人教A版高中数学必修5培优新方案 教师用书

解三角形

1.1.正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

读教材—预习新知

一、预习教材•问题导入

预习课本P2~3,思考并完成以下问题

⑴直角三角形中的边角之间有什么关系？

(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形?

(3)解三角形的含义是什么？

二、归纳总结•核心必记

1.正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即总=七=舟

［规律总结］正弦定理的特点

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.

(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角

关系的互化.

2.解三角形

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,幺叫做三角形的元素，已知

三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

三、基本技能•素养培优

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)正弦定理适用于任意三角形()

(2)在△ABC中，等式加inA=asin8总能成立()

(3)在△48C中，己知a,b,A,则此三角形有唯一解()

解析：(1)正确.正弦定理适用于任意三角形.

(2)正确.由正弦定理知［=一：'-%即〃sinA=asin8.

siiiAsinD

(3)错误.在△ABC中，已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况,

具体情况由a,b,A的值来定.

答案：(1)J(2)V(3)X

2.在△ABC中，下列式子与等的值相等的是()

人b§加b

A.-B.~~7

csinA

解析：选c由正弦定理得，而7=而？，

所以*A=gC.

3.在△A8C中，已知A=30。，B=60。，a=10,则6等于()

A.5/B.1(^/3

C.呼D.5而

.R10X日

解析：选B由正弦定理得，》=%詈=-j—=1叭/1

sin/TLi

2

4.在中，4=,，b=2,以下错误的是()

A.若。=1,则c有一解B.若a=小,则c有两解

4

C.若。=不则。无解D.若a=3,则。有两解

解析：选Da=2s岐=1时，c有一解；当a<l时，c无解；当lva<2时，c有两个解;

a>2时，c有一解.故选D.

细探究►——突破重难

考点一已知两角及一边解三角形

［典例］在△A5C中，已知a=8,5=60。，C=75°,求A,b,c.

［解］A=180°—(8+O=180°-(60°+75°)=45°,

b旧asinB8Xsin60°r-

由正弦定理•，得2赤厂

sinBsinA

J24-V6

,_a_____j,sasinC8Xsin75°「入4,,行」、

由^71=砧，得。=而才=sin45。=~^=4(A/3+1).

2

［类题通法］

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路

(1)由三角形的内角和定理求出第三个角.

(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边.

［注意］若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特

殊角转化为特殊角的和或差，如75。=45。+30。)，再根据上述思路求解.

［针对训练］

1.在8c中，若4=60。,13=45°,BC=3yf2,则AC=()

A.4小B.2y[3

灌

C币

普=磊,即占,所以其趣义号

解析：选B由正弦定理得,

2

2巾，故选B.

2.已知在△A5C中，c=10,4=45°,C=30°,求a,b和反

解：*

•sinAsinC9

.csinA10Xsin45°r-

,,a=sinC=sin30°=10v2-

B=180°-(A+O=180o-(45o+30o)=105°.

*sinBsinC9

csinB10Xsin105°

~~去=20sin75°

b=sinC=sin30

亚詈=5(*+6

=20X

考点二已知两边及其中一边的对角解三角形

［典例］在△ABC中，a=巾，b=y［2,5=45。，求A,C,c.

［解］由正弦定理及已知条件，有舟品,

得sinA=

2

*：a>b,・・・4>5=45。.・・・4=60。或120°.

加inC由sin750#+也

当4=60。时,C=180°-45o-60o=75°,

-sin3-sin45°一2

_加inC__2s^2sin_152_V6222j2

当4=120。时，C=180°-45°-120°=15°,c=sinB=sin45°=2，

_.y[6+y[2..#—也

综上可知：A=60°,C=75°,c=、,Y或A=120。,C=15°,c=、5、一.

［类题通法］

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断

另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.

(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值

可求两个角，要分类讨论.

［针对训练］

在△A8C中，c=祈，C=60°,a=2,求A,B,b.

asinC\[2

解.；一=—5^/•sinA—

,sinAsinCr2・

，A=45。或A=135°.

又：.OA.：.A=45°.

.R_”。csin_B_^sin752

H,b-s.nc-或1^。。73+1.

考点三三角形形状的判断

［典例］在△A3C中，acose一A)=反os住一8),判断△A5C的形状.

解：［法一化角为边］

■:acosg-A)=bcos住一8),

.".asinA=6sinB.由正弦定理可得：

LKLK.

・・・。2="，：.a=b9••・△ABC为等腰三角形.

［法二化边为角］

,:4cos停—A)=力cose—3),

AasinA=Z>sinB.

由正弦定理可得：2/?sin2A=2Ksin28,即sinA=sin8,

：.A=B.（A+B=n不合题意舍去）

故△ABC为等腰三角形.

［类题通法］

利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径

（1）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识

（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b,出+从=。2等，进而确定三角形的形状.利用

Qb£

的公式为：sinA=灰，sin8=赤，sinC=森.

（2）化边为角.将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知

识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA,b=2RsinB,

c=2RsinC.

［针对训练］

在△ABC中，已知acosA=bcos8,试判断△ABC的形状.

解：由正弦定理,sjn4=§汨c=2&所以“cosA=Acos3可化为sinAcosA=sin

sinA

5cos仅sin2A=sin2B,又3c中，A,B9CE(0,n)9所以24=23或24+23=冗，即

yr

A=5或4+5=3，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形.

多练悟力——素养提升

A级——学考水平达标

1.在△4BC中，a=5,b=3,则sinA：sin8的值是（）

,5„3

A.§B.g

解析：选A根据正弦定理得鬻

2.在△ABC中，a=bsinA,则△43C一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

解析：选B由题意有肃合,则sin3=1,

即角5为直角，故△A8C是直角三角形.

3.在△A8C中，若吟9=用，则c的值为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：选B由正弦定理得，呼=喈=喑,

则cosC=sinC,即C=45°,故选B.

4.△ABC中，A弋，b=y[29则〃等于()

A.1B.2

C#D.2^3

解析：选A由正弦定理得一与=△£,

•九.加

sm^sin^

故选A.

5.在△ABC中，角A,。所对的边分别是a,b,c,且〃=小加而4则sin5=()

A.^3B坐

解析：选B由正弦定理得〃=2RsinA,b=2RsinB,所以sin4=q§sinbsinA,故sin

6.下列条件判断三角形解的情况，正确的是(填序号).

①a=8,i=16,A=30°,有两解；

②)=18,c=20,6=60。，有一解；

③〃=15,b=2,A=90。，无解；

④。=40,*=30,4=120°,有一解.

解析：①中〃=AsinA,有一解；②中csinB<b<c,有两解；③中4=90。且。>心有一

解；④中心。且4=120。，有一解.综上，④正确.

答案：④

7.在△A3C中，若(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sin2C,则△ABC的形状是.

解析：由已知得sii^A—sin23=sin2c,根据正弦定理知sinA=必，sinsinC=

ZK乙K

C

2R9

所以阂2-阂『㈤2，

即标一方2=。2,故从+c2=a2.所以3c是直角三角形.

答案：直角三角形

8.在锐角△ABC中，BC=1,B=2A,则一J=_______.

COSA

1ArAC

解析：由正弦定理及已知得而工=而五，二3=2.

答案：2

9.已知一个三角形的两个内角分别是45。，60。，它们所夹边的长是1,求最小边长.

解：设△A8C中，4=45。，8=60。，

则。=180。一(4+5)=75。.

因为C>B>A,所以最小边为a.

又因为c=l,由正弦定理得，

csinA11sin45°r-_

a=sinC=sin75°=v3-b

所以最小边长为小一1.

10.在△ABC中，已知a=2巾,A=30°,5=45。，解三角形.

铤.••---~~——£—

除・,sinA-sinB-sinC

.,asinBiVlsin45°2V^X^2~

•"=sin4=sin30°=1-=4

2

.♦.C=180°—(4+5)=180°—(30°+45°)=105°,

.asinC2visin1()5°2点sin75°

**c-sinA-sin30°-1

2

=Wisi11(30°+45°)=2+2W.

B级——高考能力达标

1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,如果c=45a,8=30。，那么

角C等于()

A.120°B.105°

C.90°D.75°

解析：选A,:c=W，：.sinC=V3sinA=V5sin(180°-30°-O=V3sin(30°+0=^3

曾sinC+|cosc),即sinC=-小cosC,：.tanC=一黄.又0°<C<180°,

.♦.C=120°.故选A.

2.已知a,A,c分别是△A5C的内角A,B,C的对边，若△ABC的周长为4(6+1),

且sinB+sinC=[isinA,则a=()

A.y/2B.2

C.4D.2V2

解析：选C根据正弦定理，sin8+sinC=qisinA可化为6+。=也%

•.•△ABC的周长为4(V2+1),

(a+b+c=4(yl2+l),

.♦.<厂解得a=4.故选C.

[b+c=^2a,

3-在△AM中，A=6。。，。=回，则/提%小于（）

A.苧

B.噜

r26y/3

3

A-.,…a-ri)~rca

解析：选B由a=2Rsin4,b=2Rsin8,c=2RsinC得.A+sin8+sin

_V13_2^39

=sin60o=3•

4.在△ABC中，若4<8<C,且A+C=2B,最大边为最小边的2倍，则三个角A：5：

C=()

A.1：2：3B.2：3：4

C.3：4：5D.4：5：6

解析：选A由4<8<C,SLA+C=2B,A+B+C=n,可得8出，又最大边为最小边

的2倍，所以C=2Q,所以sinC=2sinA,即sin(y—Aj=2sinA=tan4=方~,又OVAVTT,

所以4=3，从而C=7，则三个角A：B：C=1：2：3,故选A.

01

5.在△ABC中，A=60°,8=45。，a+b=12,则a=,b=.

解析：因为丁%=/^,所以「扁=「展，

sinAsinBsin60sm45

所以坐》=申明①

又因为a+6=12,②

由①②可知a=12（3—黄），b=12（V6-2）.

答案：12（3—水）12（木一2）

6.在△ABC中，若4=120。，AB=5,BC=7,则sin3=.

解析：由正弦定理，得靛=煞，

AB*sinA

即C=

sinBC

5sin120°5^3

=7=14*

可知C为锐角，，cosC=yj1—sin2C=1^.

:.sinB=sin(l80°一120。一O=sin(60°-C)

3\[3

=sin60°-cosC-cos60°*sinC=.

口荣，14

7.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,心。且高■=7亡

⑴求角C的大小；

(2)如果市方=4,求△A5C的面积.

a_____c

sinAsinC'

解：⑴由＜a©得sinC=^/3cosC,

、sin4一巾cosC'

故tanC=小，又CG(0,：r),所以C=g.

(2)^~CA-~CB=\CA||CB|cosC=^ba=4得ab=S,

所以SA4BC=1«/»sinC=3x8X乎=2小.

|拓广探索|

8.在△A5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+由bsin

⑴求8；

(2)若b=小,求a+c的取值范围.

解：(1)由正弦定理知：sin8cosc+巾sin8sinC—sinA-sinC=0,

VsinA=sin(B+C)=sin3cosC+cosBsinC代入上式得：

小sinBsinC-cosBsinC—sinC=0.

VsinOO,.•./sinB—cosB—1=0,

即sin(TH,

7T

VBG(0,7i),1B=].

(2)由(1)得：2R=^~^=2,a+c=2R(sinA+sinO

=2\/5sin(c+/.

•.•CG(O,y),：.2y[3sin(c+^G(^3,2回

.,.a+c的取值范围为(6，25].

1.1.2余弦定理

读教材:»---预习新知

一、预习教材•问题导入

预习课本P5~6,思考并完成以下问题

(1)余弦定理的内容是什么？

(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？

(3)已知三角形的三边如何解三角形？

二、归纳总结•核心必记

余弦定理

=万2+♦—2-CC0S_A，

余弦定理公式表达)2=。2+。2-2accos_3,

/=必+-2-2a-cos_C

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这

语言叙述

两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

余弦定理b2+c2-a2a2+c2—b2

cosA_2bc'cosb—2ac'

推论

a2+Z>2—c2

cosC-lab

[规律总结]余弦定理的特点

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.

(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含

有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量.

三、基本技能•素养培优

1.判断下列命题是否正确.（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形（）

（2）在△ABC中，若标＞"+。2,则△ABC一定为钝角三角形（）

（3）在△A8C中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一（）

解析：（1）正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.

62+。2—“2

⑵正确.当。2＞方2+。2时，COSA=TT＜0.

乙DC

因为0＜4＜兀，故4一定为钝角，△45C为钝角三角形.

（3）错误.当AABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△

ABC唯一确定.

答案：（1）7（2）V（3）X

2.在△ABC中，已知a=9,b=2小，C=150°,则c等于（）

A.A/39B.85

C.1072D.7市

解析：选D由余弦定理得：

♦792+（2小＞一2X9X2巾Xcos150。

=7147

=7小.

3.在△A8C中，已知a2=/»2+c2+加，则角A等于（）

A.60°B.45°

C.120°D.30°

1

解析：选C由cosA=-----示---=-5'，4=120Q.

4.在△A5C中，已知》2=欧且c=2a,贝！1cos〃等于（）

解析：选B由〃2=℃且c=2〃得cos6=

层+4。2—2。23

=4.故选B.

2a*2a

细探究突破重难

考点一已知两边与一角解三角形

［典例］(1)在△A8C中，己知8=60cm,c=6(h/3cm,4=^,贝!］“=cm；

(2)在△ABC中，若AB=/,AC=5,且cosC=*,贝lj8C=.

［解析］（1）由余弦定理得:

=^/4X602-3X602=60(cm).

(2)由余弦定理得：(由)2=52+30—2X5X8C><V，

所以BG-gSC+ZOnO,解得BC=4或8c=5.

［答案］(1)60(2)4或5

［类题通法］

已知三角形的两边及一角解三角形的方法

先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出

其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解.

若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在（0,n）

上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解较好.

［针对训练］

在△4BC中，a=2部,c=y［6+yfl,8=45。，解此三角形.

解：根据余弦定理得，

Z>2=a2+c2-2accosB=(2V3)2+(V6+V2)2-2X2V3X(V6+V2)Xcos45。=8,

：.b=2yj2.

ft2+c2—a28+(#+啦)2-(2小>1

又.cosA=-—=2义23义(而+圾=2>

，A=60°,C=180°-（A+B）=75°.

考点二已知三角形的三边解三角形

［典例］在8c中，已知a=2币，b=*,c=3+S，解此三角形.

［解］法一：由余弦定理的推论得

b2+c2-a2（的2+（3+啊2一（25）2正

C0SA：诙—=2X加><（3+小）=2，

...A=45°.同理可求3=30°,故C=1800-A-B=180o-45o-30o=105°.

法二：由余弦定理的推论得

fe2+c2-a2(#>+(3+^)2—(2小Ay［2

cos4=2bc=2X,X(3+5)=2'AA=45°.

由正弦理版sin3知sin45°-sinB,

徨..在sin45。1

4s，nB-2小-2-

由a>b知A>B,.\B=30°.

故。=180°—4-8=180°—45°—30°=105°.

［类题通法］已知三边解三角形的策略

(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角

为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一.

(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性

质，转化为已知三边求解.

［针对训练］

已知a,b,c是△A5C三边之长，若满足等式(a+b-c)・(a+)+c)=ab,则C的大小为

()

A.60°B.90°

C.120°D.150°

解析：选C'J(a+b—c)(a+b+c)=ab,

'.c2—a2+b2+ab,

层+从一。2

由余弦定理可得，cosC=—说一

。2+/>2—⑷+小+就)ab工

lab-2ab~V

V0o<C<180o,.\C=120°,故选C.

考点三利用余弦定理判断三角形形状

[典例]在△48C中，若於sin2C+c2sin28=2AccosBcosC,试判断△A5C的形状.

解：［法一化角为边］

将已知等式变形为

/>2(1—cos2C)+c2(1—cos2B)=Ibccos8cosC.

由余弦定理并整理，得

b2+c2-b

02+〃2­。2

2ab

[(层+52—。2)+(〃2+。2-52)]24〃4

22

：.b+c=4层

••・A=90"・・ZkA3C是直角三角形.

［法二化边为角］

由正弦定理，已知条件可化为

sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sinBsinCeos3cosC.

又sinBsinC#0,

/.sinBsinC=cosBcosC,即cos(8+C)=().

又,.,0°<B+C<180°,；.B+C=90°,.-.A=90°.

.,.△ABC是直角三角形.

［类题通法］判断三角形形状的两条途径

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应

关系；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变

形，得出内角的关系，此时要注意应用A+B+C=TT这个结论.

［针对训练］

在△ASC中，acosA+bcos£?=ccosC,试判断△ABC的形状.

皿.A-iZ>2+<?2-a2c2+a2-Z>2a2+h2-c2

解：由余弦A理知cosA=痂，cos3=菊，cosC=茄，代入已知

条件得

i2+c2-a2c2+a2—ft2c2~a2-b2

a'-2bc-+b'-lea—十，•一茄一=0,

通分得a2(ft2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2—a2—62)=0,

展开整理得(。2—)2)2=°4.，42一方2=±七即«2=ft2+c2或b2=a2+c2.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形.

考点四正、余弦定理的综合应用

［典例］在8c中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知加inA=acos(B-g.

(1)求角B的大小；

(2)设a=2,c=3,求占和sin(2A-B)的值.

［解］⑴在△48C中，

由正弦定理二=可得bsinA=asinB.

sm/isina

又因为bsinA=acos^B—

所以osinB=acos^B-

石］

即sinB=,cosB+zsinB,

所以tanB=木.

因为B£(0,n),所以34.

(2)在△ABC中,由余弦定理及Q=2,C=3,B=1,

得b2=a2+c2—2accos5=7,故b=木.

由bsinA=acos^B-可得sin4=夸.

2

因为aVc,所以cos4=诉.

所以sin2A=2sinAcosA=邛^,

cos2A=2cos24—l=y.

所以sin(2A—B)=sin2Acoscos2AsinB

401、亚3^/3

=7X2-7X2=14-

［类题通法］

(1)正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等

变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180。、大边对大角等.

(2)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；如果式

子中含有角的正弦或边的一次式时，则要考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑

两个定理都有可能用到.

［针对训练］

1.在△A3C中，求证岛in2B+"sin2A=2“加inC.

证明：法一：(化为角的关系式)

a2sin2B+Z>2sin24=(2/?-sinA)2-2sinB-cosB+(2/?-sinB)2-2sinA,cosA=8/?2sinA-sin

B(sinA-cos£?+cosAsinB)=8Zf2sinAsinBsinC=2・2KsinA-2/fsinB-sinC=2absinC.

原式得证.

法二：(化为边的关系式)

,..,.,2ba2+c2~b2,,2ab2+c2~a2ah,,,

左边=q2.2sin8cosB+Z>2-2sinAcosA=a2'^----+〃■获.---------2bc

—b2+b2+c2—a2)=^~-2c2=2ab-^=2absinC=右边，

LK.CLK

...原式得证.

2.已知△ABC的周长为4(g+l),角A,B,C所对的边分别为a,h,c,且有sinB

+sinC="\/2sinA.

(1)求边长a的值；

(2)若△48C的面积为S=3sinA,求48•AC的值.

解：(1)由正弦定理，得b+c=ga.①

又a+万+c=4(g+l),②

联立①②，解得a=4.

(2)VSAABC=3sinA,A^csinA=3sinA,即be=6.

义,:b+c=^a=4版

二由余弦定理得

b2+c2—a1(b+c)2—2〃c一标j

cos4=TZZ=m=7・

AB,AC=bccosA=2.

多练悟»——素养提升

A级——学考水平达标

1.在△A〃C中，已知(〃+8+C)(0+C-G)=3AC,则角A等于()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

22222

解析：选BV(b+c)—a=b-¥c-{-2bc—a=3bc9

•\62+c2-a2=ic,

b2+c2-a21

•••cosA=2>bc=2,**•A=60°.

2.在△ABC中，若〃=8,b=7,COSC=TT,则最大角的余弦值是()

1111

--c---

5B.67D.8

解析：选C由余弦定理，得

13

c2=a2+b2~2abcosC=82+72-2X8X7X-^=9,

所以c=3,故a最大，

所以最大角的余弦值为

加+c2—“272+32—821

cosA=_2bc-=2X7X3=~T

C2—a2—庐

3.在△A5C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若一。->0,则△ABC(

A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形

解析：选C由前>0得一cosC>0,

所以cosC<0,从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.

4.若△ABC的内角4,B,C所对的边a,b,c满足3+与2—。2=4,且。=60。，则M

的值为（）

A3B.8-4^3

D.|

C.1

解析:选A由(a+8)2—c?=4,得a2+ft2—c2+2aft=4,由余弦定理得a2+ft2—c2=2afecos

4

C=2abcos60°=ab,则。方+2a5=4,Aab=y

5.（2018•全画卷ni）2^A3C的内角A,B,。的对边分别为小b,c.若△A5C的面积为

a2+62-c2

一4一，贝。（）

A.]B・W

C4D6

回a_1a2+ft2-c2labcosC10

解析：选CVS=Tfl6sinC==^fecosC,AsinC=cosC,即tan

C=l.

VCe(0,：.C=^.

6.已知a,b,c为△ABC的三边，8=120°,贝lj滔+02+或一》2=,

解析：Vft2=a2+c2—2accosi?=a2+c2—2«ccos120°

=a2+c2+ac,

•\a2+c2+ac—Z>2=0.

答案：0

7.在△A〃C中，若b=l,c=小,。=苧，则a=.

解析：Vc2=a2+h2-labcosC,

A(-\/3)2=a2+l2—2aXIXcos季

Aa2+a—2=0,即(a+2)(a—1)=0,

，a=l,或〃=—2(舍去).

答案：1

8.在△A3C中，若a=2,b+c=l9cos3=一：,则力=

解析：因为力+c=7,所以c=7一尻

222

由余弦定理得：Z>=a+c-2accosB9

即。2=4+(7—b)2—2X2X(7—6)义(一二)，

解得b=4.

答案：4

9.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求反

解：在△A8C中，,：A+C=2B,A+B+C=180。，

...3=60°.

由余弦定理，

得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2—2ac-2accosB

=82-2X15-2X15X1=19.

：.b=y[19.

10.在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.

解：•.,a>c>6,为最大角.

由余弦定理的推论，得

"+c2一层32+52-72]_

cosA=_2bc-=2X3X5=-2*

5CV0°<A<180°,

/.4=120°,

A

AsinA=sin120。=与

亚

缶T桧…诃坦.•「csinA_____25小

由正弦无理，得sinC—@—7—乂・

二最大角A为120°,sinC=等.

B级—高考能力达标

1.在△ABC中，有下列关系式：

®asinB=hsinA；®a=bcosC+ccosB；®a2+b2—c2=2abcosC；④/>=csinA+asinC.

一定成立的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选C对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立.对于②，由正弦定理及sin4

=sin(B+C)=sinBcosC+sinCeosB,知显然成立.对于④，利用正弦定理，变形得sin8

=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,又sinB=sin(A+C)=cosCsinA+cosAsinC,与上

式不一定相等，所以④不一定成立.故选C.

2.在△A5C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=120。，，=也。，则a,b

的大小关系为()

A.a>bB.a<b

C.a=bD.不能确定

解析：选A在△ABC中，。2=〃2+62—2。反0§120。=*+"+。〃.*.2Q2=Q2

222

+b+ab,，区一）2=〃b>0,a>b9：.a>b.

a■|'c

3.在△A8C中，“5弓=不-,则△48。是（）

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

5..、Ba+ccos8+1a+c

=

解析：选Bcos2=2C»'22c'

aa2+c2-b2a,,,,

.•.cos8=]:.2ac=1•••/+，2—。2=2区,

即，+/=c2,.•.△ABC为直角三角形.

r

4.（2018•全国卷口）在△ABC中，cosj=^-,BC=1,AC=S,贝！JAB=（）

A.4A/2B.V30

C.^29D.2A/5

解析：选AVcosf=^,

cosc=2cos2j—1=2X1=—1.

在△ABC中，由余弦定理，得C=52+12-2X5X1X

=32,

；.AB=4巾.

3

5.在aA5c中，内角A,B,。所对的边分别是小b,c,已知c=2尻若sin。=不则

sinB—；若b2+bc=2a2,贝！JcosB=.

33

解析：因为c=2瓦所以sinC=2sin3=1，所以sin.因为c=2瓦所以力2+儿=3〃2

(4o

=2层，所以〃=乎力.

〃+c2T2_*+4庐一从

_3^6

所以cosB=

2ac-2y[6b2=8,

3¥

-

8

6.在8c中，4=120°,AB=5,5c=7,则黑常的值为

解析：由余弦定理可得49=Aa+25—2X5XACXcos120°,整理得:

AC2+5-AC-24=0,

解得AC=3或AC=-8(舍去)，

w上一、以R-ve亚旦AC3

再由正弦无理可得嬴7=同=总

答案建

rnw/I——0

7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知-：3-二丁。

⑴求鹊的值;

(2)若cos3=:,△ABC的周长为5,求b的长.

解：⑴由正弦定理可设急=熹=漆=心

2