形，帮助学生理解。我发现，当我在黑板上画出正切函数的图像时，学生们更容易抓住函数的变化规律。

不过，我也发现了一些问题。比如，在讲解周期性时，有些学生还是不太理解。我可能需要更多的时间来解释周期性的概念，或者通过更多的实例来帮助学生理解。

在实践活动环节，我让学生们自己绘制正切函数的图像，这个环节挺不错的，学生们都很投入。但是，我发现个别学生在操作过程中遇到了困难，我没有及时