人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形的性质

人教版八年级数学上册13.3

等腰三角形

（第1课时）第1页学习目标：

1．探索并证实等腰三角形两个性质．

2．能利用性质证实两个角相等或两条线段相等．

3．结合等腰三角形性质探索与证实过程，体会轴对称在研究几何问题中作用．学习重点：探索并证实等腰三角形性质．第2页活动（一）：细心观察第3页活动（一）：细心观察第4页活动（一）：细心观察第5页活动（一）：细心观察第6页共同特点活动（一）：细心观察等腰三角形第7页ABC等腰三角形:有两条边相等三角形,

叫做等腰三角形.等腰三角形的概念相等两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰夹角叫做底角.两腰所夹角叫做顶角,腰腰底边顶角底角回顾第8页

1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它周长是

；

2、等腰三角形一边长为3cm,另一边长为4cm,则它周长是

；

3、等腰三角形一边长为3cm,另一边长为8cm,则它周长是

。

10cm10cm或11cm19cm小试牛刀第9页

把剪出等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合线段和角.找一找

等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线。

温故知新第10页如图,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到△ABC有什么特点?ABCAB=AC等腰三角形活动（二）：动手操作第11页上面剪出等腰三角形是轴对称图形吗？ABCD把剪出等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合线段和角，填入下表：重合线段重合角

等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发觉它其它性质吗?AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD活动（三）：细心观察大胆猜测第12页已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：1.怎样证实两个角相等？

活动（四）：猜测与论证等腰三角形两个底角相等。

2.怎样结构两个全等三角形？第13页已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC等腰三角形两个底角相等。D证实：作底边中线AD，则BD=CDAB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上中线第14页已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC等腰三角形两个底角相等。D证实：作顶角平分线AD，则∠1=∠2AB=AC(已知)∠1=∠2(已作)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).方法二：作顶角平分线在△BAD和△CAD中12第15页已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABC等腰三角形两个底角相等。D证实：作底边高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°AB=AC(已知)AD=AD(公共边)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).方法三：作底边高线在Rt△BAD和Rt△CAD中第16页用符号语言表示为：在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）等腰三角形性质1：等腰三角形两个底角相等（简称“等边对等角”）ABCD

归纳总结第17页想一想:

刚才证实除了能得到∠B＝∠C你还能发觉什么?重合线段重合角

AB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°第18页等腰三角形底边上高、底边上中线、顶角平分线互为重合.猜测（1）如图，AD⊥BC，AB＝AC.求证：BD＝CD，∠1＝∠2.ABCD12（2）如图，BD＝CD，AB＝AC.求证：AD⊥BC，∠1＝∠2.（3）如图，∠1＝∠2，AB＝AC.求证：AD⊥BC，BD＝CD.

大胆猜测第19页（1）如图，AD⊥BC，AB＝AC.求证：BD＝CD，∠1＝∠2.ABCD12证实：在Rt△ABD和Rt△ACD中AB＝ACAD＝AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，∠1＝∠2第20页（2）如图，BD＝CD，AB＝AC.求证：AD⊥BC，∠1＝∠2.ABCD12证实：在△ABD和△ACD中AB＝ACBD＝CDAD＝AD∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°即AD⊥BC第21页（3）如图，∠1＝∠2，AB＝AC.求证：AD⊥BC，BD＝CD.ABCD12证实：在△ABD和△ACD中AB＝AC∠1＝∠2AD＝AD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°即AD⊥BC第22页(简写成三线合一)ABCD性质2

等腰三角形顶角平分线与底边上中线，底边上高相互重合

性质3等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线（底边上中线、底边上高）所在直线就是等腰三角形对称轴。

归纳总结第23页1、等腰三角形顶角平分线，既是底边上中线，又是底边上高。应用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三线合一）2、等腰三角形底边上中线，既是底边上高，又是顶角平分线。应用格式：∵AB＝ACBD＝DC（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2

（等腰三角形三线合一）3、等腰三角形底边上高，既是底边上中线，又是顶角平分线。应用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2

（等腰三角形三线合一）性质2可分解成下面三个方面来了解：

归纳总结第24页画出任意一个等腰三角形底角平分线、这个底角所正确腰上中线和高，看看它们是否重合？不重合！三线合一“三线合一”应该对应等腰三角形顶角平分线，底边上中线和底边上高第25页1.依据等腰三角形性质2填空,在△ABC中，AB=AC，小试牛刀(1)∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD

知一线得二线

“三线合一”能够帮助我们处理线段垂直、相等以及角相等问题。第26页2、等腰三角形一个底角为70°,它顶角为______.小试牛刀3、等腰三角形一个角为70°,它另外两个角为__________________.4、等腰三角形一个角为110°,它另外两个角为___________.①顶角度数+2×底角度数=180°②0°＜顶角度数＜180°③0°＜底角度数＜90°结论:

在等腰三角形中,40°35°，35°70°,40°或

55°,55°第27页例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度数。1、图中有哪几个等腰三角形？ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x△ABC△ABD△BDC2、有哪些相等角？∠ABC=∠ACB=∠BDC∠

A=∠ABD3、这两组相等角之间还有什么关系？∠BDC=2∠A∠ABC+∠ACB+∠A=180°

应用新知第28页已知：如图，房屋顶角∠BAC=100º,过屋顶A立柱AD

BC,屋椽AB=AC.求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD度数.ABDC应用新知，体验成功。∴∠BAD=∠CAD=50°∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角平分线与底边上高相互重合）.又∵AD⊥BC，∴∠B=∠C=180°－∠BAC=40°(三角形内角和定理)解：在△ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠BAC=100º第29页

(1)猜测一下，等腰三角形底边中点到两腰距离相等吗？如图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF关系，并证实你结论。ABCDEF(2)假如DE、DF分别是AB,AC上中线或∠ADB,∠ADC平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似方法，还能够得到等腰三角形中哪些相等线段？已知：在△ABC中，AB=AC.点D是BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F求证：DE＝DF活动（五）：拓展提升第30页1、等腰三角形顶角一定是锐角。2、等腰三角形底角可能是锐角或者直角、钝

角都能够。3、等腰三角形顶角平分线一定垂直底边。4、等腰三角形角平分线、中线和高相互重合。5、等腰三角形底边上中线一定平分顶角（X）（X）（√）（X）（√）明辨是非第31页例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度数。xx2x2x2x解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，ABC=∠C=72°第32页如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上中点，∠B=30。求∠１和∠ADC度数．∵AB=AC，D是BC边上中点∠ADC＝90。∵∠BAC=180。-30。-30。=120

。（三线合一）课堂练习：第33页第34页谈谈你收获！第35页再见第36页你细心加你耐心等于成功！

如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。求证：AH=2BD证实1：∵AB=AC，AD是高，∴BC=2BD又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2

︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2

∴