湖南省益阳市安化县2024届高三数学下学期三模试题

2024届高三全真模拟考试试题数学考试时量：120分钟总分:150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合A={A.{0,1,2}B.{-2,2}C.{x|2≤x<3}D.{x|-3<x≤2}2.某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N(5，σ²)，若P(X≤a)=P(X≥1+2a),则实数a的值为()A.1B.3C.4D.93.如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则PA⋅A.-8B.-4C.0D.44.二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)万,则m=()A.13B.14C.15D.165现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有()A.240种B.640种C.1350种D.1440种6.已知M是抛物线y²=4x上一点，圆C₁:x-1²+y-2²=1关于直线y=x-1对称的圆为C₂,N是圆A.227.若a=2ln1.1,b=0.21,c=tan0.21,则()A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c8.已知函数gx=xe²ˣ-mx-lnx,(其中e是自然对数的底数)，若不等式g(x)≥1对∀x∈A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列命题中，正确的有A.x+4xC.若a>b,则1a<1bD.若a,b∈R⁺,且a+b=1,10.已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和,满足a₃=2A.若{an}是正项数列，则{an}是单调递增数列B.C.若存在M>0,使|aₙ|≤M对∀n∈N+都成立D,若aₙ>0,且a1=111.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上的一个动点，则下列结论正确的是A.当点P在平面BCC₁B₁上运动时,四棱锥P-AA₁D₁D的体积不变B.当点P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围为πC.使直线AP与平面ABCD所成角为45°的动点P的轨迹长度为πD.若F是A₁B₁的中点,当点P在底面ABCD上运动,且满足PF∥平面B₁CD₁时,PF长度的最小值为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若复数z满足(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则|z|＝.13．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是．14．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求面积的最大值．16．（15分）如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形处，使得，如图2，G在上，且．(1)证明：平面DFG；(2)求平面DFG与平面夹角的余弦值17．（15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；(2)若，判断在区间上的零点个数.18．（17分）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．(1)求椭圆伴随双曲线的方程；(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求．19．（17分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.(1)求的分布列；(2)求数列的通项公式；(3)求的期望.参考答案单选题1-8DBACCADD多选题9-11BDACDABC12．13．14．15．（1）依题意，，所以的最小正周期为；由，得，所以函数的单调递增区间是．（2）因及（1），得，即有，则，而为锐角，因此，，又，由余弦定理得：，即，当且仅当时取“=”，于是得，，所以面积的最大值．16．（1）（1）证明：连接CE，交DF于点H，连接GH．易证，所以．因为，所以，所以，则．因为平面DFG，平面DFG，所以平面DFG．（2）由图1可知，．因为，E，F分别是AD，BC的中点，所以，，则．因为，所以，所以．因为EF，平面CDEF，且，所以平面CDEF．故以E为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，，，，，则，，，．设平面DFG的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设平面DFG与平面的夹角为θ，则17．（1）由可得其定义域为，且，所以，若在上为“凸函数”可得在恒成立，当时，显然符合题意；当时，需满足，可得；综上可得的取值范围为；（2）若，可得，所以，令，则；易知在区间上恒成立，因此可得在上单调递减；显然，；根据零点存在定理可得存在使得，因此可知当时，，即在上为单调递增；当时，，即在上为单调递减；又，显然在上不存在零点；而，结合单调性可得在上存在一个零点；综上可知，在区间上仅有1个零点.18．（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，即，即，解得，所以椭圆，则椭圆伴随双曲线的方程为.（2）由（1）可知，，设直线的斜率为，，，则直线的方程，与双曲线联立并消去得，则，所以，，则，又，又，所以，解得或（舍去），又，所