甘肃省白银市2023～2024学年高二数学下学期5月期中试题含答案

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．1.已知向量，则（）A. B. C. D.2.双曲线的离心率为（）A. B.3 C. D.43.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（）A B. C. D.4.甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（）A.480种 B.360种 C.240种 D.600种5.若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（）A. B.C D.6.在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为．若，则在处的瞬时变化率为（）A.18 B.20 C.24 D.267.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）A.64 B.72 C.76 D.808.已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（）A. B.C. D.10.若，则（）A. B.C. D.11.设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（）A.函数为上的凹函数 B.函数为上的凸函数C.函数为上的凸函数 D.函数为上的凹函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某城市今年空气质量为“优”天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．13.若函数存在极值，则的取值范围是______．14.已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设等差数列前项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16.如图，在三棱锥中，平面平．（1）证明：．（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．17.已知3是函数的极小值点．（1）求的值；（2）若，且有3个零点，求取值范围．18.在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．（1）求；（2）求；（3）若点在棱BC上，且平面，求的长．19.已知函数（1）若求曲线在点处的切线方程．（2）若证明：在上单调递增．（3）当时，恒成立，求的取值范围．高二阶段性检测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．1.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空间向量的坐标运算求解即可.【详解】因为所以所以．故选：D.2.双曲线的离心率为（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定的双曲线方程，直接求出离心率即可.【详解】双曲线中，，所以双曲线的离心率故选：C3.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的夹角公式计算即可【详解】与所成角的余弦值为，又与所成角为，与所成角的大小为故选：B4.甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（）A.480种 B.360种 C.240种 D.600种【答案】A【解析】【分析】根据不相邻问题插空法即可求解.【详解】先排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有种．故选：A5.若圆与轴相切且与圆外切，则圆圆心的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解.【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得，即圆的圆心的轨迹方程为.故选：C6.在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为．若，则在处的瞬时变化率为（）A.18 B.20 C.24 D.26【答案】A【解析】【分析】由已知得出，结合解出，结合即可求解．【详解】因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以，由得，，解得，，则，所以在在处的瞬时变化率为18，故选：A．7.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）A.64 B.72 C.76 D.80【答案】D【解析】【分析】设是该等比数列的前项和，依题意可知成等比数列，由等比数列的性质求解即可.【详解】设是该等比数列的前项和，依题意可知则成等比数列，即成等比数列，则解得故选：D.8.已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据构造函数通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质可解得或【详解】令则,因为当时，所以在上单调递增,又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数,由得解得或故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（）A. B.C D.【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，，A正确，B错误；，D正确，C错误.故选：AD10.若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】对A、B、D：分别借助赋值法令、及计算即可得；对C：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详解】对A：令，得，故A错误；对B：令，得则，故B正确．对C：由题可得，则，故C正确．对D：令，得则，故D正确．故选：BCD.11.设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（）A.函数为上的凹函数 B.函数为上的凸函数C.函数为上的凸函数 D.函数为上的凹函数【答案】ABD【解析】【分析】对于A：求导，直接判断的单调性即可；对于B：求导，令，利用导数判断的单调性即可；对于C：求导，取特指分析判断即可；对于D：求导，令，利用导数判断的单调性即可.【详解】对于选项A：因为为上的增函数，所以为上的凹函数，故A正确；对于选项B：因为，设，则，当时，，可知为上的减函数，即为上的减函数，所以为上的凸函数，故B正确；对于选项C：因为，设，则，注意到，可知在内不是单调递减函数，即在内不是单调递减函数，所以函数在上不为凸函数，故C错误；对于选项D：因为，令，则，设，则，当时，，当时，，可知在内单调递减，在内单调递增，则，即在上恒成立，可知为上的单调递增，所以为上的凹函数，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某城市今年空气质量为“优”的天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．【答案】【解析】【分析】设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为由题意可得解方程即可得出答案.【详解】设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为则解得：故答案为：.13.若函数存在极值，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由极值的定义可知，有变号零点，即可得解.【详解】，则，解得．故答案为：.14.已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为______．【答案】7【解析】【分析】将曲线可变形为可得，进而可得的方程为，设点在准线上的投影为，抛物线的定义结合几何性质分析求解.【详解】曲线可变形为令，解得，可知曲线恒过点，因为在抛物线上，则，解得，所以的方程为，可知的焦点为，准线为，又因为，可知点在抛物线内，设点在准线上的投影为，则，因为，当且仅当与的准线垂直时，等号成立，所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7．故答案为：7.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设等差数列的前项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）若，求数列前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及等差数列下标和定理求出，根据等差数列通项公式即可求解；（2）由分组求和，裂项相消及等比数列求和公式即可求得．【小问1详解】设的公差为则，解得，所以．【小问2详解】由（1）知，则．16.如图，在三棱锥中，平面平．（1）证明：．（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过说明可得结论；（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.【小问1详解】取的中点，连接，因为，所以，又，面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，即，令得．所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知3是函数的极小值点．（1）求的值；（2）若，且有3个零点，求的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，令，由于零点含参数，需要对进行分类讨论，从而根据的极小值点为3解得的值；（2）根据（1）的结果可知的零点，以及原函数的单调区间，根据函数要有三个零点，可知函数的极大值大于0，极小值小于0，从而解得列出不等式组求解即可.【小问1详解】因为所以令得或当则当时，当时，故在和上单调递增，在上单调递减．因为3是的极小值点，所以即符合题意．当则恒成立，在上单调递增，无极值点，不符合题意．当则当时，当时，故在和上单调递增，在上单调递减．因为3是的极小值点，所以即符合题意．综上所述，或【小问2详解】因为所以当时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减．显然当时，，当时，，因为有3个零点，所以当且仅当，解得故的取值范围为.18.在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．（1）求；（2）求；（3）若点在棱BC上，且平面，求的长．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解；（2）设，求出面的法向量，通过列方程求出即可；（3）设，则，可得是平面的一个法向量，通过求解即可.【小问1详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，所以，所以；【小问2详解】设，则设平面法向量为，则，令得，依题意可得，解得，所以；【小问3详解】设，则，由（2）知，则，因为，所以，所以是平面的一个法向量．因为平面，所以，解得，所以的长为.19.已知函数（1）若求曲线在点处的切线方程．（2）若证明：在上单调递增．（3）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义和点斜式方程即可得出答案；（2）对求导，令证明在上恒成立即可.（3）在上恒成立等价于，分类讨论和，令求出的单调性可得，分离参数，令求出即可得出答案.【小问1详解】因为所以则又所以曲线在点处的切线方程为即【小问2详解】证明：因为所以则令则当时，单调递增，故当时，单调递增，当时，单调递减，故．从而在上恒成立，则在上单调递增.【小问3详解】解：在上恒成立等价于在上恒成立．若则，则显然