人教版数学八年级上册全册导学案

第十一章三角形

/■\

教学备注

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

学习目标:1.认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.

2.掌握三角形三边的关系定理，能利用定理及其推论进行

简单的证明.

3.了解三角形按边分类的原则和结论.

重点：理解三角形三边之间的不等关系.

学生在课前难点:运用三角形三边之间的不等关系解题.

完成自主学

习部分V---------________t

自主学习

一、知识链接

在下面画一个三角形，观察回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。

并写出来.

二、新知预习

1.根据小学认识的三角形判断,是三角形在括号内打“J”，不是三角形

打“X”.

A人幺」

()

2.自主归纳：

(1)三角形概念：由不在同一直线上的三条线段首尾________相连所组人

成的图形./\

(2)三角形的构成:如图，/\

边：条，分别为线段、、;

nDZ―-----

顶点：一个，点A、B、C为三角形的三个顶点；

角：______个，分别为/A、NB、NC.ZA,ZB,NC是相邻两

边组成

的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

顶点是A,B,C的三角形记作:上

3.三角形按角分类，可以分为__________三角形________三角形和三角形.

三、自学自测

如图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

有_____个三角形,分别记作:.

课堂探究\<

一、要点探究

探究点1:三角形的相关概念

找一找：

(1)图中有几个三角形?用符号表示出这些三角形?

(2)以AB为边的三角形有哪些？

(3)以E为顶点的三角形有哪些？

(4)以/〃为角的三角形有哪些？

(5)说出43CD的三个角和三个顶点所对的边.

方法总结:数三角形的个数时，抓住不在同•，条直线上的三个点能组成一个三角形;再按

字母的顺序去数.

探究点2:三角形的分类

问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类?

问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢?观察图形作答.

\)

教学备注

4.探究点3新

知讲授

(见幻灯片

17-22)

等腰n三角形和等边三A角形的区别是什么？△

(1)

(2)从边上来说,除了等腰三角形和等边三角形还有什么样的三角

形？

(3)根据上面的内容思考:怎样对三角形进行分类？

三角形按角分类：

三角形

三角形按边分类:

探究点3：三角形的三边关系

1.做一做：

在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠，它选择A路线，而不选择A

-C-8路线,难道小狗也懂数学？

C

答:理由是.

2.议一议：

(1)在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么大小关系？

(2)在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么大小关系？

(3)三角形三边有怎样的不等关系？

要点归纳:

三角形两边的和第三边.

三角形两边的差________第三边.

\_________7

典例精析

例1:判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？教学备注

（1）3cm、8cm>4cm;（2）5cm>6cm、11cm;（3）5cm>6cm>10cm.配套PPT讲授

方法总结:判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线5.课堂小结

段即可.

例2：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰二角形.

（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?为什么？

方法总结:等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确时,需要分类讨论，再

检验是否符合三边关系.

针对训练一

1.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）

6.当堂检测

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cmD.13cm,12cm,20cm（见幻灯片

2.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是（）

23-26）

A.6B.3C.2D.11

3.三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x的取值范围是

4.等腰三角形的腰长是6,则底边长3,周长为.

5.一根木棒长为7,另一根木棒长为2,那么用长度为4的木棒能和

它们拼成三角形吗?长度为11的木棒呢?若不能拼成，则第三条边

应在什么范围呢？

三角形的定义图形基本要素表示方法分类三边的关系

由不在同一直边△ABC（1）按角分i乡任意

线上的三条线内角⑵按边分葵

段首尾顺次相顶点

AB

接所组成的图“当任意

形叫做三角形两边之差小于

第三边.

1.图中锐

角三角形的个数有（）

A.3个B.4个

C.5个D.6个

2.用木棒钉成一个三角架,两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可取（）

A.20cmB.3cmC.11cmD.2cm

3.如图,在△力Cf中，NCE力的对边是.

4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm,3cm,则这个三角形的周长为_____.

5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数，求第三边的长.

拓展提升

6.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：Ib+c-aI+|b-c-a|-1c-a-b|—Ia-b+c|.

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、

教学备注

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

学习目标：1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念,了解三

角形的稳定性.

学生在课前2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.

完成自主学重点:三角形的高、中线与角平分线的特征.

习部分难点:三角形的高、中线与角平分线的应用.

自主学习

一、知识链接

1.如图按要求作图:

A

A0

B

(1)在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E.则

有=.

(2)在右图中，作出NAOB的平分线，则有N.=Z

ZAOB.

二、新知预习

1.三角形的高：

(1)小学我们已经学过三角形的高,如图①，过点A向它的对边画垂线，作

(2)自主归纳:

①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间

的线段叫做三角

形的高线，简称三角形的高.

②一个三角形有条高，请在图①中作出aABC的另外两条高.

③三角形的高是一条.

2.(1)如图②，连接aABC的顶点A和它的边BC的中点D,类比三角形高

线的定义，

\_________则所得的线段AD应叫做4ABC的边BC上的________线.并画出^

ABC其他的两条中线.

(2)自主归纳：X

教学备注

①在三角形中，连接一个顶点与它对边

的中点的线段，叫做这个三角形的中线.

②一个三角形有条中线，每条中线都是一条.

3.三角形的角平分线：

(1)如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗？

(2)自主归纳

三角形角平分线定义:_______________________________________________________

三角形的角平分线与角的平分线的区别是：

③一个三角形有条角平分线.

4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线

几何推理图例

三角形的高：AD是△ABC的高，A.

A

.••①______±______,

②NADB=N________=。

BnC

三角形的中；CF是aABC的中线，

线:.①AF=____=AC.

②AC=____AF=____CF.

三角形的角•••BE为△ABC的角平分线,

平分线①/1=N____=____ZABC.

②NABC=____Zl=_Z2.

配套PPT讲授

三、自学自测

1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.

1.复习引入

(见幻灯片

3-4)

2.探究点1新

知讲授

画中线AD,BE,CF画高DG,EH,FM画角平分线GM,HN,IP

(见幻灯片

四、我的疑惑

5-12)

z课堂探究《

二、要点探究

探究点1:三角形的高

做一做:请在下图中画出4ABC的高线.

B

教学备注

【归纳总结】三角形的高或其延长线相交于一点，锐角三角形的三条高的

3.探究点2新

交点在三角形的内部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上,

知讲授

钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.

（见幻灯片

典例精析

13-18）

例1：如图所示，在△A8C中,AB=NC=5,8c=6,于点D,且A〃=4,

若点P在边A。上移动，求BP的最小值.

方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出

面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.

探究点2:三角形的中线

问题1:任意作一个三角形，画出它的三条中线，观察，有什么结论？

问题2：如图，AD为^ABC的中线，猜想4ABD与4ACD的面积关系，并

证明.

【归纳总结】1.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做

三角形的重心.

2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

典例精析

4.探究点3新

例2:如图，在△ABC中是2C上的一点，280点。是AC的中点，设

知讲授

△ABC4人〃下和48EF的面积分别为SA>WC,和SABEF,且SAABC=12,

（见幻灯片

求S^ADF-5*AfiKF的值.

19-23）

方法总结:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积

5.课堂小结

的比等于底边的比;底相等时，面积的比等于高的比.

探究点3:三角形的角平分线

例3:如图，DC平分NACB,DE〃BC,NAED=80°,求NECD的度数.

\_________

A

教学备注

6.当堂检测

（见幻灯片

24-30）

二、课堂小结

三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段.

三角

三角形的中线:在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段.三角形的中

形的

线把三角形分为面积相等的两个三角形.

育辛

三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与

A!对边相交，连接这个

角的顶点与交点的线段.

下列说法正确的是

（）

A.三角形三条高都在三角形内B.三角形三条中线相交于一点

C.三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外

D.三角形的角平分线是射线

2.在△4BC中/D为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：®ZBAD^ZCAD;@ZA

3.如图，△/8（7中/。=90。，CD_LA?图中线段中可以作为△ABC的高的有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

4.画△/5C中AB边上的高,下列画法中正确的是（）

ABCD

5.(1)：BE是aABC的角平分线，

•••—_—1——>

2\>

(2)-CF是△ABC的角平分线,

ZACB=2=2.第5题图第6题

图

6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线,S△他^=3cm2,则S△祝=.

7.在4/1a'中，。〃是中线，已知叱4广5的△%C的周长为25cm,求的周长.

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第十一章三角形

教学备注

11.1.3三角形的稳定性

学习目标：1.了解三角形的稳定性.

2.了解四边形的不稳定性.

3.了解三角形稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的

应用.

重点:了解三角形稳定性在生产、生活中实际应用，领会三角形的稳

定性.

学生在课前完难点:准确使用三角形稳定性与四边形的不稳性与生产生活之中.

成自主学习部课前准备:小木条8个，小钉若干.

分

自主学习

一、知识回顾

1.什么叫三角形？

2.三角形的三边关系是

3.你能用小木条做一个三角形吗?试一试

配套PPT讲授

1.情景引入

（见幻灯片3）课堂探究

2.探究点1新知

讲授一、要点探究

（见幻灯片探究点1：三角形的稳定性

活动

4-13）1:

1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改

变吗?探索思考.

\.

教学备注

2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它，它的形状会改变吗？

3.从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流交流。

三角形木架形状改变,四边形木架形状改变(填"会”或“不会”)

3.探究点2新

4.结论：

知讲授

三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

(见幻灯片

5.举出生活中利用三角形稳定性的实例：

14-23)

针对训练

1.不是利用三角形稳定性的是()

A.自行车的三角形车架B.三角形房架

C.照相机的三脚架D.矩形门框的斜拉条

2.下列图形中哪些具有稳定性.

zvmfiOQ送

(1)(2)(3)(4)<5>(«>

探究点2:四边形不稳定性的应用

1.想一想：四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有

没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？

将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它，这时木架的

形状还会改变吗？

例1：要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状，那

么要使五边形，六边形木架，七边形木架保持稳定该怎么办呢？

教学备注

【方法总结】为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成

由一个一个的

5.课堂小结三角形组成的形式.

例2:1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门,由于年久失修已经变成如图

甲，为什么会变

形？

2.为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该怎么做呢？

6.当堂检测

《见妇好.井

24-27)77777

【针对练习】

1.盖房子时,在窗框未安装好之前，工人师傅常常先在窗框上斜钉一根木

条,为什么要这样做呢？

2.钉子架容易转动，怎样做可以使它稳定?在图中画一画.

二、课堂小结:

三角形具有稳定性,四边形没有稳定性。它们都有一定的实用价值。

1

(

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是（）

A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的

B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值

C.稳定性和不稳定性均有利用价值

D.以上说法都不对

3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD,使其不变形，这种做法的根据

是（）

A.两点之间线段最B.三角形两边之和大于第三边

C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性

第3题图第4题图第5题图

4.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（）

A.节省材料,节约成本B.保持对称

C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮

5.用六条钢管连接成的钢架,为使这一钢架稳固，用三条钢管连接使它不变

形，你能想出办法解决这个问题吗?多多益善.

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第十一章三角形

教学备注

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

第1课时三角形的内角和

学习目标：1.掌握三角形的内角和定理.

2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于

180°.

学生在课前3.能运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.

完成自主学重点：三角形的内角和定理.

习部分难点:三角形的内角和定理的推导过程.

___________>/自主学习二

一、知识链接

1.三角形按照角的大小分类，可以分为

2.分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表.

三角形形状每个内角的度数三个内角的和

锐角三角形

教学备注

直角三角形

配套PPT讲授

钝角三角形

1.情景引入

B（见幻灯片

二、新知预习

3-4）

如图，在中，

1.4ABCZA+ZB+ZC=_____2.探究点1新

知讲授

（见幻灯片

2.在小学我们通过拼接、测量就已经知道三角形的内角和为与其形状、大小5-10）

（填“有关”或“无关”）.

三、自学自测

在△ABC中，若/A=35。，/B=65。，则/C=.

四、我的疑惑

/课堂探究

三、要点探究

探究点1:三角形内角和定理的证明

活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.

三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.

问题1：观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能

发现证明的思路吗？

已知:如图,△ABC,

求证:/A+NB+/C=180。。

证明1:延长BC到D,过点C作CE〃BA,

\）

教学备注

3.探究点2新

已知:如图,△ABC,

知讲授

求证:/A+/B+/C=180°。

（见幻灯片

证明2：过点A作/〃BC,

11-21）

问题2:将自己剪下来的内角拼合在一起，除了上面两种拼接方式，你

还能想到其他的拼法吗?用这种拼法你能证明三角形的内角和定理

吗？

要点归纳:借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.

三角形的内角和为。

探究点2:三角形内角和定理的应用

典例精析

例1（教材例1变式题）如图，CD是/ACB的平分线,DE〃BC,/A=

50°,ZB=70°,求NEDC,/BDC的度数.

方法总结:平行线、角平分线与三角形的内角和定理相结合时，找到相等的角

,是关犍.-

例2在4ABC中，ZA的度数是NB的度数的3倍，ZC比/B大

15°,求/A,ZB,/C的度数.

\_________7

r教学备注

方法总结：在题中出现了角度的倍分、和差、比例关系时，通常会运用到方程思想，先设配套PPT讲授

未知数，再运用三角形的内角和定理列方程求解.

4.课堂小结（见

幻灯片28）

例3（教材例2变式题）如图,B岛在A岛的南偏西40。方向，C岛在A岛的南偏东15。

方向，C岛在B岛的北偏东80。方向，求从C岛看A,B两岛的视角nACB的度数.

5.当堂检测

（见幻灯片

22-27）

针对训练

1.在aABC中，NA=35°,NB=43°,则/C=

2.在aABC中，NA:ZB:/C=l:2:3,贝！l/XABC是—三角形.

3.在△ABC中，NA=ZB+10°,ZC=ZA+10°,则/A=,ZB=

ZC=.

二、课堂小结

三角形的内角和为180°.

当堂检测

1.求出下列各图中的x值.

3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，NA+NADE=180°,ZB=78°,ZC=60°,

求NEDC的度数.

\7

A,

BEC

4.如图，在△ABC中,NB=42°,/C=78°,AD平分NBAC.求/ADC的度数.

拓展提升

5.如图，在△ABC中，BP平分NABC,CP平分/ACB.

(1)若NBAC=60°,求NBPC的度数.

(2)你能直接写出NBPC与/A之间的数量关系吗？

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第十一章三角形

/■\

教学备注

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

第2课时直角三角形的性质和判

定

学习目标：1.了解直角三角形两个锐角的关系.

.掌握直角三角形的判定.

学生在课前2

完成自主学3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.

重点：掌握直角三角形的性质和判定.

习部分

难点：运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.

-----------＞》自主学习R

一、知识链接

1.三角形的内角和为.

2.直角三角形有什么特点？

二、新知预习

1.如图①，在△ABC中，已知NC=90°.

(l)AABC叫做,用符号表示为；

(2)NA+/B+/C=°,ZA+ZB=°一NC=

结论：直角三角形的两个锐角

2.如图②，在△ABC中，已知NA+NB=90°°-(Z

A+ZB)=

所以△ABC是.

结论：有两个角的三角形是直角三角形.

三、自学自测

1.在R3ABC中，zB=90。/C=50。,则NA=.

2.在△ABC中，若NA=35。，zC=55°,则AABC是三

角形.

四、我的疑惑

教学备注

配套PPT讲授

1.情景引入

（见幻灯片

3-4）

/课堂探究2.探究点1新

知讲授

四、要点探究

（见幻灯片

探究点1:直角三角形的两锐角互余

活动：如下图所示是我们常用的一副三角板,量一量自己手上三角板的两锐角的度数之5-12）

和为多少度？

问题:在任意RtaABC中，NC=90°,两锐角的和等于多少呢？

要点归纳：

直角三角形的两个锐角.

典例精析

例1（1）如图①,NB=NC=90°,AD交BC于点0,NA与ND有什么关系？

（2）如图②，/B=/D=90°,AD交BC于点O,/A与NC有什么关系?请说明理由.

例2（教材例1变式题）如图，ZlsABC中,CDJ_AB于D,BE_LAC于E,CD,BE相交于点

F,NA与NBFC又有什么关系?为什么？

\）

方法总结:两个直角三角形的两个锐角为对顶角，则另一对锐角也相等

针对训练

1.三角形三个内角中，最多有个直角，最多有一个钝角,至少有个

锐角.

2.在△ABC中，zC=90°,zA:zB=1：2,则NA=.

3.如图，BD平分NABC,CD_LBD,D为垂足/C=55。，则NABC的度数

教学备注是（）

3.探究点2新

知讲授

（见幻灯片

13-16）

探究点2：有两个角互余的三角形是直角三角形

典例精析

例3如图,NC=90°,Zl=ADE是直角三角形吗?为什么？

例4如图,CE_LAD,垂足为E,ZA=ZC,Z\ABD是直角三角形吗？为

什么？

教学备注

配套PPT讲

授

4.课堂小结

（见幻灯片

21）

\_________7

方法总结：判断一个三角形是否是直角三角形，只需说明两个锐角互余即可.

二、课堂小结

性质：直角三角如图，若aABC为直角三角

C

直角三角形两锐角互余.形，且NA为直角，则NB+

K

形俵ZC=90°.

示:Rt判定：有两个角如图,若NB+NC=90°

△)互余的三角形则△ABC为直角三角形.1B

为直角三角形.

教学备注

配套PPT讲

当堂检测授

1.如图,一张长