2025年中考数学自主专题集训《专题五　函数中的几种数学思想》

中考数学自主专题集训专题五函数中的几种数学思想一、选择题1．若关于x的函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的值为()A．0或1B．－2C．1D．22．已知二次函数y＝(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足－1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为()A．1或5B．－5或3C．－3或1D．－3或53．已知二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3，将二次函数的图象沿着x轴平移使其经过坐标原点O(0，0)，则二次函数图象平移的长度为()A．1B．2C．1或3D．34．已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－2，0)，B(5，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(1，0)，则m的值是()A．3B．－4C．3或－4D．－3或－45．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax－3(a≠0)上，存在正数m，使得－2＜x1＜0且m＜x2＜m＋1时，都有y1≠y2，则m的取值范围是()A．0＜m≤4B．1＜m≤4C．0＜m≤1或m≥4D．1＜m≤2或m≥46．如图，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x，我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1.其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③D．②③④二、填空题7．设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有m个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对(m，n)是____________．8．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，3)，若抛物线y＝x2－x＋c与线段AB有交点，则c的取值范围为_______________．9．已知点A(1，yA)，B(xB，yB)在函数y＝(x－m)(x＋m－1)的图象上，当eq\f(1,2)<xB<1时，yA_______yB.(填“>”“<”或“＝”)10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(4，4)，反比例函数的图象经过BC的中点D，已知点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，若四边形CQPR的面积S＝4，则点P的横坐标x的值为____________．三、解答题11．已知一次函数y1＝3x－3的图象与反比例函数y2＝eq\f(m,x)的图象交于点A(a，3)，B(－1，b).(1)求a，b的值和反比例函数的表达式．(2)设点P(h，y1)，Q(h，y2)分别是两函数图象上的点．①直接写出当y1>y2时，h的取值范围．②若y2－y1＝3，求h的值．12．已知二次函数y＝(x－m)2－(x－m).(1)判断该二次函数图象与x轴的交点个数，并说明理由．(2)若该二次函数图象的顶点坐标为(eq\f(7,2)，n)，求m，n的值．(3)若把该函数图象向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y＞0，求证：k>eq\f(1,4).13．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2＋(a＋1)x，其中a≠0.(1)若此函数图象过点(1，－3)，求这个二次函数的表达式．(2)若(x1，y1)，(x2，y2)为此二次函数图象上两个不同点，①若x1＋x2＝2，则y1＝y2，试求a的值．②当x1＞x2≥－2时，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．14．已知二次函数y＝mx2－2mx＋3，其中m≠0.(1)若二次函数的图象经过点(－1，6)，求二次函数解析式．(2)若该抛物线开口向上，当－1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．(3)在二次函数图象上任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当a≤x1＜x2≤a＋2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．若关于x的函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的值为(A)A．0或1B．－2C．1D．22．已知二次函数y＝(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足－1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为(D)A．1或5B．－5或3C．－3或1D．－3或53．已知二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3，将二次函数的图象沿着x轴平移使其经过坐标原点O(0，0)，则二次函数图象平移的长度为(C)A．1B．2C．1或3D．34．已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－2，0)，B(5，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(1，0)，则m的值是(C)A．3B．－4C．3或－4D．－3或－45．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax－3(a≠0)上，存在正数m，使得－2＜x1＜0且m＜x2＜m＋1时，都有y1≠y2，则m的取值范围是(C)A．0＜m≤4B．1＜m≤4C．0＜m≤1或m≥4D．1＜m≤2或m≥46．如图，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x，我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1.其中正确的是(C)A．①②B．①②③C．②③D．②③④二、填空题7．设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有m个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对(m，n)是__(1，1)，(1，0)，(2，2)，(2，1)__．8．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，3)，若抛物线y＝x2－x＋c与线段AB有交点，则c的取值范围为__－3≤c≤eq\f(13,4)__．9．已知点A(1，yA)，B(xB，yB)在函数y＝(x－m)(x＋m－1)的图象上，当eq\f(1,2)<xB<1时，yA__>__yB.(填“>”“<”或“＝”)10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(4，4)，反比例函数的图象经过BC的中点D，已知点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，若四边形CQPR的面积S＝4，则点P的横坐标x的值为__1或3__．三、解答题11．已知一次函数y1＝3x－3的图象与反比例函数y2＝eq\f(m,x)的图象交于点A(a，3)，B(－1，b).(1)求a，b的值和反比例函数的表达式．解：∵一次函数y1＝3x－3的图象与反比例函数y2＝eq\f(m,x)的图象交于点A(a，3)，B(－1，b)，∴3＝3a－3，b＝－3－3，解得a＝2，b＝－6，∴A(2，3)，B(－1，－6)，把A(2，3)代入反比例函数y2＝eq\f(m,x)中，得3＝eq\f(m,2)，∴m＝6，∴反比例函数的表达式是y2＝eq\f(6,x).(2)设点P(h，y1)，Q(h，y2)分别是两函数图象上的点．①直接写出当y1>y2时，h的取值范围．②若y2－y1＝3，求h的值．解：①h>2或－1<h<0.②∵点P(h，y1)，Q(h，y2)分别是两函数图象上的点，∴y1＝3h－3，y2＝eq\f(6,h)，∵y2－y1＝3，∴eq\f(6,h)－(3h－3)＝3，整理得3h2＝6，∴h＝±eq\r(2).12．已知二次函数y＝(x－m)2－(x－m).(1)判断该二次函数图象与x轴的交点个数，并说明理由．解：该二次函数图象与x轴有2个交点．理由如下：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∵(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1>0，∴该二次函数图象与x轴有2个交点．(2)若该二次函数图象的顶点坐标为(eq\f(7,2)，n)，求m，n的值．解：∵该二次函数图象的顶点坐标为(eq\f(7,2)，n)，∴－eq\f(－（2m＋1）,2)＝eq\f(7,2)，eq\f(4（m2＋m）－（2m＋1）2,4)＝－eq\f(1,4)＝n，∴m＝3，n＝－eq\f(1,4).(3)若把该函数图象向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y＞0，求证：k>eq\f(1,4).证明：∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－eq\f(2m＋1,2))2－eq\f(1,4)，∴抛物线y＝(x－eq\f(2m＋1,2))2－eq\f(1,4)的顶点坐标为(eq\f(2m＋1,2)，－eq\f(1,4))，∴把抛物线y＝(x－eq\f(2m＋1,2))2－eq\f(1,4)向上平移k个单位后，顶点坐标为(eq\f(2m＋1,2)，－eq\f(1,4)＋k).∵把函数图象向上平移k个单位后，使得对于任意的x都有y＞0，∴平移后的抛物线的顶点在x轴上方，∴－eq\f(1,4)＋k>0，∴k>eq\f(1,4).13．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2＋(a＋1)x，其中a≠0.(1)若此函数图象过点(1，－3)，求这个二次函数的表达式．解：∵函数图象过点(1，－3)，将x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋(a＋1)x，得－3＝a＋a＋1.∴a＝－2.∴该二次函数的表达式为y＝－2x2－x.(2)若(x1，y1)，(x2，y2)为此二次函数图象上两个不同点，①若x1＋x2＝2，则y1＝y2，试求a的值．解：∵y1＝y2，∴这两点关于二次函数图象的对称轴对称．∵x1＋x2＝2，∴对称轴为直线x＝eq\f(x1＋x2,2)＝1.∴－eq\f(a＋1,2a)＝1.∴a＝－eq\f(1,3).②当x1＞x2≥－2时，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．解：∵二次函数图象的对称轴为直线x＝－eq\f(a＋1,2a)，当x1>x2≥－2时，对任意的x1，x2，都有y1>y2，∴当a>0时，－eq\f(a＋1,2a)≤－2，解得0<a≤eq\f(1,3)，当a<0时，不符合题意，舍去，∴0<a≤eq\f(1,3).14．已知二次函数y＝mx2－2mx＋3，其中m≠0.(1)若二次函数的图象经过点(－1，6)，求二次函数解析式．解：把点(－1，6)代入二次函数解析式得，m＋2m＋3＝6，解得m＝1，∴二次函数解析式为y＝x2－2x＋3.(2)若该抛物线开口向上，当－1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．解：∵抛物线开口向上，∴m＞0.∵y＝mx2－2mx＋3＝m(x－1)2＋3－m，∴抛物线的顶点坐标为(1，3－m)，∴当x＜1时y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大，∴当－1≤x≤2时，最低点为N(1，3－m)，∵当x＝－1时，y＝3m＋3，当x＝2时，y＝3，且m＞0，∴3m＋3＞3，∴当－1≤x≤2时，最高点为M(－1，3m＋3)，∴3m＋3＝6，∴m＝1，代入点M和点N的坐标得M(－1，6)