全国高中数学说课大赛教学设计一等奖作品合辑

全国高中数学说课大赛教学设计一等奖

作品合辑

目录

3全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品：《函数的概念》.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品《几类不同增长函数模型》.doc

,全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品《空间中直线与直线的位置关系》.doc

回全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品《球面距离》.doc

口全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品《同角三角函数的基本关系》,doc

区全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品《正弦定理》,doc

"全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品《直线的倾斜角和斜率》.doc

X全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品1《方程的根与函数的零点》.doc

“全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品3用二分法求方程的近彳嫄.doc

全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品4向量的加法.doc

H全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品5向里加法运算及其几何意义doc

“全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品6tts沃小.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品7^TE一次不等式.doc

,全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品8分步原理与分类原理.doc

“全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品9等比数列.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品10独立性检验的基本思想.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品11导数的综合应用.doc

但全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品12会的gdoc

全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品13等比数列的前n项和公式.doc

口全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品14函数的表示法.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品15归纳推理.doc

全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品16函数y=Asin（3X+cp）.doc

口全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品17函数的单调性.doc

•全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品18几何概型的教学设计.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品19函数的奇偶性.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品20对数函数二.doc

•全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品21《古.doc

"全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品22《平面向垦（第一课）》.doc

全国高中数学说课大赛教学设计T奖作品23《曲线与方程》.doc

“全国高中数学说课大褰教学设计T奖作品24《椭圆及其标准方程》.doc

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《函数的概念》教学设计

【三维目标】

了解：通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的

三要素；

理解：函数概念的本质；抽象的函数符号/(x)的意义；/(a)(。为常数)与/(x)的区别

与联系；会求一些简单函数的定义域；

经历：让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，函数定义域的求解过程以及求

函数值的过程；渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力；

体验：通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，

在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中

的作用，体验函数思想；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛

围中，感受数学的抽象性和简洁美.

【教学重点】函数概念的形成，正确理解函数的概念.

【教学难点】发展学生的抽象思维能力，对函数概念本质的理解.

【教法选择】问题式教学法：本堂课的特点是概念教学，根据学生的心理特征和认

知规律，我采取问题式教学法；以问题串为主线，通过设置几个具体问题情景，发现问题中

两个变量的关系，让学生归纳、概括出函数概念的本质，这也符合建构主义的教学理论.

【学法选择】探究式学法：新课程要求课堂教学的着力点是尊重学生的主体地位,

发挥学生的主动精神，培养学生的创新能力，使学生真正成为学习的主体，结合本堂课的特

点，我倡导的是探究式学法；让学生在探究问题的过程中，通过老师的引导归纳概括出函数

的概念，通过问题的解决，达到熟练理解函数概念的目的,从而让学生由“被动学会”变成

“主动会学”.

【教学媒体选择】教学中使用多媒体来辅助教学，其目的是充分发挥快捷、生动、

形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于适当增加课堂容量，提高课堂效率；同时

与黑板板书相结合.

【教学过程设计】

(-).结构分析

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为七个阶段:

回忆旧知，引出困惑—►创设情境，形成概念—►质疑解惑，剖析概念

讨论研究，深化理解f即时训练，巩固新知一总结反思，提高认知

分层作业，自主探究

（-）.教学过程

课题引入

2010年9月5日。时14分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将

“鑫诺六号”通信广播卫星送入太空.在“鑫诺六号”飞行期间，我们时刻关注着“鑫诺六

号”离地面的距离随时间是如何变化的，数学上可以用来描述这种运动变化中的数量

关系.（函数）

1.回忆旧知，引出困惑

问题一：请举出初中学过的一些函数.

,1

y=2x,y=x,y=一等.

x

问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么？

在一个变化过程中，有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值

和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量.

问题三：y=0（无€/?）是函数吗？

学生活动：先由学生思考回答，对产生的两种意见展开小组讨论.

由于受认知能力的影响，利用初中所学函数知识很难回答这些问题，形成认知冲突，从

而引出本堂课的课题（用幻灯片打出课题）.让学生带着悬念、带着认知冲突学习后面的知

识，这样有利于激发学生的学习欲望.

2.创设情境，形成施念

实例一：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845机，且炮弹距地

面的高度力（单位：m）随时间f（单位：s）变化的规律是：h=\30t-5t2.

问题四：1」的范围是什么？〃的范围是什么？

2」和人有什么关系？这个关系有什么特点？

（实例一由师生共同完成）

事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需

求越来越大，对环境的影响也越来越重，下面请同学们自学有关臭氧层空洞的问题和恩格尔

系数的问题：

实例二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图L2—1中

的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况.

实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活

质量越高.表1—1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城

镇居民的生活质量发生了显著变化.

时间

19911992199319941995199619971998199920002001

（年）

恩格尔

53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

系数(％)

通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完

成.

问题五：实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？

问题六：以上三个实例有什么相同的特征？

学生活动：让学生分组讨论交流，总结归纳出：

共同特点：①都有两个非空数集A、B,②两个数集之间都有--种确定的对应关系；③对

于数集A中的每一个x,按照某种对应关系了,在数集3中都有唯一确定的y值和它对应.

问题七：满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？(先让学生说,

老师再做补充)

引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的

依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数.

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象楼括出函数的概念呢？

函数概念：

设4、8是非空的数集，如果按某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数x,

在集合3中都有唯一确定的数/(幻和它对应，那么就称/:A98为集合A到集合8的

一个函数，记作y=/(x),》eA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做

函数值，函数值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函数的值域.显然，值域是集合8的子集.

问题八:请同学们根据现在函数的定义说说前面三个实例是否表示两个集合的函数关系？

问题九:y=0(%eR)是函数吗？

问题十:用几何画板在平面直角坐标系中画出一段弧，并作平移和旋转，同时让学生判断这

些平移和旋转中的弧是否表示函数图象.

方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？

3.质疑解惑，剖析概念

问题十一:请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明.

通过交流得出以下几点：

①A、B都是非空的数集；

②任意性与唯一性；

③确定的对应关系，对应关系/可以是解析式、图象、表格.

问题十二:函数由几部分组成？

三要素：定义域、值域、对应法则，缺一不可.

问题十三:怎样理解符号/(X)?

在法则一下，X所对应的函数值，并结合生活实例说明.

4.讨论研究，深化理解

【例1】已知函数/*)=475+」一，

x+2

(1)求函数的定义域；

2

<2)求/(一3),/(§)的值；

(3)当”>0时，求/(a)J(a—1)的值.

想一想：函数的定义域该怎么求？符号/(a)(。为常数)与/(x)有哪些区别与联系？

(学生先思考、计算，老师提问，师生共同完成)

5.即时训练，巩固新知

练习1.求函数/(幻=的定义域：

练习2.已知函数f(x)=3/+2x,求/(2)+/(-«)的值.

学生活动:抽两位学生到讲台在黑板上分别完成(其他同学在下面完成)，完成后，师生共同

评价完善.

6.总结反思，提高认识

今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，比较两个函

教的定义，同学们有什么新的认识.

引导学生思考回答，老师作适当补充.

7.分层作业，自主探究

作业：一、举出生活中函数的例子(两个以上)，并用集合与对应的语言来描述函数；

二、A组学生做：P241、2、3、4；

B组学生做：必做A组学生所做，选做P251题.

附板书设计(提纲式)

函数的概念

三个实例的共同点：

练习：2①例1练习：1

②

③

各位专家，以上就是我对这节课的教学设想，不足之处恳请各位专家批评指正.

谢谢！

3.2.1几类不同增长的函数模型（第一课时）

一.内容和内容解析

本节是高中数学必修1（人教A版）第三章《函数的应用》的起始课.该课将经历运用

和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在

增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异

的方法；感受数学建模的思想.

对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实

例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、基函数等函数

模型在描述客观世界变化规律时各自的特点.

教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问

题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、塞函数的增长情

况的差异，说明不同函数类型增长的含义.

在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数.本节内容是几类不同增长

的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习

的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的

进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基

础，.因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础,

起着承前启后的作用.

本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵

的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想.

二.目标和目标解析

本节课的教学任务为：

(1)创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象

和性质，体会直线上升和指数爆炸；

(2)创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增

长模型的特点；

(3)通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生

的创新意识和数学应用意识.

根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：

(1)通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函

数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的

函数模型的意义；

(2)通过恰当地运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法)，表达实际问题

中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察一归纳一猜想一证明；

(3)经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学

的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.

这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数

模型为对象，将前面己经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一

个整体.因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能

在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方

法.

结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一

次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长

等不同类型函数增长的含义.

三.教学问题诊断

学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幕函数，但由于指数函数、对数函

数和事函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.因此本节课教学难

点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长

差异来解决一些实际问题.

为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进

的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培

养分析问题解决问题的能力.第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解

决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一

方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分

析.第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过

程中，体会到对数增长模型的特点.第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的

问题.先让学生从不同角度观察指数函数和嘉函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通

过两个探究问题，让学生对基函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自

主探究.这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和

探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究.对学生分析问题、解决问题能力的

培养将有积极的推动.由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以

本节课我们只能重点解决其中的前两个问题.

四.教学支持条件分析

要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题

有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到

指数函数、对数函数和基函数的增长差异.这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触

到的数学知识和思想方法.因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模

型，利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异；结合实例

体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

五.教学过程设计

一、创设情境，引入课题

1.介绍第三章章头图，提出问题.

问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？

澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.

问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？

2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型.

3.揭示课题：几类不同增长的函数模型.

【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望.

二、分析问题，建立模型

(-)提出问题

例1.假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的

回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问：你会选择哪种投资方式？

(-)分析问题

1.引导审题，抓住关键词“回报”

问题3：你选择的是什么样的回报？怎样比较回报资金的大小？

从解决问题的角度看：

(1)比较三种方案的每日回报；

(2)比较三种方案在若干天内的累计回报.

2.引导分析数量关系，建立函数模型

仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案

的函数解析式.

【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程.

【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限

于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.

三、组织探究，感性体验

1.教师提出问题

问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由.

2.学生分组操作，比较不同增长

从解决问题的方式上：

（1）用列表方法来比较；

（2）画出函数图象来分析.

【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象

对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增

长差异的方法.

四、成果交流，阶段小结

（-）学生交流

让学生交流小组探究的成果（表格、图象、结论）

（二）师生互动

L阅读教材上例题解答中的数据表格与图象（突出散点图），引导学生关注增长量，感

受增长差异.

2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异.

在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点.他们的增长不在同一个“档

次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多.

（三）归纳小结

1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识.

常数函数（没有增长），直线上升（匀速增长），指数爆炸（急剧增长）.

2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解

析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的.

【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理

解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的

研究方法.

五、深入探究，理性分析

（-）提出问题

例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单

位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三

个奖励模型：y=0.25xy=log7x+ly=1.002,.其中哪个模型能符合公司的要

求？

（-）引导分析

问题5：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？

问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？

问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？

（三）解决问题

1.通过多媒体演示，发现增长差异；

2.结合限制条件，初步作出选择；

3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；

4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长；

5.揭示函数问题的研究方法（观察一归纳一猜想一证明）.

【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点.

【备注】对判断模型二yulog,x+l是否满足限制条件"log7X+l40.25x”，考虑到

学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象

来解决（因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）.

六、拓展延伸，创新设计

这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间

的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.

问题8：我们的奖励方案有什么弊端？

问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？

【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润

进行奖励，且奖金y（单位：万元）随着销售利洞x（单位：万元）的增加而增加，要求如下：

10万〜50万，奖金不超过2万；50万〜200万，奖金不超过4万；200万〜1000

万，奖金不超过20万.请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案.（四人一组，合

作完成）

【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异

的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再

创造”过程.

七、归纳总结，提炼升华

问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结.

1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差

异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函

数（平缓增长）.

2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法

（观察一归纳一猜想一证明）

3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，

我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.

【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学

的应用价值.

八、布置作业，巩固提高

1.课本98页课后练习1,2；课本107页习题3.2（A组）第1题；

2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长

速度进行比较，了解函数模型的广泛应用.

【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规

律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.

“空间中直线与直线的位置关系”教学设计

教学目标

［知识与技能］

通过学习能知道空间直线的三种位置关系；

初步理解异面直线的概念，会判断两直线的异面关系，初步理解异面直线的

衬托画法，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的

角；

初步理解与运用公理4解决问题，初步了解等角定理.

［过程与方法］

通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线

的直观画法，通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能

求简单的异面直线所成的角；借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质.

［情感、态度与价值观］

经历师生的教与学的互动活动，让学生初步体会化归思想与空间想象能力的

养成意义，通过学习让学生获得对空间直线的位置关系有一个清晰的认识，把

问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯.

重点、难点与关键点

重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用.

难点：异面直线概念的理解与求法.

关键点：异面直线的衬托画法，找异面直线的角.

教学准备：空间四边形模型、长方体模型，直线、平面教具，教学课件.

教学过程设计：

思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？

设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探

知的欲望，养成思考问题的习惯.

师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在直线与黑板

左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的

位置关系.我们今天上课的内容是：

板书：空间中直线与直线的位置关系

观察：如图2.1-13,长方体血力"/BCD中，线段43所在直线与线段比

所在直线的位置关系如何？

（虚拟）学生：既不相交，又不平行.教5

师：这种关系我们定义为异面直线.

板书：1.异面直线的定义：

把不同在任何一个平面内的两直线叫做

异面直线.（关键点：不同在任何一个平面内）.

概念辨析：

A

下列说法是否正确？请同学思考后回答：

如图，阳U平面AMCQ,比匕平面ABC。，问的，况1是否是异面关系。

教师：同学们要理解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，虽然直线

况'是不在同一底面上，但它们却在对角面46切内，因此，它们不是异面直线。

（虚拟）由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种：

（幻灯片）:

2.空间直线的位置关系：

板书：

‘相交直线,

＞共面

■平行直线.

异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线

板书：

3.异面直线画法：（幻灯片给出图形及小标题）：

（1）.一个平面衬托画法：（2）.两个平面衬托画法:

动画设置：（教师与学生互动）（虚拟）把衬托平面移走，再看直线a与直线

b的位置的异面关系是否直观？很显然，当把衬托平面移走后，异面直线很不明

显，所以异面直线的平面衬托是很重要的，注意下列关键点：

强调关键点：1）.（一个平面衬托法）直线b与平面a交点在直线a外；

2）.（两个平面衬托法）直线a,8与棱都相交，且交点不重合.

师生活动：如图，长方体用笫TBCD中，AAJ/BB,,CC、〃BB”那么小与

CG平行吗？咒

（虚拟互动）：由幻灯片闪烁AAVBB”CC,/71%

〃BB“再闪烁AA/CG,由学生观察得到结论............Z

板书（幻灯片）：

4.公理4平行于同一直线的两直线互相------------71c

平沅

即若CC\〃BB\,则超〃S.

教师与学生共同探出：公理是判断空间直线平行的依据；平行线的性质是具

有传递性.

学以致用（1）：

例2如图2.1-17,空间四边形侬刀中，E,F,G,〃分别是阴BC,CD,

力的中点.求证：四边形皮诩是平行四边形.

师生互动：（虚拟）教师先给学生观察空间四边

形的教具，分析与回顾平行四边形定义，三角形中

位线的性质，平行线与等式的传递性，要证明四边

形是平行四边形，需要什么条件？请学生口述，教

师写板书.

（板书）：证明：连结初，

,/阳是△板的中位线，

/.EH//BD,且阱为D,

2

同理，FG//BD,且除,BO,

2

...EH//FG,且E用FG,

...四边形斯阳是平行四边形.

更上一层楼，变式探究：在例2中，若加条件/用物，那么四边形颜阳又是

什么图形？

温故而知新：”如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角

相等或互补”.空间中，结论是否成立？教师提供图形，由学生在课后完成.

5.等角定理

相等

互补

完善体系：探究刻画异面直线的位置关系，引入异面直线所成的角的概念.

6.异面直线所成角的定义

引入：由幻灯片闪烁异面直线AAi和BC,B.D,

和BC它们都是异面关系，但又有明显的区别，可

以引入异面直线所成的角来刻画这种区别。

（幻灯片）：如图，已知两异面直线a,b,空

间任取一点0,经过点0作直线优//a,b'//b,

把a'与b'所成的锐角或直角叫做异面直线a与6所

成的角（或称夹角）.

特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面

直线互相垂直，记作a_L"

bb'

0

教师与学生共同探讨，得到结论：异面直线所成的角可以通过平移变换，把

异面直线成角化归成相交直线成角.

学以致用（2）：（由幻灯给出）

例3如图，已知正方体ABC。-A/CA中.

(1)哪些棱所在的直线与直线84是异面直线？

(2)求棱A4,和所成角;

(3)求AR和CG所成的角。

（虚拟互动）先由学生独立思考，再让学生举手发言，教师作补充、订正和结

论（按三维方向或三对面分类进行分析）.

课堂练习：

在例3中,

课后思考：

1.若a.a,b<^a,则直线a

2.如图，则直线a和匕是异面］

3.若a-Lb,a±c,则匕〃c.

教科书第48页练习

课堂小结

1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线

’相交直线

2.空间两直线的位置关系平行直线

异面直线

3.异面直线的画法：平面衬托

4.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

5.等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么它们相等或

互补

6.异面角的求法：一作（找）二说三求。

课后练习：

1.举出你生活环境中异面直线的实例两例；

2.完成教科书第48页上练习；

3.第47页探究问题：如图2.1T8,观察长方体

四处4BCD中，

（1）有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面

直线？

（2）如果两条平行直线中的一条与另一条直线垂直，那么，另一条直线是否

也与这条直线垂直？

（3）垂直于同一直线的两条直线是否垂直？

设计意图：1.让学生养成借助长方体模型的判断问题的习惯；2.克服平面

内两直线定势思维的影响.

课后研究：

（用泡沫纸做成教具）图2.1-15是一个正方体的展开图，如果将它还原成

正方体，那么48,CD,EF,即这四条线段所在直线是异面直线的有一对.

（互动）：由一名学生上台把（教具）展开图还原成正方体，二名学生上台画

还原图；教师与学生共同归纳规律：1.选取一个正对面，然后确定左右两侧面,

上下底面，最后定对面；2.这些线段都是面对角线.

板书设计.

空间中直线与直线的位置关系

‘相交直线'

共面直线

1.«平行直线,

异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线

2.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

3.异面直线的画法

4.

例2证明：连结加，

防是△板的中位线，

/.EH//BD,且阱LBD,

2

同理，FG〃BD,月.F/BD,

2

，EH//FG,旦E卞FG,

四边形明第是平行四边形.

“空间中直线与直线的位置关系”教学设计说明

（1）本课数学内容的本质'地位'作用分析

本课数学内容是空间直线与直线的位置关系的分类，异面直线的定义、画

法、成角定义，平行公理和等角定理。本课地位是体现公理化思想的基础,

作用在空间线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的转化的基础。设计以

长方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线成角的定

义，用空间四边形的模型来应用平行公理。

（2）教学目标分析

了解空间两直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理和

等角定理，掌握两条异面直线成角的定义与垂直。

（3）教学问题诊断，应在具体说明本课内容的认知准备基础上，分析学习新知

识中可能存在的困难

异面直线画法与成角问题上学生的认知上存在误区，可以借长方体模型突

破难点。

（4）本节课的教法特点以及预期效果分析

借助长方体模型，发现和感知新知，也利用模型巩固新知，预期效果较好。

《球面距离》的教学设计说明

课题：球面距离

教材：上海市高级中学课本数学高三年级（上海教育出版社出版）

教师：上海市市西中学刘岚

一.教学内容的地位、作用分析

球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。在学生已经掌

握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母

线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。

球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是

教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点

到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概

念,是高中阶段研究的最后一种距离。区别于其他距离的是“球面距离”是一段

圆弧的长度。学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思

维能力的训练与提高。它不但能加深学生对球面及球的截面的理解，而且在求

其解过程中，可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且

沟通了立体几何中两个重要的角（直线和平面所成的角、二面角）的概念，具有

实质的教学意义。另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。通过学习，使

学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经

纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。

二.教学目标和重点、难点分析

“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小

学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等

概念，进一步认识数学和实际的联系。结合课程标准，我将这节课的教学目标和

重点难点定为：

教学目标：1.知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。

2.体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。

3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在

实际问题中的应用价值。

教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。

教学难点：地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。

三.教学问题诊断

这节课的授课对象是上海市示范性高中的学生，他们有较好的学习习惯，

有一定的口头和书面表达能力。学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、

球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三

角形。

本节课的教学难点是地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。对教学难

点的突破我采取了三个策略：

1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的

球面距离的求法（例1、例2）,从概念到应用之间的跨度较大。为此，我设计

了一组过渡性的练习，为难点的突破作铺垫。

2.学生在高一地理课上已初步了解经度和纬度的定义，但由于时间相隔较长，

可能已生疏。所以在讲解例题前我运用教具和多媒体演示对地球经纬度知识作

了简单回顾，以唤起学生的记忆。

3.在例题2的讲解中通过师生、生生互动利用分析法引导学生寻找解决问题的

途径。

另外，由于球面不能展开成平面图形，教学中学生在认知上可能产生的困

难及其应对策略是：

1.对球面距离概念的理解一一按照课程标准的规定，本节内容对球面距离概念

的引入采用直接告知的做法，不要求对“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点

在球面上的最短路径”作出证明或说明。并且在给出概念后我设置了一组相关

的辨析题来强化概念中的“大圆”和“劣弧”等关键词，同时在作业中加强训

练。

2.球面距离计算公式的推导一一通过教师设问，以问题推进的方式引导学生得

到公式。

3.球小圆上两点间线段长度的计算一一课本在例2中求AB的长度是把它投影到

赤道平面上，但实施过程中AB的长也可以利用纬度圈这个小圆来解决，所以我

预设了两种途径。同时在求AB长的方法上，我也预设了区别于教材的另一种解

法，即通过解直角三角形求得。

四.教学过程

教学过程设计说明

一.引入：

教师演示圆柱、棱柱表面上两点间的最短路径；

通过实验和类比使学生感

9□-e受和了解球面距离的概念。

由学生动手探索球面上两点间的最短路径。

二.新知构建由于对此定义合理性的证

1.球面距离定义的给出：明教材中没有提及，课程标准

可以证明，通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面中没有要求，也不是学生在高

上的最短路径，我们把它的长度定义为两点间的球面距离。中时必须掌握的能力，故没有

由于证明“通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面纳入这节课的教学目标。这里

上的最短路径”需要更多数学知识，学生的基础不够，所以采取和教材中相同的描述即

课本表述为“可以证明”但没有给出证明。“可以证明”的处理方式，对

于感兴趣或者学有余力的学

2.强化定义，落实关键词：生，可在课后进一步探讨。

练习：判断图中联结A、B两点的红色曲线的长度是否A、

B间的球面距离？加深对定义中的关键词：

“大圆”、“劣弧”的理解。

$B三

AA

3.球面上两点的球面距离具有唯一性

在定义中指出球面距离是大圆上一段劣弧的长度，所以

该定义有没有涉及A、B、。三点共线的情况？

在不涉及A、B、0三点共线的情况下，通过A、B分析教材边栏中提出的问题。

两点的球的大圆是否唯一？

大圆上A、B间的劣弧是否唯一？

所以两点的球面距离具有唯一性。

4.球面距离的计算：

复习扇形的弧长公式，得到两点间球面距离的计算方法：

s=aR（其中a为NAOB的弧度，R为球半径）

练习：

1.已知球。的半径为R,A、B是球面上两点。

NAOB=f,求A、B两点的球面距离。

通过一组练习使学生初步

2.已知球0的半径为R,A、B是球面上

掌握球面距离的计算方法，并

两点。AB=R,求A、B两点的球面距离。

为之后的例题解答进行铺垫。

3.已知球。的半径为R=4V2,A、B是球

面上两点。A、B所在的小圆0,的半径r=4,

ZA0'B=-,求A、B两点的球面距离。

2

三.应用：（由玉树地震发生后的两条新闻报道引出例题）

1.例1：己知地球的半径约为6371千米，玉门的位置约为东选择与课本例题要求一致

经97°北纬40°；玉树的位置约为东经97°北纬33。，求又较贴近现实生活的例题，将

两地之间的球面距离。教材中的例题作为课后作业安

（结果精确到1千米）排。

a）从数学角度对经度和纬度知识作简单回顾。由于学生高一时已经学过

相关地理知识，故这里只做简

3.例2：已知地球的半径约为6371千米，西宁的位置约为东单回顾，唤起学生记忆。

经101°北纬36°2"；济南的位置约为东经117°,北纬

36024,。求两地之间的球面距离。（结果精确到1千米）

（思考〉若在北纬36°24,纬线上另有一点C的位置为西经

99°北纬36°24,,则在求西宁和C点之间的球面距离时如何

计算ZAOC?

四.小结

这节课学习了两点间的球面距离，即通过球面上A、B两点

的大圆劣弧的长度。

我们把空间中的边、角计算转换为平面上的问题，在扇形

AOB中求出NAOB的大小，并利用弧长公式求得两点的球面距离。

并且我们运用数学知识来解决地理中的实际应用问题，计算了

地球表面同经度或同纬度的两点间的球面距离。

五.作业布置

1.在北纬60°纬线上有甲、乙两地，他们在纬线上的弧长为

—,R是地球半径，求这两点的球面距离。

2

2.已知上海的位置约为东经121。，北纬31°；大连的位置约

为东经121°,北纬39°,试求上海和大连之间的球面距离。

（结果精确到1千米）

b）已知北京的位置约为东经116°,北纬40°；纽约的位置约

为西经74°,北纬40°,

试求北京和纽约之间的球面距离。（结果精确到1千米）

4*.球。半径为1,点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，

E、F分别为大圆圆弧AB与AC的中点，求点E、F在该球上的

球面距离。

5★.思考题：已知上海的位置约为东经121°,北纬31°；巴西

里约热内卢的位置约为西经43°,南纬23°；试求上海和

里约热内卢之间的球面距离。（结果精确到1千米）

五.教学设计说明

学生在以前的学习中经历过将“平面上两点间的最短路径是连接这两点的线

段”这一概念直接引入的过程，所以我设计了通过实验和类比来了解球面距离概

念的环节，并借用多媒体技术，使球面距离更直观化，让学生更好地