人教A版高中数学选修1-1基础知识梳理及达标训练

高中数学选修1-1基础知识梳理及达标训练

第一章常用逻辑用语

1.1命题及其关系

第1课时1.1.1命题

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系

■基础知识梳理______|

1.命题的概念

(1)一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的

陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

(2)一般地，用p和q分别表示一个命题的条件和结论.用^p、午弟q表示p

和q的否定.于是四种命题的形式就是：

原命题：若p则q(p=4);

逆命题：若,则p(4=p);

否命题：若^p则㈱夕镰p=^</)；

逆否命题：若q则p).

2.四种命题间的关系

■题点知识J凡固

知识点一命题的概念

1.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思这是唐代诗人王

维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是()

A.红豆生南国B.春来发几枝

C.愿君多采撷D.此物最相思

解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐

代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多

采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题.

答案：A

2.下列语句中，是命题的是（）

Ay+l>0,xeRB.函数是偶函数吗？

C.a2=aD.平行四边形

解析：A可以判断真假；B不涉及真假；C不能判断真假；D也不涉及真假,

故选A.

答案：A

知识点二命题的真假与四种命题

3.（2019•吉林白山期末）设a,夕为两个不同的平面，〃为两条不同的直线,

且/Ua,mU。,则下列命题口为真命题的是（）

A.若/〃小，则/〃//B.若LLm,贝

C.若a〃夕，则/〃夕D.若a邛,则LLm

解析：由a,夕为两个不同的平面，/,m为两条不同的直线，且/Ua,mU3

知：在A中，若/〃“，则/〃夕或/U从故A错误；在B中，若/，孙则a与

£相交或平行，故B错误；在C中，若。〃人则由面面平行的性质定理得/〃人

故C正确；在D中，若aLf,则/与相相交、平行或异面，故D错误.故选C.

答案：C

4.（2019•福建闽侯二中期末）有下列四个命题：

①“若足+从=0,则小b全为0”的逆否命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若咨1,则/+北+行。有实根”的逆否命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题.

其中真命题为（）

A.①②B.©@

C.②③D.@@

解析：①中，”若。2+^=0,则用b全为0”为真命题，则其逆否命题为

真命题，①正确：②中，“全等三角彩的面积相等”的否命题是：“不全等的三

角形的面积不相等“，是假命题，②错误；③中，“f+2x+4=0有实根”的条

件为4=4-4420,则4W1,所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题，

③正确；④中，“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩

形”是假命题，④错误，故选B.

答案：B

知识点三命题的应用

5.（2019•福建龙海月考）设函数二的定义域为集合A,函数g（x）

=lg（：—1）的定义域为集合B,已知p：x^AC\B；q：x满足2x+机<0,且若p

则夕为真命题，求实数机的取值范围.

3

解：由题意，从二屏“一工一220}={小W—1或x22},8=%；—1>0=

:/

{x|0<x<3},・・・408=但2«3}.

记。={川标+w0}=卜内号L若〃则4为真命题，则AG6±C,・・・3W

m

~2r

.,.mW-6,故实数m的取值范围为{"巾6}.

6.证明：已知函数y（x）是（-8,+8）上的增函数，〃、b£R,若共公土他）宓一

幻十4一。），则a+b^0.

证明：原命题的逆否命题为“已知函数«x）是（-8,+8）上的增函数，a,

6WR,若a+bvO,

则（份勺（一/+八一b）”.

若a+b〈O,则a<—b,b<—a,

又；/U）在（-8,+8）上是增函数，

，五。）勺（一b）,fib）<J[-d\.

•*•/（«）+/（份勺（一。）+4-b）,

即逆否命题为真命题.

**•原命题为真命题.

■提能达标过关_____|

一、选择题

1.（2019•甘肃永昌四中期末）命题“若。<力，则a+cC+c”的逆否命题是

A.若a+c<b+c,贝ijB.若白+ob+c,贝lj

C.若〃+c2Z?+c,贝ijD.若〃+c<b+c,贝ij

答案：C

2.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）

①过平面a外的两点，有且只有一个平面与平面a垂直；

②若平面夕内有不共线三点到平面a的距离都相等，则a//p；

③若直线/与平面内的无数条直线垂直，贝

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线.

A.3B.2

C.lD.0

解析：①中当平面a外的两点确定的直线与a垂直时，有无数个平面与平面

a垂直，所以①错；②中a与尸也可能相交，所以②错；③错；④两条异面直线

在同一平面内的射影也可能相交，所以④错.

答案：D

3.（2019・辽宁重点高中联考）有下列四个命题：

①“若孙=1,则x,y互为倒数”的逆命题；

②“三角形的内角和是180。”的否命题；

③“若mWl,则f-2x+m=0的实根”的逆否命题；

④“若AAB=B,则AGB”的逆否命题.

其中真命题为（）

A.①②B.②③

C.④D.©@③

解析：①②③为真命题，④中“若AA8=B,则AGB”是假命题，则其逆

否命题为假命题，故选D.

答案：D

4.（2019・南山中学月考）已知命题/“若12/+护，则,则下列说

法正确的是（）

ff

A.命题p的逆命题是“若则x<2ab

B.命题〃的逆命题是“若xv2",则工〈次+护，，

C.命题〃的否命题是“若工〈〃2+护，则1<2时”

D.命题〃的否命题是“若工，/+加，则欢2仍”

解析：命题〃的逆命题是：“若则12/+及，，，否命题是：“若

22ff

x<a-^-bf则x<2ah,故选C.

答案：C

5.原命题为“若**4,〃£N.,则｛m｝为递减数列”，关于其逆命题,

否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）

A.真，真，真B.假，假，真

C.真，真，假D.假，假，假

解析：妇产<〃〃=4〃+|<〃〃0｛扇｝是递减数列，所以原命题和逆命题都是

真命题，又原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，所以否命题，逆否命

题也是真命题.

答案：A

二、填空题

6.（2019•吉林通化期末）命题“当c>0时，若a>b,则ac>hcff的逆命题

是.

答案：当c>0时，若ac>bc,则cob

7.下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③止方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.

其中互为逆命题的有；互为否命题的有；互为逆否命题的

__________.（填序号）

答案：②④，③⑥②⑤，①⑥®@t④⑤

8.关于原命题“在△A8C中，若cosA=2sinBsinC,贝!△ABC是钝角三角

形”的叙述:

①原命题是假命题；②逆命题是假命题；③否命题是假命题；④逆否命题为

真命题.其中正确命题是.

解析：在△A5C中，cosA=cos[;c-(B4-Q]=—cos(B4-Q=-cosBcosC+

sinBsinC,

又cosA=2sinBsinC,

cos(B-0=0,

/.△ABC为钝角三角形，故原命题是真命题，从而逆否命题为其命题.又逆

命题是：在△ABC中，若△A8C是钝角三甫形，则cosA=2sin8sinC,易知是

假命题，从而否命题也是假命题.

答案：②③④

三、解答题

9.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；

(2)若mW4,则方程f+4x+m=0有实根；

(3)若/+产=0,则实数小y全为零.

解：(1)逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题.

否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.

逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.

(2)逆命题：若方程f+4A：+m=0有实根，则加<4,

VA=16-4/n^0,・・.mW4,工是真命题.

否命题：若心4,则方程f+4x+m=0无实根，是真命题.

逆否命题：若方程/+叙+机=0无实根，则m>4,是真命题.

(3)逆命题：若实数x,y全为零，则¥+产=0,真命题.

否命题：若则实数x,y不全为零，真命题.

逆否命题：若实数小y不全为零，则真命题.

10.(2019・江西上饶期末)设命题p：实数x满足。一〃)。—3〃)<0,其中〃>0,

命题/实数x满足2<x<3.若。=1,有p且q为真，求实数x的取值范围.

解：V(X—£7)(x—3^)<0,〃>0,a<x<3a,

若〃=1,贝ijp：l<x<3,

若〃且4为真，贝ij2<xv3,

・・・实数］的取值范围为(2,3).

1.2充分条件与必要条件

第2课时1.2.1充分条件与必要条件

1.2.2充要条件

■基础知识梳理_____|

1.一般地，命题“若p则q”为真，可记作“一”;“若p则夕”为假，

可记作“邑Z”.

2.一般地，如果〃nq,那么称〃是4的充分条件,同时称。是〃的必要条件.

3.如果〃=4且。=〃,那么称〃是°的充分必要条件，简称〃是。的充要条

件，记作同时q也是p的充要条件.

■题点知识见固_____|

知识点一充分条件、必要条件的判断

1.(2018♦北京卷)设a,b,c,d是非零实数，则％d=bc”是“a,b,c,d

成等比数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：a,b,c9d是非零实数，若ad=bc,则§=(，此时〃，b,c,d不一

定成等比数列；反之，若a,。，c,4成等比数列，则所以ad=bc,所以

“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件，故选B.

答案：B

2.(2019•云南曲靖月考)设向量0=(1,x—l),。=(%+1,3),则“x=2”是“a

〃方”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：若。〃b,则(x—l)(x+1)=3,或x=—2,

・•・“x=2”是“a〃b”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

知识点二充分条件、必要条件的应用

3

3.(2019•江西上饶月考)已知“4T是“黄不1”的充分不必要条件，则Z的取

人I1

值范围是.

32~x

解析：由于77<1得二言川，.*.X<—1或x>2,

X-T1x-r1

3

若“心法”是7<1”的充分不必要条件，则Z22.

人I1

答案：［2,+oo)

4.是否存在实数〃，使4x+a<0是f—x—2>0的充分条件？如果存在，求出

〃的取值范围；否则，说明理由.

解：由『一x—2>0,解得x>2或xv—L

令A=｛x|x>2或x<—1｝,由4X+Q<0,得rv—/

令8=xx(一詈S当3GA时，即一京<—1,

即°24.

此时xv—g—l=f—x—2>0,

当々24时，4x+a<0是X2—X—2>0的充分条件.

知识点三充要条件的判定与证明

5.设〃£N*,一元二次方程/—4x+〃=0有整数根的充要条件是〃

解析：由f-4尤+〃=0,得。-2)2=4—几•・•方程有整数根，且〃EN*,：.n

=3或4.

答案：3或4

6.己知数列｛〃〃｝的前n项和S〃=2"+z(〃£N+).

证明：数列｛小｝是等比数列的一个充要条件是，=—1.

证明：(1)充分性：Vr=-1,・・・S〃=2〃-1,

nnlnl

当〃22时，an=Sn-Sn-\=(2-i)-(2~-\)=2~.

又。i=Si=l=2°,a*=2"-i(〃£N*),

・•.食1=券=2,故数列｛如｝是等比数列.

（2）必要性:•••S“=2”+f（〃eN+）,

；・=S1=2+l,CL2=S1—Sl=2,U3=S3-52=4,若数列｛〃〃｝是等比数列，

则㈤=4103,即4（2+。=4,；♦/=-1.由（1）（2）知，数列｛。〃｝是等比数列的一个充

要条件是r=-l.

■提能达标过关_____I

一、选择题

1.（2019•浙江卷）若30,6>0,则“a+bW4”是“abW4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：：公*。，b>0f又

若〃+/?这4,则"W4,反之不成立，

故“〃+bW4”是“而3的充分不必要条件，故选A.

答案：A

2.（2019•海南海口月考）设团，〃表示不同的直线，«,夕表示不同的平面，且

m,nUa,则"a〃4"是"加〃夕且〃〃用”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：若〃Ua,a〃夕，则m〃0,〃〃夕；

若山〃夕，n〃口,机Ua,〃Ua,但相，〃不一定相交，a与4平行或相交，

所以“a〃夕”是““〃夕且〃〃夕”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

3.（2019・湖北荆州期末）设a£R,则a>4的一个必要不充分条件是（）

A.6f>lB.〃<1

C.a>5D.a<5

解析：当a>l时，〃>4不一定成立；当〃>4时，成立，

是a>4的一个必要不充分条件，故选A.

答案：A

4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要

条件，那么()

A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充分条件及必要条件

D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

解析：依题意知：丙=乙=甲，而乙玲丙，所以丙=甲但甲令丙，故丙是

甲的充分条件，但不是甲的必要条件.

答案：A

5.已知向量a=(xfb=(cosa,sina)f其中x,yf。£艮若闷=4步|,则ab<)?

成立的一个必要而不充分条件是()

A，>3或2V—3B.2>1或/<—1

C.-3<A<3

解析：由已知得协|=1,所以闷=d?ry=4,因此Q•力=xcosa+ysina=

”?Tysin(a+9)=4sin(a+3)W4.由于ab<)?成立，所以A2>4,解得2>2或衣一

2.这是。力<乃成立的充要条件，因此0/<乃成立的一个必要而不充分条件是

或衣一1.

答案：B

二、填空题

6.函数y=f+bx+c在[0,+8)上是单调函数的充要条件是.

解析：抛物线)=/+云+。开口向上，要使x£[0,+8)时为单调函数，只

要对称轴x=—即620.

答案：820

7.设mb,c£R,给出下列命题：

①“a=b"是aac=bc"的充要条件；②“泌”是“同〉此的充分条件；③

是%<3”的必要条件；④％+5为无理数”是“。为无理数”的充要条件.

其中真命题的所有序号是.

解析：①。=b=ac=Z?c,而ac=bc/na=b,所以①错；

②公*6/=闷>|处所以②错；

③。<5/=。<3,而〃<3=。<5,所以③正确；

④正确.

答案：③©

8.已知条件〃：任一1|>〃和条件4：2X2—3x+l>0,则使〃是q的充分不必要

条件的最小整数。=.

解析：条件p:|x-\\>a^>x<\-aAx>\+a;条件q:Zx2—3x+l>0Ox<^或

x>l.若〃是q的充分不必要条件，则。=1.

答案：1

三、解答题

9.指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分

条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).

(1)在△ABC中，ptZA=ZB,q：sinA=sinB：

(2)对于实数x、yfp：x-yW8,q：xW2或产6；

(3)非空集合A、5中，p：xEAUB,q：x^B；

(4)己知x、yGR,p：(x-l)2+(y-2)2=0,

q：(x-l)(y-2)=0.

解：(1)在△ABC中，NA=N8=sinA=sin3,反之，若sinA=sin5,因为

A与8不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=8.故p是q的

充要条件.

(2)易知，名弟p：x+y=8,，弟q：l=2且y=6,显然但㈱〃分㈱

q，即^夕是的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p凫q

的充分不必要条件.

(3)显然不一定有但一定有X&AUB,所以〃是q的必

要不充分条件.

(4)条件p：x=l且y=2,条件/%=1或y=2,

所以p=>q但/p,故p是4的充分不必要条件.

10.(2019•安徽阜阳期中)设命题p：实数x满足1-4以+3〃2<0,其中加0,

命题g：实数尤满足f+2x—8>0,且夕是〃的必要不充分条件，求实数。的取

值范围.

解：设A={xlx2—4or+3a2<0,a<0]={x|3«<x<«,«<0},

B={x|f+2x—8>0}={x\x<-4或x>2},

•・z是〃的必要不充分条件，

/.AB,

/.3。22或。W—4,又。＜0,

・,・实数。的取值范围是(-8,-4].

13简单的逻辑联结词

第3课时1.3.1且(and)

1.3.2或(or)

1.3.3非(not)

■基础知识梳理_____|

1.逻辑联结词

把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有“且”“或”“非”.

2.含有逻辑联结词的命题的真假

Pqp'qp'q痴，

真真真直暇

真假假克假

假真假直

假假假假£

此表称为“真值表”，从表中易得：

(l)p月"有一假即假，同真亦真；

(2)p或9有一真即真，同假亦假；

(3)非〃真假相反.

■题点知识巩固_____I

知识点一含有逻辑联结词的命题的构成

1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()

A.简单命题

B.“p7q”形式的复合命题

C「p/\q”形式的复合命题

D.形式的复合命题

答案：C

2.（2019•河北邯郸月考）“p/\4为假"是为假”的条件

（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

解析：若pAq为假，则p与q至少有一个为假，

若g为假，则〃与q都为假，

所以“p八夕为假”是为假”的必要不充分条件，故选B.

答案：B

知识点二复合命题的真假判断

3.（2019♦福建长乐二中期末）命题p：若sinx>siny,则x>y；命题<7：x2+y2^2xy

下列命题为假命题的是（）

A.p或qB.p且q

C.qD才弟p

解析：命题〃为假命题，命题q为真命题，则〃且夕为假命题，故选B.

答案：B

4.由下列命题构成的“pVq”“p/\q"均为真命题的是（）

A.p：菱形是正方形，q：正方形是菱形

B.p：2是偶数，q：2不是质数

C.p：15是质数，04是12的约数

D.p：{a9b,c],q：{a}G{a,b,c]

解析：若"p'q”和"pA”’均为真命题，则p知q均为真命题，故应选

D.

答案：D

知识点三命题的否定与否命题

5.写出下列命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.

（1）若x,y都是奇数，则x+y是偶数；

（2）若一个数是质数，则这个数是奇数；

(3)若两个角相等，则这两角是对顶角;

(4)如果加2+层+〃2+从=0,则实数〃?，〃，a,b全为零.

解：(1)命题的否定：若x,y都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题；

否命题：若x,y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.

(2)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，是真命题；

否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，是假命题.

(3)命题的否定：若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是真命题；

否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角，是真命题.

(4)命题的否定：如果＞+〃2+/+/?2=0,则实数m,nta,b不全为零，

是假命题.

否命题：如果苏+〃2+如+从W0,则实数”，n,a,Z?不全为零，是真命题.

知识点四利用命题的真假求参数的范围

6.(2019・四川棠湖中学月考)已知p：“直线x+y-m=0与圆。-1)2+)，2=1

相交"；夕：—x+m—4=0有一正根和一负根”，若q为真，，弟p为真,

求〃z的取值范围.

解：•・•直线x+y-m=0与圆。-1)2+产=1相交,

工"^^＜L’1-g＜加＜1+啦.

,.,〃小一一4=0有一正根和一负根，

1/n>0,〃2<0,

或1解得0<m<4,

W0)<0"1/0)>0,

■:p\/q为真,丁〃为真，・•・2假4真,

・,・1+也・m＜4.

・,•加的取值范围为［1+啦，4).

■提能达标过关工

一、选择题

1.复合命题：平行线不相交的形式是()

A.pVqB.p/\q

C3弟〃D.都不是

解析：把平行线相交看成简单命题P,则复合命题：平行线不相交的形式是

,弟〃.

答案：C

2.(2019,齐鲁名校联考)已知命题p：“27不是7的倍数”，命题g”27是

3的倍数”，则命题“27至少是3和7中某一个数的倍数”应该表示为()

A.(㈱p)VqB.(^p)八夕

C.p八傩q)D.pV傩q)

答案：A

3.(2019・湖北四校期中)已知命题p：“不等式一x2+2r<0的解集是3欢0或

x>2}ff,命题g：“在△45C中，是sinA>sinB的充分条件”.贝女)

A.p真夕假B.pVq假

C.p/\q真D.p假q真

解析：由一/+2¥<0得出—2)>0,即x>2或x<0,

・・・命题p为真命题.

在△ABC中，由大边对大角知A>8是sinA>sin8的充分条件，・••命题夕为

真命题，:.p/\q翼,故选C.

答案：C

4.(2019•孝感八校联盟期末)命题p：若a£R,则〃>2是〃>1的充分不必要条

件；命题g函数y=lg(|x|-3)的定义域为(一8,-3]U[3,+8),则()

A.p\Jq为假B.pAq为假

C.僦p)八q为真D.pV瞬幻为假

解析：由题可知〃为真命题，q为假命题，故〃Vq为真，pAq为假,皤p)

八4为假，pV(㈱幻为真，故选B.

答案：B

5.己知a,}>为互不重合的三个平面，命题p：若a邛,皿,则a〃%

命题伙若a内不共线的三点到夕的距离相等，则a〃6对以上两个命题，下列

结论中正确的是()

A.命题“〃且q”为真B.命题"p或㈱为假

C.命题“p或q”为假D.命题嘴p或^q”为假

解析：若a_L〃，2,则a与y可能平行也可能相交，所以〃为假命题；对

于命题夕，a与夕也可能相交，所以夕也是假命题，故命题“p或q”为假.

答案：C

二、填空题

6.设命题p：2x+y=3；q：x­y=6t若p八4为真命题，则x=,y

解析：若pAq为真命题，则p、夕均为真命题，

2x+y=3,[x=3,

：.\解得彳

[x—y=6f[y=-3.

答案：3-3

7.下列命题中：

①“p八夕”为真是“pVq”为真的充分不必要条件；

②“p/\q”为假是“pVq”为真的充分不必要条件；

③“pVq”为真是“痴”为假的必要不充分条件；

④W为真是“〃八为假的必要不充分条件.

正确命题的序号是.

解析：“p/\q”为真。〃与,均为真="pYq”为真，反之不成立，故①正

确；«pf\q”为假是“pYq”为真的既不充分也不必要条件，故②不正确；“㈱

p”为假时，p为真，从而“p7q”为真，反之不成立，故③正确；弟〃”为真

时，p为假，从而«pNq”为假，反之不成立，故④不正确.

答案：①③

Y

8.已知命题p：不等式:yvO的解集为｛x[0<r<l）；命题?在△A8C中，“A>3”

是“sinA>sin中成立的必要不充分条件.有下列四个结论:①p真q假;②“p/\q”

为真；③“pVg”为真；④〃假q真.其中正确结论的序号是.（请把正确

结论的序号都填上）

解析：命题〃为真，命题4为假，•・•在△ABC中，A>6CG>bQsinA>sin8,

・•・在△ABC中，"A>B”是"sinA>sinB”的充要条件.故〃真q假，“〃八4”为假，

“p7q”为真.

答案：①@

三、解答题

9.写出由下列各组命题构成的“pVg”“p/\q”形式的复合命题，

并判断真假.

(l)p：1是质数；q：1是方程/+2工-3=0的根；

(2)/7：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；

(3)p：0£0；q：{小。3工一5V0}GR.

解：(l)p为假命题，4为真命题.

pV4：1是质数或是方程3=0的根.真命题.

〃八/1既是质数又是方程f+2x—3=0的根.假命题.

女弟〃：1不是质数.真命题.

(2)p为假命题，q为假命题.

pVg：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.

〃八小平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题.

痴：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.

(3)・・・0住。，・・・p为假命题,

「03-^293+扬

XVx2—3x—5<0,—彳―<x<—彳-,

/.{A|,V2-3X-5<0}=:一产产UR成立.

:.q为真命题.

：.pyq：0£。或{升？-3JV—5V0}GR,真命题.

pAq：0£。且{x|f—3x—5V0}GR,假命题.

p：0阵明真命题.

10.(2019・湖北黄梅期中)己知命题p：“{加2〃>/，〃?£R}"；命题g：“关

于x的方程/一〃十加=0有两个不同的实数根”.

(1)若p八q为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若pVq为真命题，〃Aq为假命题，求实数〃z的取值范围.

解：若命题〃为真，贝IJ舄；

若命题q为真，贝！JA=4-4汴>0,即一1<加<1.

1

/n>z,1

(1)若p八夕为真命题，贝J2即gvwvl.

1<W<1,

所以实数用的取值范围为$1).

(2)若pVq为真命题，〃八q为假命题，则〃与q一真一假，

若〃真q假，则

mW—1或加21,

所以加21.

1

若〃假g真，贝小2所以一lonW]

.—1<m<1,

所以实数机的取值范围为(一1，\U[l,+8).

1.4全称量词与存在量词

第4课时1.4.1全称量词

1.4.2存在量词

■基础知识梳理______|

1.全称量词

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号？

表示.

(2)含有全称量词的命题叫做全称命题.

(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立“可用符号简记为

〃(x),读作对任意x属于M,有〃(x)成立.

2.存在量词

(1)短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常见做强态量回，并用

符号卫表示.

(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.

(3)特称命题“存在M中的一个xo,使p(xo)成立"可用符号简记为旦迎巨蛇

p(xo)f读作存在一个xo属于M,使川xo)成立.

■题点知识观固_____|

知识点一全称命题与特称命题的判断

1.下列命题为特称命题的是()

A.偶函数的图象关于y轴对称

B.正四棱柱都是平行六面体

C.不相交的两条直线是平行直线

D.存在实数大于等于3

解析：A、B、C是全称命题，D是特称命题，故选D.

答案：D

2.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形;

③存在实数x,Q0;④对于任意实数x,2x+l是奇数.下列说法正确的是()

A.四个命题都是真命题B.①②是全称命题

C.②③是特称命题D.四个命题中有两个假命题

解析：①④是全称命题，且①是真命题，④是假命题，②③是特称命题，且

是真命题.

答案：C

知识点二全称命题与特称命题的真假判断

3.(2019鄱阳一中检测)下列命题中的假命题是()

A.VxeR,2A-1>0B.VxeN*,(x-l)2>0

C.1gxo<lD.3xoR»tanxo=2

解析：B中，当x=l时，1>=0,

・・・命题Vx£N*,。-l)2>0是假命题，故选B.

答案：B

4.(2019•福建三明期末)给出下列三个命题：

①命题"Vx£R,1+33+1>0”是真命题；

②命题“若f=l,则x=l”的否命题为“若『=1,贝iJxWl”；

③命题“若a>b,则加产，的逆否命题是真命题.

其中正确命题的个数为()

A.OB.1

C.2D.3

解析：①中：A=9—4=5>0,

所以函数共幻=入2+3]+1与x轴有两个交点，

即f+3x+l>0不可能恒成立，故①错；

②中：命题“若<=1,则x=l”的否命题为“若则xWl”，故②

错；

③中：当机=0时，若〃>b,但=Zw?,

所以“若G>b,则〃汴泌源”为假命题，所以其逆否命题为假，故③错，故

选A.

答案：A

知识点三求参数的取值范围

5.(2019・宜昌月考)若命题“三次£&使得x8+/nw+2m+5<0”为真命题，

则实数机的取值范围是()

A.f—10,6]B.(—6,2]

C.(-8,-2)U(10,+00)D.(—8,-2]U[10,+8)

解析：由题可知An"?2—4(2加+5)>0,2或"Z>1Q,故选C.

答案：C

6.已知«r)=/—2x+5.

(1)是否存在实数如使不等式机+yw>o对于任意入｛R成立，并说明理由；

(2)若存在一个xo£R,使不等式加一/(入1)>0成立，求实数机的取值范围.

解：⑴不等式机+段)>0可化为m>—fix)y

即机>—f+2x-5=一。-I)2-4.

要使机>一(x—1)2—4对于任意x£R恒成立，只需小>—4,

即存在实数用>—4,使命题成立.

(2)不等式〃[一汽加)>0可化为若存在一个实数xo,使〃它/(xo)成立，

只需/W习(K)min.

又—2x+5=(x—1>+4,

••y(X)min=4»

・•・加>4.故实数m的取值范围是（4,+8）.

■提能达标过关______I

一、选择题

1.下列命题中是全称命题的是（）

A.圆有内接四边形

B.3x,使f-4=0

C.有一个数列，既是等差数列，又是等比数列

D.存在一个函数，既是偶函数，又是奇函数

答案：A

2.（2019•莆田一中月考）已知定义域为R的函数«r）不是偶函数，则下列命题

一定为真命题的是（）

A.VxeR,B.VXGR,X-x）^-y（x）

C.R,艮—xo）D.R>艮—xu）#—/（xo）

答案：C

3.（2019・成都石室期末）“Vx£R,^-bx+lX）成立"是*『0,1]”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条作

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：“Vx£R,x2一后+1>0”是真命题，

则〃一4<0,Z.-2<Z?<2,

由〃£[0,1]=〃£（—2,2）,反之不成立.

・•・“Vx£R,/一区+1>0成立”是的必要不充分条件，故选

B.

答案：B

4.（2019・云南曲靖月考）有四个关于三角函数的命题：

pi：3x^R,sin2^+cos2^=2；

p2：3x,y£R,sin（x->）=sinx-sinyi

〃一cos2x

0：[0,兀],\------------=sinx；

〃4：sinx=cosy=x+y=5.

其中的假命题是（）

A.pi,P4B.p2,P4

C.pi,p3D.〃2,〃3

22

解析：对任意x£R,均有sin^+cos^=1而不是:，故”为假命题.当x,yf

x一)'有一个为2E(攵£Z)时，sinx—siny=sin(x-y)成立，故p2是真命题.

*.*cos2x=1—2sin2x,

2

1-cos2x1_1+2sinx9

/.---2---=-----2-----=sinx.

I1-cos2x

又x£[0,兀]时，sinx20,.,•对任意x£[0,7r],均有\=sinx,

因此P3是真命题.当sinx=cosy,即sinx=sin售-y)时，x="n+，一y或x=2E

+兀一传一j)(ZWZ),即x+y=2E+]或X=2E+3+)M£Z),故“4为假命题.综

上分析知，pi,〃4是假命题.

答案：A

5.(2019•内蒙古北重三中调研)己知函数/x)=e^1',则下列说法错误的是

()

A.mxoWR,犬1+炖)91—xo)B.VxeR,

C.函数yu+l)是偶函数D.VxeR,fix)^x

解析：人工)=心一”的图象关于x=l对称，A错，故选A.

答案：A

二、填空题

6.下列四个命题：

①V〃£R,序2〃；②W〃£R,〃2<〃；③W〃£R,3znGR,nv<n\@3n

0R,▼机CR,加力="2.其中真命题的序号是.

解析：①②是假命题，③中的〃<0时，加不存在，④中存在〃=1时，V/n

£R,m-n=m.

答案：④

7.(2019•福建永泰二中期末)已知命题p：3xoeR,猫+2xo+〃WO是真命题,

则实数a的取值范围是.

解析：命题〃为真命题，则A=4—4〃20,所以

则实数。的取值范围是(-8,1].

答案:(-8,1]

8.(2019・江阳期中)已知命题p：“Vx£R,k)g2(/+x+砂>0恒成立"，命题

夕："3xoe[-2,2],使得,若命题〃八夕为真命题，则实数。的取值范

围为.

解析：若命题p为真命题，则f+x+a>l恒成立，

4

即八=1一43—1)<0,・,・〃>亍

若“为A■命题，则2,2],使得

・・・〃W2,

若为真命题，工。的取值范围为住2.

答案：售,2

三、解答题

9.判断下列命题是不是全称命题或特称命题，若是，试将其改写成含有符号

“▼”或“三”的形式，并判断其真假.

4

(1)有一个实数次，使得函数大加)=次的值为2；

4U

(2)所有实数a都满足sin2a+cos2a=l.

4

解：(1)是特称命题，可改写成：对于函数«¥)=工+?有火XO)=2,

该命题是假命题，

因为共幻的值域是(-8,—4]U[4,+8).

(2)是全称命题，可改写成：VaGR,有sin%+cos2(z=1,该命题是真命题.

10.命题P：关于x的不等式f+2ox+4>0对一切x£R恒成立，q；函数«r)

=(3—为尸是增函数，若p或夕为真，p且q为假，求实数。的取值范围.

解：设gOOnf+Zov+d,由于关于x的不等式/+2公+4>0对一切x£R

恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，

故A=4。2—16<0,J-2<a<2.

又•・•函数.")=(3—2〃尸是增函数,

・・・3-2〃>1,

又由于p或4为真，〃且q为假，可知〃和q一真一假.

-2<a<2f

(1)若p真夕假，则，

1,

2或

(2)若p假夕真,则，

a<1,

.•.aW—2.

综上可知,实数。的取值范围是(一8,-2]U[1,2