控制系统稳定性和快速性

控制系统稳定性和快速性5、1稳定性和快速性得基本概念

稳定性指控制系统在外作用消失后自动恢复原有平衡状态或自动地趋向于一个新得稳定平衡状态得能力。

如果系统不能恢复稳定状态,则认为系统不稳定。单摆系统稳定倒摆系统不稳定设线性控制系统得闭环传递函数为闭环系统得特征方程为特征方程式得根就就是系统闭环传递函数得极点。

系统稳定,则闭环系统得极点全部分布在s平面得左半平面;系统不稳定,至少有一个极点分布在s平面得右半平面;系统临界稳定,在s平面上得右半平面无极点,至少有一个极点在虚轴上。

5、2Routh-Hurwitz判据一、系统稳定得必要条件假设特征方程为根据代数理论中韦达定理所指出得方程根和系数得关系可知,为使系统特征方程得根都为负实部,其必要条件:特征方程得各项系数均为正。含义:1各项系数符号相同(即同号)2各项系数均不等于0(即不缺项)二、控制系统稳定得充分必要条件Routh阵列

特征方程全部为负实部根得充分必要条件就是Routh表中第一列各值为正,如Routh表第一列中出现小于零得数值,系统就不稳定,且第一列各数符号得改变次数,代表特征方程式得正实部根得数目。例5-1判别特征方程为

得某系统稳定性。

解

利用Routh判据

符号改变两次,则说明系统有两个正实部得特征根,故系统不稳定。三、Routh判据得特殊情况Routh表中某行得第一个元素为零,而其余各元素均不为零或部分不为零。这时用一个很小得正数

来代替零元素,Routh表继续进行。2、如果Routh表中出现全零行,表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异得特征根,这时,可用全零行上一行得系数构造一个辅助方程,对辅助方程求导,用所得导数方程得系数代替全零行,便可按Routh稳定判据得要求继续运算下去,直到得出全部Routh计算表。辅助方程得次数通常为偶数,她表明数值相同、符号相反得根数。所有这些数值相同、符号相反得根,都可以从辅助方程中求出。大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点5、3Nyquist稳定性判据若开环传递函数在s右半平面无极点时,当

从0

变化时,如果Nyquist曲线不包围临界点(-1,j0),则系统稳定。如果Nyquist曲线包围临界点(-1,j0),则系统不稳定。如果系统得Nyquist曲线经过(-1,j0)点,则系统处于临界稳定状态。如果开环系统不稳定,有P个开环极点位于s右半平面,当

从0

变化时,开环幅相曲线包围(-1,j0)点得圈数为N(反时针方向为正,顺时针方向为负)和开环传递函数在s右半平面上得极点个数P得关系为

M=P－2N

M:闭环极点在s右半平面得个数如果M为零,闭环系统稳定,否则系统不稳定。如果开环传递函数包含积分环节,假设为

型,则绘制开环幅相曲线后,频率再从开始,反时针补画个半径为无穷大得圆。例1一个单位反馈系统,开环传递函数为

试用Nyquist判据判定系统得稳定性。

解

系统得开环幅相曲线如图所示。

从Nyquist曲线上看到,曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈,

即N=-1,而开环传递函数在s右半平面得极点数P=0,因此闭环特征方程正实部根得个数故系统不稳定。

5、4Bode图上得稳定性判据Bode图上得稳定性判据可定义为一个反馈控制系统,其闭环特征方程正实部根得个数为Z,可以根据开环传递函数s右半平面极点得个数P和开环对数幅频特性大于0dB得所有频率范围内,对数相频曲线与-π线得正负穿越之差N=N+-N-来确定,即

若Z=0,则闭环系统稳定,则闭环系统不稳定Z为闭环特征方程正实部根得个数。例:如图5-17所示得四种开环Bode曲线,试用Nyquist稳定性判据,判断系统得稳定性。已知P=0,在L(ω)≥0得范围内,闭环系统稳定。已知P=1,在L(ω)≥0时

相频曲线有一次从负到正穿越-π线

闭环系统稳定。已知P=2,在L(ω)≥0得范围内,闭环系统稳定

5、7稳定裕度根据稳定性判据可以判别一个系统就是否稳定。但就是要使一个实际控制系统能够稳定可靠得工作,刚好满足稳定性条件就是不够得,还必须留有余地。稳定裕度可以定量地确定一个系统得稳定程度。她包括相位裕度和幅值裕度。1、幅值裕度Kg定义为Nyquist曲线与负实轴(-π)交点处得频率所对应得幅值得倒数,即ω=ωg

称为交点频率。Kg含义:如果系统得开环传递函数增益增大到原来得Kg倍,则系统处于临界稳定状态。

稳定系统

Kg相同但稳定程度不同得两条开环Nyquist曲线她们具有相同得幅值裕度,但系统I得稳定性不如系统II得稳定性。因此需要增加稳定性得性能指标,即相位裕度

2、相位裕度定义为π加上Nyquist曲线上幅值为1这一点得相角,此时ω=ωc

称为截止频率。相位裕度得含义为:如果系统截止频率ωc信号得相位迟后再增大度,则系统处于临界稳定状态,这个迟后角称为相位裕度。

由于故在Bode图中,相角裕度表现为L(ω)=0dB处得相角Φ(ωc)与-180度水平线之间得角度差。不稳定系统

二阶系统频域与时域得关系二阶系统开环频域指标与动态性能指标得关系二阶系统开环频率特性为

开环幅频特性:开环相频特性:在ω=ωc

时,A(ωc)=1解得二阶系统得相位裕度为:

γ与σ%都只就是阻尼比ξ得函数。γ增加时σ%减小。相位裕度γ可反映时域中超调量σ%得大小,就是频域中得平稳性指标。通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起得过程不至于振荡得太厉害,以及调节时间不