全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品教学设计模板（一）

全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品

教学设计精品模板（一）

目录

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9.6空间向量的夹角和距离公式

南昌大学附属中学高

莹

三维目标：

知识与技能：1.使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度

公式、

夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这

些公式

解决有关问题；

2被学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从

而提高分析问题、解决问题的能力.

过程与方法：通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使

学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.

情感、态度和价值观：1.通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生

的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；

2.通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会

数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.

教学重点：夹角公式、距离公式.

教学难点：数学模型的建立.

关键：将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确

写出空间向量的坐标.

教具准备：多媒体投影，实物投影仪.

教学过程：

（一）创设情境，新课导入

2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷，大家都把自己的爱国热情聚集在

圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其

中途经我市雄伟而壮观的生米大桥，为记录传递过程，我校派了小记者在船上进

行全景拍摄，出现了这么一个问题.

引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2m/s的速度前进，小船以

1m/s的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上％点以东30米的G点处，

小船在水平。点以南方向30米的A处（其中。刀，水面）

求（1）6s后火炬手与小船的距离？

（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?

（不考虑火炬手与小船本身的大小）.

今天我们从另一个角度来分析这个问题.

分析:建立数学模型

问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离？

问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值?

1、空间两点间的距离公式

已知：A（X，X，Z|），8@2，%，22）,则

AB=（x2-xi,y2-yl,z2-zt）

网=NABAB="（/-疗+⑴-川+仁一力

^A.B=V（X2-X1）2+（%一丁1）-+（Z2—4）一

2、夹角公式

设。=（4%，4）,6=（%2，%，22），

则a=O4,b=0B

.a*h

cos<a,b

2+yj+zj^x^+y^+z^

（二）例题示范，形成技能

例1：在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2m/s的速度前进，小船以

1m/s的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上2点以东30米的G点处，

小船在水平。点以南方向30米的A处（其中OQ，水面）

求（1）6s后火炬手与小船的距离？

（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?

（不考虑火炬手与小船本身的大小）.

解：建立如图空间直角坐标系，

则A（30,0,0），G（0,30,30）

M（0,18,30）,N（24,0,0）；

(1)|w|=^242+(-18)2+(-30)2

=30\f2m

(2)W=(24,-18,-30),AC,=(-30,30,30).

MN•AC、

cos〈MN,AC)

|M/V|-|AC,|

24x(-30)+(-18)x30+(-30)x30_2m

30A/2xJ(-30『+3()2+3025

此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的

余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论?

（三）学生互动巩固提高

变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离，两条直线

所成的角，而在正方体中还有许多的点与线,

例2：（1）若G为MN的中点，求G3两点间的距离.

（2）若耳耳=〃£=竽，求88与。耳所成的角的余弦值.

(D解：设G点的坐标为G(x,y,z),则

DG=1(DM-9

=l[(O,18，M24]

=(12,9,)1.

G(12,9,)1B(,30),

\GB\=V182+212+152=3VH0.

⑵解:如图，5(30,30,0),£,30,y,30

0(0,0,0)/0,万,30

BE,=10,-y,30=0,y,30j.

x"+30x30

BE、•DF[2___1_5____

cos〈BEi，DF)=

时Wl15>/171571717

22

请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.

拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间

上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面，我们能不能把它表示出来呢？

例3：求到M,N两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件.

解：点P(品y,z)到N两点距离相等,

则-MTP,

Q(X-Q)~+(y-]8)~+(z-30)

=^-24)2+(y-0)2+(z-0)2

化简，得

4x-3y-5z+54=

即到到M,N两点距离相等的点的坐标点(x,y,z)满足的条件是

4元一3y-5z+54=

(四)概括提炼，总结升华

求空间两点间的距离求空间两条直线的夹角

(五)布置作业，探究延续

1.课本P42习题9.67.8.9.

2.请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目，并解答.

3.思考题：弓I例:何时小船与火炬手之间的距离最短?

（六）板书设计:

§9.6空间向量的夹角和距离公式

1.两点间的距离公式例题作业

2.向量的夹角公式小结

3.中点公式

教案说明

一'授课内容的数学本质与教学目标定位

本节课是人教版第九章第六节空间向量的坐标运算之夹角和距离公式的第

一课时，它是在学生学习了空间向量的坐标表示，空间向量的数量积的基础上进

一步学习的知识内容，沟通了代数与几何的关系，体现了向量的工具性、应用性,

渗透了转化、数形结合等数学思想.同时它也是数学建模中很典型的一堂课，是

数学研究过程的一个缩影.

这节课希望达到以下教学目标：

三维目标：

知识与技能：1.使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度

公式、

夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这

些公式

解决有关问题；

2.使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从

而提高分析问题、解决问题的能力.

过程与方法：通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使

学生在积极活跃的思维过程中，从‘‘懂"到''会"到“悟”.

情感、态度和价值观：1.通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生

的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；

2.通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会

数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.

二'学习内容的基础以及今后有何用处

在人们生活的空间中存在着大量的图形，夹角和距离在现实生活中随处可见,

同时它们又是立体几何中的重要问题，由于高二的学生已具备一定的空间想象，

但对把空间的问题转化为数学的问题的能力有所欠缺，而本节课的学习使学生经

历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而有助于培养学生分析问题、解决

问题的能力.

本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式，空间向量的坐标

表示，空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的，它研究的是空间中夹角和

距离公式，是空间向量在立体几何中的简单应用，是后面学习夹角和距离的基础，

同时也肩负着学生用向量法处理立体几何问题，把对空间图形的研究从“定性推

理”转化为“定量计算”的任务，因此本节课的教学内容起着承前启后的作用.

这节课的教学，为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础.

三'教学诊断分析

(1)由于高二的学生已具备一定的空间想象，但对把空间的问题转化为数学的

问题的能力有所欠缺，因此在创设情境中安排了实际背景材料一一奥运火炬在南

昌的传递，对学生进行爱国主义教育，通过动画演示来引出新知，使学生直观的

体验空间中两点间的距离和空间两条直线所成的角，目的有以下几点：①通过学

生身边的实例，激发学生的学习兴趣，变枯燥的数学为有趣的数学;②使学生感

悟到数学就在身边，提高“用数学”的意识;③使学生经历从现实生活中抽象出

数学“模型”过程，培养“建模”意识.

(2)由于本节课的重点是夹角和距离公式，而关键在于如何找坐标，学生容易

了解，因此在例题的讲解上，充分的发挥学生的主观能动性，尽可能的由他们说

出点或向量的坐标，激发学生参与的热情.

(3)由于高二的学生具备一定的学习能力，但在探究问题的内部联系和内在发

展上还有所欠缺，为此在例1的基础上设置变式训练，首先将课本中的中点坐标

以及求夹角的例题设计到变式训练中给学生以示范,再安排学生在以上的基础上

自己编题，目的:①始终以例1为主线，贯穿下来②起到培养学生的合作精神以及

对掌握知识的相互补充作用，同时激发学生的学习积极性，让学生真正参与进来,

真正的自主的学习.并通过投影仪充分展示学生的成果，在师生双边活动的过程中

养成反思意识和提高有条理的表达能力，促进学生全面和谐地发展.

将课本中求空间上到两点距离相等的点的轨迹问题设计到拓展提高当中，引

发学生的兴趣，将整堂课推向高潮.

（4）利用程序框图帮助总结求空间两点间的距离与两条直线所成角的步骤.

（5）为适应不同水平的学生，作业层次有所不同，给例1设计了一问留给学生思

考，使得整堂课一根红线贯穿始终.

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

1.教学方法

为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，

各方面的能力得到进一步的培养.根据本节课的内容特点，本节课采用启发探究、

讲练结合，分组讨论等教学方法，着重于培养学生分析、解决问题的能力以及良

好的学习品质.

2.教学中的预期效果分析

本节课我采用现代化的教学手段进行教学，运用已有的知识体系，创造性的

使用教材，一根红线贯穿始终,使学生在自主学习与教师引导相结合的教学实践

中，从“懂”到“会”到“悟”，体会钻研的意识，品尝成功的喜悦，从而使学生

在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高.

《算术平均数与几何平均数》

焦作市第十一中学郭振东

【教学目标】

（1）知识目标

使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运

用算术平均数与几何平均数定理求最值.

(2)能力目标

通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师

生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.

(3)情感目标

让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考,

积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追

求真理的精神.

【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.

【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.

【教学过程】

I.引言：

某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不

等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，

再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起

给了他，并且解释：“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果

不准确，那么是称多了还是称少了？

【分析】设天平左右两侧力臂长分别为4、4,两次称得的糖果实际重量为工、

y则：M=4，=y"»

X+y=^-+—

/,l2

这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9,10页算

术平均数与几何平均数一节的正文及例1,看看能否在课本中找到答案。同时思

考以下问题：

问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？

问题2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和

不同点？

问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？

n.阅读课文，找寻答案

学生阅读课本后回答问题1和问题2,引出本节知识

一.两重要不等式

如果凡b£R那么a2+b1、2ab

（当且仅当〃=〃时取T号）.

定理如果a力是正数，那么小2疝

2

（当且仅当。=人时取“=”号）.

想一想："当且仅当"的含义是什么？

介绍生吆叫做。、〃的算术平均数，依叫做。、〃的几何平均数.数列

2

解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.

m.例题精析，去伪存真

二.定理应用

例L已知都是正数，求证：

（1）如果积砂是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2"；

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积.有最大值;S?.

回答问题3,得出：

1.利用定理可以求解最值问题；

2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.

3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.

指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定

值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到.三

个条件在利用定理求最值时缺一不可.

Q1

练习1.（1）已知xwO,当x取什么值时的值最小，最小值是多少？

（2）已知0<x<2,当x取什么值时，x（2-x）的值最大，最大值是多少？

投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还

有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元

二次函数的最值求法）.

练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.

（1）求函数y=（xwO）的值域.

X

解：y=x+—^2x—=2

xVx

函数y=的值域为［2,+8）.

（2）求函数/=尤（3-2外,龙卜勺最大值.

3

解：0<x<—.*.3—2v>（

2

y=x（3—2x）W（x+；2x）2=（21£）2,

函数没有最大值.

（3）求函数丁=，X2+4+」_■,的最小值.

《+4

解：>{x2+4>0,-；1>0

VX2+4

.,.函数的最小值为2.

带领学生分析：练习1错误原因：忽略了自变量取负值的情况；练习2错

误原因：不满足和x+（3-2x）为定值；练习3错误原因：7?喜不可能

VX2+4

成立.并且给出第（1）（2）小题的正确解法.

再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积

应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取

到。三个条件在利用定理求最值时要同时满足，缺一不可.

IV.归纳小结，课堂延伸

要求学生回顾本节课的内容，谈谈有哪些收获，然后教师总结

1.两个重要不等式的内容及成立条件是什么？

2.利用定理求最值应满足的条件有哪些？含义是什么？

作业：书面作业：课本12页第5、6、7题.

拓展作业：借助互联网了解算术平均数与几何平均数的实际应用；了解股

市大盘指数的含义.

算术平均数与几何平均数（教案说明）

河南省焦作市第十一中学郭振东

数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学

语言和有效工具；在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特

的、不可替代的作用；数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须

具备的一种基本素质.

因此在数学教学中要以培养学生的数学素质为根本目标，使学生掌握数学的

基础知识、基本技能、基本思想；使学生表达清晰、思考有条理；使学生具有实

事求是的态度、锲而不舍的精神；使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识

世界.

一.教学背景分析

1.教材的地位和作用

两个正数的算术平均数与几何平均数定理及重要不等式"+》2二2ab不仅

在证明不等式和求最值中有着广泛的应用，而且作为工具，在物理学和经济学中

也常常看到它们的身影；在高考中，这两个重要的不等式既可以从本身出发单独

命题，又可以作为解答题的一个步骤，运用相当灵活，成为高考的一个热点.

2.学生情况

在本节课前，学生已经能够运用不等式的性质证明一些简单的不等式，已经

具备了一定的建模能力，能够解决一些简单的应用题.

二.教学展开分析

1.教学内容

本节课主要学习算术平均数与几何平均数定理及应用定理求解简单的最值

问题.

2.教学目标

通过本节课的学习，力求达到以下三个目标：

（1）知识目标

使学生能准确表达两个重要不等式，理解它们成立的条件和意义；能准确运

用算术平均数与几何平均数定理求最值.

（2）能力目标

通过学生的自主学习、研讨培养他们的自学能力和分析、解决问题能力；通

过师生间的合作交流提高学生的数学表达和交流能力.

（3）情感目标

通过学生对教师给出问题的解决，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；

通过去伪存真的学习过程培养学生批判、质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的

精神.

3.教学重、难点

本节课的教学重点是算术平均数和几何平均数定理及应用定理求最值.难点

是理解应用定理求最值是应具备的三个条件一一“一正、二定、三相等”，以及

在求最值时如何正确运用定理。

三.教学过程分析

根据教学内容的特点和学生的实际情况，我把本节课设计为以下四个环节：

1.设置情境，自学释疑

这一环节通过设置有趣的实际问题激发学生的学习兴趣，让学生带着问题阅

读课本，培养学生的自学能力和分析、解决问题的能力，为他们将来继续学习打

下坚实的基础.

2.深化定理，例题精析

通过对定理和例1的认真分析突出教学重点，培养学生的观察、分析能力和

归纳、总结能力.通过师生间的合作交流，提高学生的数学表达和交流能力.

3.练习巩固，错解辨析

通过这一环节突破教学难点，强调利用定理求最值时必须同时满足“一正、

二定、三相等”，三个条件缺一不可.同时通过去伪存真的学习过程培养学生批判、

质疑的理性思维和锲而不舍的钻研精神与科学态度.

4.归纳小结，课堂延伸

巩固学生已学知识，延伸数学课堂.通过实践作业扩大学生的知识容量，使

学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，激发学生学习数学的兴

趣和应用数学的意识.

四.教学诊断分析

本节课中，两个重要不等式的内容及其证明过程学生比较容易理解，所以我

采用学生自主学习的方式培养他们的自学能力，同时强调两个重要不等式的适用

范围及等号成立的条件，为进一步学习利用定理求解最值问题埋下伏笔.

课本例1实质上给出了利用定理求解最值问题的模板，通过学生的认真分析

与合作交流得出利用定理求解最值时应满足的三个条件一一“一正、二定、三相

等”.

如何正确地应用算术平均数与几何平均数定理求解最值问题是本节课的教

学重点及难点.准确理解三个条件“一正、二定、三相等”是突破教学难点的关

键，为此我专门准备了三个有针对性的练习，通过错解辨析进一步加强学生对运

用定理求最值时应满足的三个条件的理解：“一正”即满足定理成立的条件；“二

定”即求和的最小值时积应为定值，求积的最大值时和应为定值；“三相等”即

要保证不等式两边可以取等号，三个条件在利用定理求最值时应同时满足，缺一

不可.

五.教法特点及预期效果分析

本节课我采用“设置疑问，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”的科研式教学

方法启学释疑培养学生的自学能力；讨论辨析形成批判性思维；应用、拓展发

展学生的应用意识.

在学生自整£习与教师引导相结合的教学过程中，力求使学生掌握两个重要

不等式及利用定理求解最值的方法，建立自己的知识结构，培养学生分析问题、

解决问题的能力.课后利用网络的信息资源进行拓展学习，激发学生学习数学的

兴趣和应用数学的意识，提高学生的数学素养.

六.教学理念

本节课的教学设计体现了我的两个教学理念：

1.给学生提供一个充分展示自我的平台，让每一位学生都能得到发展.

在教学中设置不同层次的问题，使每位学生都能通过解决问题体会到学习过

程中的快乐，树立起学习数学的自信心.

2.学习是为了应用，只有紧密联系生活的科学才是有生命力的科学.

新课标中再三强调要注重发展学生的应用意识，课堂教学不能一味的讲授理

论，要随时随地联系实际，只有这样学生才会觉得学习数学有用，才能激发学生

学习数学的兴趣，数学课堂才能充满活力和激情！

课题：随机事件的概率（第一课时）

授课教师：贺航飞（2008年9月20日）

一、教学目标分析：

1、知识与技能：⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；

2、过程与方法：⑴创设情境，引出课题，激发学生的学习兴趣和求知欲；

⑵发现式教学，通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机

事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高；

⑶明确概率与频率的区别和联系，理解利用频率估计概率的思想方法.

3、情感态度与价值观：⑴通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体

会数学知识与现实世界的联系；

⑵培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识，并通过数学史实渗

透，培育学生刻苦严谨的科学精神.

二、重点与难点：

⑴重点：通过抛掷硬币了解概率的定义、明确其与频率的区别和联系；

⑵难点：利用频率估计概率，体会随机事件发生的随机性和规律性；

三、学法与教学用具：

⑴指导学生通过实验，发现随机事件随机性中的规律性，更深刻的理解事件

的分类，认识频率，区分概率；

⑵教学用具：硬币数十枚，表格，幻灯片，计算机及多媒体教学.

四、教学基本流程：

创设情境、引出课题

温故知新、巩固练习

师生合作、共探新知

讨论探究、例题演练

课堂小结、布置作业

五、教学情境设计：（第一课时）

1、创设情境，引出课题——狄青征讨侬智高

故事：北宋仁宗年间，西南蛮夷侬智高起兵作乱，大将狄青奉命征讨.出征

之前，他召集将士说：“此次作战，前途未卜，只有老天知道结果.我这里有100

枚铜钱，现在抛到地上，如果全部正面朝上，则表明天助我军，此战必胜.”言

罢，便将铜钱抛出，100枚铜钱居然全部正面朝上！

将士闻讯，欢声雷动、士气大振！宋军也势如破竹，最终全胜而归.

2、温故知新、承前启后——温习随机事件概念：

⑴必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的〜；

⑵不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件s的〜；

⑶随机事件：在条件s下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于s的〜；

⑷确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件s的确定事件.

讨论：在生活中，有许多必然事件、不可能事件及随机事件.你能举出现实

生活中随机事件、必然事件、不可能事件的实例吗？

例1:判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

⑴“导体通电后，发热”；

⑵“抛出一块石块，自由下落”；

⑶“某人射击一次，中靶”；

（4）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰自然融化”；

⑸''方程f+1=0有实数根”；

（6）”如果。＞方，那么a—匕＞0"；

⑺“西方新闻机构CNN撒谎”；

⑻“从标号分别为1,2,3,4,5的5张标签中，得到1号签”。

答：根据定义，事件⑴、⑵、⑹是必然事件；事件⑷、⑸是不可能事件；事

件⑶、⑺、⑻是随机事件.

♦频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,

称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例

fn（A）=%为事件A出现的频率.

n

讨论：随机事件、必然事件、不可能事件频率的取值范围？

答：必然事件出现的频率为1,不可能事件出现的频率为0,随机事件出现

的频率介于0和1之间.

3、师生合作，共探新知一一抛掷硬币试验：

♦试验步骤：（全班共48位同学，小组合作学习）

第一步，个人试验，收集数据：全班分成两大组，每大组分成六小组，每小

组四人，前三排每人试验15次，后三排每人试验10次；

第二步，小组统计，上报数据：每小组轮流将试验结果汇报给老师；

第三步，班级统计，分析数据：利用EXCEL软件分析抛掷硬币“正面朝上”

的频率分布情况，并利用计算机模拟掷硬币试验说明问题;

组另U第一大组第二大组

小组正面朝上次数正面朝上比例正面朝上次数正面朝上比例

1

2

3

4

5

6

合计

第四步，数据汇总，统计“正面朝上”次数的频数及频率；

第五步，对比研究，探讨“正面朝上”的规律性.（教师引导、学生归纳）

①随着试验次数的增加，硬币“正面朝上”的频率稳定在0.5附近；

②抛掷相同次数的硬币，硬币“正面朝上”的频率不是一成不变的。

（在试验分析过程中，由学生归纳出来）

提问：如果再做一次试验，试验结果还会是这样吗？（不会，具有随机性）

♦历史上一些抛掷硬币的试验结果.（PU2,表3-2）

正面向上的

试验者抛掷次数（n）频率(―)

次数（频数m）n

棣莫弗204810610.5181

布丰404020480.5069

费勒1000049790.4979

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005

（讨论：0.5的意义，引出概率的概念.）

♦概率：对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的

频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率。

讨论：事件A的概率P（A）的范围？频率与概率有何区别和联系？

♦频率与概率的区别和联系：（重点、难点）

⑴频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会稳定在概率附近；

⑵频率本身是随机的，在试验前不能确定；

⑶概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。

♦讨论：研究随机事件的概率有何意义?

任何事件的概率是0~1之间的一个确定的数，它度量该事情发生的可能性。

小概率事件很少发生，而大概率事件则经常发生。知道随机事件的概率有利于我

们作出正确的决策。（例子）

♦数学思想方法点拨一一如何求随机事件的概率？

通过大量重复试验，利用频率估计概率。

例子：天气预报、保险业、博彩业等。

4、参考例题及课后练习：

例2：做同时掷两枚硬币的试验，观察试验结果：

⑴试验可能出现的结果有几种？分别把它们表示出来。

⑵做100次试验，每种结果出现的频数、频率各是多少？

重复⑵的操作，你会发现什么？你能估计“两个正面朝上”的概率吗？

（利用计算机模拟掷两次硬币试验，说明问题）

照应：通过模拟试验，我们知道抛两枚硬币，得到“两个正面朝上”的概率

为0.25,那狄青抛100个铜钱都正面朝上，这种事情你敢相信吗？

揭示谜底：狄青所抛铜钱正面朝上是必然事件，而不是随机事件，因为他所

抛的铜钱正反两面是相同的。

备用练习：P113,练习题第2题（利用计算机模拟掷骰子试验）

5、课堂小结一知识内容：⑴随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵概率的定义及其与频率的区别和联系，体会随机事件的随机性与规律性。

♦思想方法：利用频率（统计规律）估计概率.

6、课后任务：

（必做）如果某种彩票的中奖概率为0.001,那么买1000张彩票一定能中奖

吗？试论述中奖概率为0.001的含义。（要求突出频率与概率的区别和联系）

（选做）试求上题中，买1000张彩票都不中奖的概率？

六、教学反思（参评教师课后讨论——网络教研）：

♦观课教师的课后评析（2008年4月30日海南省高中数学优质课比赛决赛）

（注：以下内容来自数学教育交流站，录像课为2008年9月20日在演播大厅重拍）

/index/1000026.jspx?articleld=1469267

2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛

•13.评：2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛,2008-04-3018:16:00,疝1

贺航飞老师这节课应该说上得非常完整非常精彩，在《十面埋伏》的音乐背景中引入一个传

说故事，也引起了学生的好奇和兴趣。教学中一环扣一环，使得学生不断的开发智力，只是

板书少了些。这个过程明确目的，强调重难点，非常顺畅的完成这个课时的教学。

•33.评：2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛,2008-04-3020:03:00,选搔性失明

1,海南中学，贺航飞老师."随机事件的概率"最难上，所有上过该课的老师都有体会，我

认为贺老师做得很好，详略得当，重点突出，趣味灵动；对概率的定义，处理很到位，从直

观到理性，细腻有味，凸显了数学思想方法。我提倡上这样的数学课。

・95.评：2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛,2008-05-0100:36:0。，刀

最后的贺选手整节课把握的不错，不论是开局，过程，结尾；还是思想，教法都显得浑然一

体，完美。特别是结尾，此次比赛前面许多选手把握不到火候，硬给罗老师喊“停”。

但有一细节请教，我看到课前他将一椅子让学生放在前几行的中间，是否另有妙招还没展

示？

•103.评：2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛,2008-05-0109:54:00,我也评评

首先，我是一个高级教师，非常欣赏贺老师，课堂设计非常漂亮，执行得也非常好，特别是

分组试验设计得很好，否则这节课很难完成教学任务。但我也有几个问题要问贺老师，第一，

你怎么看几何概型？第二，教材中利用频率估计概率这种提法，我觉得很别扭，你怎么看。

•141.评：2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛,2008-05-0123:03:00,鹏仪

三亚港中有一位年青教师给我递纸条：“随机事件的概率范围是(0,1)这样的话经常出现在

许多数学教师口中，这原本就是一个错误，我想请您在这次大赛中向一些老师纠正一下。

随着人教试验版数学教科书几何概型的引入，概率为零的事件也可能发生，而概率为1的事

件也可能不发生。也就是说原来随机事件概率范围(0,1)已经是一个错误，必须随着教材版

本的改进而加以更正。否则我们作为数学教师的就是对数学这门学科的大不敬。

不当之处，请给予指正。”

这位老师提的问题很好，大家可以讨论讨论。另外，比较有意思的还有几个问题：1,关于

零向量问题，共线向量与平行向量的关系；2,复数定义问题，虚轴与实轴定义问题。

•144.评：2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛,2008-05-0123:15:00,鹏仪

有关数学概念的细节问题，我们是否有必要在概念课时与学生纠缠更多？这三个问题都是争

论很久也没有定论的，所以我的意见还是，高考都回避了，我们没必要太多纠缠。从小概率

事件的定义来讲，在一个圈内投豆，豆子落到某点是随机事件，但正好落到这点的概率为0,

有关几何概型中出现的悖论，历史上最有名的就是Buffon的悖论，所以才有后来概率论的

严格定义。如果为了讲这个问题，而搬出那么多历史问题，这样的课堂将更加失败。

•145.评：2008年海南省高中数学优质课比赛决赛论坛,2008-05-0123:30:00,鹏仪

关于利用频率逼近概率问题，这是一种非常重要的数学应用问题，新课程所提倡的，随机模

拟方法，也就是Monte-Carl。法，至于他的数学公理性，没有人刻划，但这个方法比较有效。

最简单的例子就是Buffon的投针问题：平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a

(a>0),向平面任意投一枚长为1(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。利用这个问

题估计K(pi)的值。

“随机事件的概率”教案说明

海南省海南中学贺航飞

“随机事件的概率”是人教A版《数学必修3》第三章第一节的内容，本节

课是其中的第一课时.课程标准要求：“在具体情境中，了解随机事件发生的不

确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别”.并指

出：“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”.要求“教师应

通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确

定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识.”根据课程

标准的要求，结合教材实际，我将从背景分析、目标定位、教法学法、教学设想、

教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明.

一、背景分析

1.教材分析：

相对于传统的代数、几何而言，概率论形成较晚，其定义方式新颖独特，具

有不确定性，这是理解概率的难点所在.新教材在教学内容的编排上，采用了模

块化、螺旋上升的方式.本节课就是在学习了“随机抽样”、“用样本估计总体”

等统计知识的基础上展开对概率的研究的一一利用频率估计概率，即当试验次数

较大时，频率渐趋稳定的那个常数就叫概率.本节课的学习，将为后面学习古典

概型、几何概型、条件概率等打下基础.因此，我认为“通过抛掷硬币了解概率

的定义、明确其与频率的区别和联系”是本节课的教学重点；

2.学情分析：

学生在初中阶段学习了概率初步，对频率与概率的关联有一定的认识，但他

们不知道如何利用频率去估计概率，这是教学中的一大难点；另外，随机事件发

生的随机性和规律性是如何辩证统一的，这是教学中的又一大难点.

二、目标定位

1、知识与技能目标：⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；

2、过程与方法目标：⑴创设情境，引出课题，激发学生的学习兴趣和求知欲；

⑵发现式教学，通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机

事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高；

⑶明确概率与频率的区别和联系，理解利用频率估计概率的思想方法.

3、情感态度与价值观目标：⑴通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，

体会数学知识与现实世界的联系；

⑵培养学生的辩证唯物观，增强学生的科学意识，并通过数学史实渗透，培

育学生刻苦严谨的科学精神.

三、教法学法

针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师引导为主，学生合作探索、积

极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价,

充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手试验，让同学们积极主动分享自己

的发现和感悟；在教学手段上，我灵活运用黑板板书和多媒体展示，通过打擂台

等竞赛方式，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我

以建构主义为主，强调数学知识的建构过程，让学生亲历随机事件随机性与规律

性的发现之旅.

四、教学设想

殁行意画号评述

本节课的总体设计思

创设情境、引出课题想是建构主义的.

首先通过狄青将军讨

温故知新、巩固练习伐侬智高的传说，创设情

1境，激发兴趣.

师生合作、共探新知然后回顾随机事件、

1频数、频率相关概念，为

讨论探究、例题演练抛掷硬币试验做好准备；

1高效的抛掷试验和富有成

课堂小结、布置作'也效的试验研讨是本节课的

关键.

建构主义要求教师通过问题为载体，以学生活最后通过例题分析、

动为主线开展教学，尊重“受体”知识的建构过程.课堂小结，分享成长体会，

达到教学目的.

1、创设情境，引出课题一一狄青征讨侬智高

数学过整殁花意画号评述

音乐（十面埋伏）本节课的内容相对简

故事：北宋仁宗年间，西南蛮夷侬智高起兵作单，学生在初中已经有所

舌L,大将狄青奉命征讨.出征之前，他召集将士说：涉及，如何激发学生的学

“此次作战，前途未卜，只有老天知道结果.我这习兴趣、主动参与课堂，

里有100枚铜钱，现在抛到地上，如果全部正面朝是教学的一大难点.

上，则表明天助我军，此战必胜言罢，便将铜说书形式评讲狄青将

钱抛出，100枚铜钱居然全部正面朝上！军讨伐侬智高的传说，能

将士闻讯，欢声雷动、士气大振！宋军也势如够激发学生的学习兴趣，

破竹，最终全胜而归.调动听课者情绪，以饱满

的精神参与课堂.

2、温故知新、承前启后——进一步认识随机事件、频率:

数学过程世材意囹号评述

2.1复习随机事件概念

⑴必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，由于是章节的第一课

叫相对于条件S的必然事件；时，又涉及到全新概念，

⑵不可能事件：在条件S下，一定不会发生的本节课有许多枝节内容需

事件，叫相对于条件S的不可能事件；要介绍，颇显繁琐.在课

⑶随机事件：在条件S下可能发生也可能不发堂中如何组织这部分内容

生的事件，叫相对于s的随机事件；的教学，考验了教师教学

⑷确定事件：必然事件和不可能事件统称为相的基本功.

对于条件S的确定事件.

2.2讨论：在生活中，有许多必然事件、不可对随机事件的概念，

能事件及随机事件.你能举出现实生活中随机事笔者直接利用多媒体展示

件、必然事件、不可能事件的实例吗？出来，重点放在对生活中

随机事件的讨论上，调动

2.3例1：判断下列事件哪些是必然事件，哪些了同学们的积极性，活跃

是不可能事件，哪些是随机事件？了气氛.在实际教学中，

⑴“导体通电后，发热”；学生总能想到一些奇特的

⑵''抛出一块石块，自由下落”；例子，生动活泼，出人意

⑶“某人射击一次，中靶”；料.

⑷“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰自

然融化”；

第一个例题，鼓励同

（5）“方程V+1=0有实数根”；

学们抢答，或轮流回答，

（6）“如果”>。，那么a-b>0”；突出参与意识.

⑺“西方新闻机构CNN撒谎”；

⑻“从标号分别为1,2,3,4,5的5张标签

中，得至U1号签

答：事件⑴、⑵、⑹是必然事件；事件⑷、⑸

是不可能事件；事件⑶、（7）、⑻是随机事件.

2.4频数与频率：在相同的条件S下重复n次复习频率概念，为理

试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事解概率概念及“利用频率

件A出现的次数以为事件A出现的频数;称事件A估计概率”的思想方法创

造条件.

出现的比例fn（A）=也为事件A出现的频率.

n

2.5提问：随机事件、必然事件、不可能事件加深对随机事件的理

频率的取值范围？